В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Это правило находится в полном соответствии с принципом Лагранжа. Покажем зто соответствие. 1. Функция Лагранжа задачи (з) имеет вид с, 2' = ) 0 ~ ~0 (г~ ~ ~) ~г + р0х И0) + н х (~ ). )о 2. Необходимые условия экстремума в задаче Ы'- еМг являются необходимыми условиями экстремума в задаче Больца и записываются следующим образом: 3, 4. Если Х,=О, то из условий трансверсальности следует, что и» О, В=О, 1. Это противоречит тому, что не все множители Лагранжа равны нулю.
Полагаем Х, = 1 и приходим к уравнению Эйлера, а условия трансверсальности не информативны, они дают возможность отыскать неизвестные множители Лагранжа и, и п„которые нам в принципе не нужны. Осталось найти допус- 9» тимые экстремали и выбрать из нпх решение или показать, что решения нет. Набор условий для нахождения допустимой экстре- мали является полыым. Уравнение Эйлера — дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две неизвестные константы. Для определеыпя этих коыстант имеются два уравнеыпя — условия ыа концах. Таким образом, чаще всего допустимая экстремаль единственна. Мы сформулировали правило решения для одномерной простейшей задачи классического вариациоыного исчисления.
Укажем на необходимые изменения для векторного случая. Пусть в задаче (з) п. 5.2.1 х( ) =(х,(.), ..., х ( )), Х Х(8, х„..., х„, х„..., х ) — функция 2п+1 переменных. Необходимые условия в простейшей векторной задаче состоят из системы уравнений Эйлера — „— Х;«(г) + Х, (~) = О, 1 = 1,..., и. Доказательство теоремы, как и в п. 5.1.3, проведем в п. 5.2.3 в одномерном случае, ибо векторный тривиально к нему редуцируется. 5.2.3. Необходимое условие экстремума. Т е о р е м а, Пусть Ж вЂ” открытое множество в пространстве В', Х; % -  — интегрант, определенный на Ж и непрерывный в М вместе со своими частными производными Х; и Х ., х ( ° ) — непрерывно дифференцируемая на отрезке (1„Е,1 функция такая, что ~8,х (8),х(«)) ~ И уйыБ(Ег,Й,).
Тогда, если х( ) доставляет слабый локальный экстремум в простейшей задаче классического вариационного исчисления, то Х ° ( ° ) я~ вэ С'((ц„1,)) и выполнено уравнение Эйлера — „— ', Х. р) + Х„(ю) = О. ..«Рассуждаем совершенно аыалогично тому, как мы 'рассуждали в и. 5.1.3. Пусть х( ° ) ~ С,'фг, 1,]). Тогда х ( ) + Лх ( ° ) — допустимая функция ««~Л ~ К. Положим «р(Л) =5'(х(.) +Лх(.)). Из условия х( ) ~1осех1гз следует, что О вз 1ос ех1г «р. Пользуясь дифференцируемостью функции «р в нуле и выражением для вариации функцио- 92 нала из п. 5 1.3, получаем ' )~)) - ~ (* ) ), х ) )) = ) (Ь .
ф ~ )~) ~- Й. ) ~) ж ф) й = 0 ~0 ух( ° ) еБ Со Ео, А)). Из леммы Дюбуа — Реймона следует, что Х ° ( ) ~н ~ С'(И„г,)), и выполнено уравнение Эйлера. (> 5.2.4. Интегралы уравнения Эйлера. Если интегрант Х = Иг, х, х) не зависит явно от одной из переменных, то уравнение Эйлера сводится к более простым уравнениям. 1. Если интегрант Х. = И~, х) не зависит явно от х, то уравнение Эйлера сводится к уравнению Х.И) = О.
2. Если интегрант Х Х,И, х) не зависит явно от х, то имеет место интеграл импульса Х. (~) = сопз$. 3. Если интегрант Х Их, х) не зависит явно от 1, то имеет место интеграл энергии (оба названия интегралов взяты из классической механики) хХ. (1) — Х(г) = сопз$, 5.3. Примеры. В этом пункте на примерах рассмотрим различные соотношения между решениями простейшей задачи классического вариационного исчисления и экстремалями. П р и м е р 1 (допустимая экстремаль существует, единственна и доставляет глобальный экстремум).
1. )т( )) ) х'й И; х)0) О, и))) ). о 2. Уравнение Эйлера: х О. 3. Общее решение; х С)~+ С,. Единственная допустимая экстремаль: х г. 4. Экстремаль доставляет глобальный минимум в задаче. Действительно, пусть х( ) ез С'()О, 13), х(О) О, 93 х(1) =1. Тогда Ь( ° ) = х( ° ) — х( ° ) ~ Со([0, 1)) = (з ( ) ~ С'([О, 1)) ~ з (О) = г(1) = О), 1 1 у (*( ))-х (х ( ).(.Ь(.))-) ((-)-Ь)ЬЫЬ ) Й.(. о о 1 1 1 -(- 2) Ь 3Х,'- ) й й — У(х( )) -Ь ) ЬЧ~)У (х ( )). В этом примере все обстоит самым благополучным образом. В дальнейших примерах встречаются различные осложнения.
П р и м е р 2 (допустимая зкстремаль существует, единственна, доставляет слабый, но не доставляет сильного экстремума). 1. У (х( ° )) = ~хой — ь-1п1; х(0) = О, х(1) = 1, о х 2. Уравнение Эйлера: —, Зх' = 0 ~ь Зх' = С (=).х=сопз$. 3. Общее решение; х = С,~+ С,. Единственная допустимая зкстремаль: х= 1. 4. Экстремаль доставляет слабый локальный минимум.
Действительно, пусть Ь ( ° ) ~ Со ([О, 11). Тогда 1 1 1 Ю( И.Ь ЬИ)= [((.ЬЬ)'а= [а Ь 3[вы-Ь о о о 1 1 .Ь [й'(3 3- Ь) М = Г (* И) Ь [ Ь (3 Ь й) Ьй о о Отсюда видно, что если ()Ь(.)[(( ~ 3, то 3+Ь(1) ) 0 и, значит, 5'(х( ° )+Ь( )) ~.'У(х( )), т, е. х( ) оэ1осппп. Покажем, что х( ) не доставляет сильного экстремума. Рассмотрим последовательность функций — ~'11, [О, 1Ъ ), а„(~) = О, ~~ [1/п,1/2[, Ь„(~) = ~д (т) дт, и:-2, о (2Яп, ~ е:-з (1)'2, Ц, Легко понять, что Ь„(0) =Ь.(1) 0 и ))Ь„(.)И,— 0 при п- . Положим х„() х()+Ь„( ° ).
Получим последовательность функций (х.( )), для которых х„(0) = О, х) (1)= 1, х„( ° ) — р.х ( ) в СЦО,1]) и .р)х,) )) ~+З) рою+)да=~+ ) рр — по~о)а~+ о о о 1 + ) )-+ )й — ~/их О)1)» — оо при и оо, Г )12 8 в ~/)р 1/й т. е. Я„„-с . П р и м е р 3 (экстремаль существует, единственна, доставляет глобальный экстремум, но не является непрерывно дифференцируемой функцией). 1 1 Г (х( ° )) = ~ В"х'сИ-~-1пХ; х(0)=0, х(1) = 1 о (пример Гильберта).
и 2, УРавнение ЭйлеРа.' —, Р)'~'х! — О.р.р. ~'~эх — — С~=Р- ~=))х = С~ ", 3. Общее решение: х = С,~"'+ Ср. Единственная экстре- маль, удовлетворяющая условиям на концах: х 4. Ясно, что экстремаль не является функцией класса С'([О, 1)), так как х(.) Ф С(10, 1)). Покажем тем не ме- нее, что она доставляет глобальный минимум в задаче среди всех абсолютно непрерывных функций х( ), удов- летворяющих краевым условиям, для которых интеграл У конечен. Действительно, 1 » )х) ))- Ю)х) ) р Ь) )) =) оо~ ( — '-р й) Ноо 1 1 -г(*"Н)-;1~а'«р~~" р«)л(*") )).
о о П р и м е р 4 (решения задачи и допустимой экстре- мали не существует даже среди абсолютно непрерывных функций). т 1. Ю)х1 )) ) ~х'й )п1; х10) = О, х11) 1 о (пример Вейерштрасса). ° ° 2. Уравнение Эйлера". —, (2гох) = 0 съ'- гох = С <=о. х = = С/Р. 3, Общее решение: х — С)й+ С,. Экстремали, удовлетворяющей краевому условию х(0) =О, не существует. 4. Очевидно, что У(х( )) ~О и для любой абсолютно непрерывной функции х( ) У(х( )) ) О. Покажем, что нижняя грань в задаче равна нулю.
Рассмотрим последовательность допустимых функций х (1) = агс$д пГlагс(дп. Имеем .'~'(х„( )) = г ..., с))~ (1 -(- поР)~ агс~ц1п о 1 и о т <Й ПОР аГС1х ОП 1,'и П р и м е р 5 (допустимая экстремаль существует, единственна, но не доставляет экстремума). ЗЛ 2 1. 5'(х( )) — (х — х) 1И-з-дна, х(0) — х — — О. о 2. Уравнение Эйлера: х+х О.
3. Общее решение: х-С, зли~+С,сов г. Единственная допустимая зкстремаль: х О. 4. Рассмотрим последовательность функций х„(~) = 1 . 2~ = — зли —. Очевидно, что х„— допустимые функции и х„( ) — х( ) 0 в С'(10, Зл/21), но при этом У (х ( )) = — —" ~/ — — 11 = — —. ( О = У (х ( )). Зл /4 х1 5л п~ 4 ~ 9 ~ 12по 96 Из примера 5, в частности, видно, что уравнение Эйлера — необходимое, но це достаточное условие экстремума.
Мы вернемся к обсуждению этого примера в п. 5.7. В заключение приведем еще одпп важный пример задачи, где нет решения. Пример 6. 1 .'У(х( ° )) ~ ((1 — х')'+ х')й-~-ги1; х(0) = О, х(1) = О, о Нижняя грань функционала равна здесь нулю. Чтобы уоедиться в этом, достаточно рассмотреть минимизирую- щую последовательность функций из КС'ИО, 11)г х„(~) = ~ згцп згп 2иптагт, п = 1,2..., о Функции х (.) равномерно стремятся к нулю, и !х (г)! = 1, за исклгочением конечного числа точек, т. е. У(х„( )) — О.
С другой стороны, если х,И) О, то 1 У(х,( )) 1, а если хй) ч!'=О, то У(х( ° )) >~х'й > О. о Таким образом, нижняя грань функционала не достига- ется ни на одной допустимой функции. Раскроем причины отсутствия решений в рассмотрен- ных примерах. То, что в примере 2 численное значение задачи равно — , объясняется,тем, что овыпунление интееранта тождественно равно — (см. далее п. 5.5.3— теорему Боголюбова). Пример 3 показывает, что про- странства С' и КС' не являются естественными для дан- ной задачи и наводят иа мысль (идущую от Гильберта), что задачу следует, вообще говоря, исследовать в «своем» пространстве. Причина же иегладкости решения в этом примере и отсутствия решения в примере 4 связана с наруигением условия Лежандра (обсуждение примеров 3 и 4 продолжается далее в задачах 9.10 и 9.11; об усло- вии Лежандра см. и.
5.5). Огсутствие решения в приме- ре 5 объясняется тем, что иа экстремали имеется сопря- женная точна (об этом см. и, 5 6). О примере 6 см. п. 5.5.3. 5.4. Задачи с подвижными концами. 5.4.1. Постановка задачи. Задачей с подвижными концами называется следующая задача в пространстве С!(Л) ХВ2: + г!г!о (Ео х (Ео) Е! х (Ег)) ! ехйг~ (3) ф,(1„хй„), 1„хО!)) =О, г=1, ..., т. (1) 97 Здесь Л вЂ” заданный конечный отрезок, Е = Е(1, х, х)— функция трех, а ф= фИО, х„1„х,) — четырех переменных, ~„~, е Л. В отличие от задачи Больца и простейшей задачи классического вариацнонного исчисления, концы отрезка пнтегрирования являются подвижными и, следовательно, решение задачи включает в себя некоторую функцию х(.) и тот отрезок И„1,1, на котором она рассматривается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
