В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В итоге получиы тпах ~;(х + Ь)~'~ пьах ((х,", Ь) + а;)Ъ ос~св 0~~Ст «) пп'и мах ((х,,х) + аД = лх+ю=о а<мы т агаа —,,а' (а, Х)гЛ,А] -!- ~ а,аг(Ь) а- (у~, гДг))~, вял а-0 (5) Расстояние от Ь до конуса К оценим по лемме Хоффмана и затем по (4): рК®~~С Я (х;,Ь)!. + !!ЛЬ1 «~С !!Ь|!' ~=0 (ыы воспользовались тем, что если (х,, Ь) + а, О, то (хь Ь)! «» ~ а,~, и равенством ЛЬ = — у; см. (3)). Таким образом, Ь Ь, + Ь,, где Ь, ~в К, а !!Ь,!! < ~С,!!Ы!'.
Пусть б, выбрано так, что из !!Ь!! «б~ следует С,!!Ы! и: 1!2. Тогда !!Ь,!! ) !!Ы! — !!Ь,!! ) !!Ы!(1 — С,!!Ы!) ) !!Ы!/2 и, значит, !!Ь2|! ~= 4С,!!Ь,!!', (6) Наконец отметим, что из следствия теоремы и. 4.4.1 вытекает, что если 1 ~в Л, то !!у*!! ~С,. Пусть 6, настолько мало, что из )!Ы! =' о, следует неравенство Теперь соединим воедино условия теоремы (2), (5), (6) и (7), обозначив С, = шах ~~2' (х, Х)~~: МЛ 0)((х + Ь)) ) твх -3' (х,е)(ь,ж1 ~-,~~ а;г;~й)-~- (у*,г (ъ))) ) ЬЕЛ 1 0 — у.. (х, Ц(Ь, + Ь„Ь, + Ь,1 — 4 !1Ь, !!') ХИЛ ~ ~— ~~Ь1~~ — 4СзСз!!Ь1!1~ — 8Сз Сф'~~ 4 ~~Ь1~') О, если только из !1Ы < 6 < ппп (6„6„6,) следует неравенство 4СзСз!! Ь1 ~)з (- 8СзСьз~) Ь1(~~ ~ — ~~ Ь1 ~~з (> Задачи 4Л. (Р) х'+ху+ у'+ 31х+ у+ 2! — 1п(. 4.2.
х'+ у'+ 2 шах (х; у) — 1п(. 4.3. х'+ у'+ 21(х — а)'+ (у — ор - 1п(. 4.4. х'+ у'+2а!х-+ у — 1! - 1п( (а О). 4.5. Найти расстояние от точки ф„ф„ф,) до конуса хз~~~ х1+" 4.6. Найти расстояние от точки Я„..., $ ), лежащей вне эллипсоида х1/а1+ ... +х~/а~($, до этого эллипсоида. 4.7. (Р) Найти минимум линейного функционала в пространстве 1, на границе эллипсоида с длинами осей, монотонно стремяшимися к нулю. Всякая ли точка границы эллипсоида имеет нормаль, т. е. может служить точкой экстремума линейного функционалами 4.8. Найти расстояние от точки х„лежащей вне эллипсоида в гильбертовом пространстве, до этого эллипсоида (обобщенная задача Аполлония), Эллипсоидом в гильбертовом пространстве называется образ единичного шара при таком линейном отображении пространства в себя, что замыкание образа всего пространства при атом отображении совпадает со всем пространством.
4.9. Среди полиномов вида 8'+ х,8+х, найти полипом, имеющий - наименьшую норму в пространстве С([ — 1, И). ' 4ЛО. Вписать в единичный круг треугольник с максимальной взвешенной с положительными весами суммой квадратов сторон. 4Л1. На каждой из сторон заданного треугольника найти по такой точке, чтобы образованный треугольник имел минимальный периметр (задача Шварца). 4Л2. (Р) Найти в плоскости такую точку, чтобы сумма расстояний от нее до трех заданных точек была минимальной (задача Штейнера).
4ЛЗ. Найти такую точку в плоскости, чтобы сумма расстояний от нее до четырех различных точек была минимальной. 4Л4. Найти такую точку в плоскости, чтобы взвешенная сумма расстояний с положительными весами от нее ло трех различных точек была минимальной (обобшенная задача Штейнера). 4Л5. Найти в плоскости такую точку, чтобы сумма расстояний до вершин правильного многоугольника была минимальной. Глава П КЛАССИЧЕСКОЕ ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ $5.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ИЛАССИЧЕСНОГО ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ бЛ. Задача Больца. 5.1.1. Постановка задачи. Задачей Больца называется следуюшая экстремальная задача без ограничений в пространстве непрерывно дифференцируемых функций С(([~„~,1) (кусочно-нопрерывно цифференцпруемых функций КС(((~„Ц)); Я(х( )) ( Ъ(й,х(й),х(й))й-(-)(х(й,),х(й )) ехйг. (з) ~о Здесь Х = Ыг, х, х) — функция трех, а 1 = г(х„х,)— функция двух переменных.
Отрезок гг„8,1 предполагается фиксированньв| и конечным, — <~,<~((+ . Задача Больца является элементарной задачей классического вариационного исчисления. Функцию Ъ называют интегрантом, функцию 1 — терминантом, а функционал Я вЂ” функционалом Болъца. Будем говорить, что функция х( ) (зг С'((г„Ц ) доставляет (слабый) локальный минимум (максимум) задаче (з), или, что то же самое, функционалу Я в пространстве С'(К, ~,1), и писать х( ) е=1ост(пз (1оспгахз), еслп найдется 6 ) 0 такое, что для любой функции х( ) еа еа С'((Е„Е(1), для которой Их( ) — х( ) И, ( б, выполнено неравенство Я(х( )) ~ Я(х( )) (Я(х( )) ~ Я(х( ))), Напомним, что если х( ) е- :С'((г„~1), то 1х( ° )~), пгах гпах Д х(1) ~, ~ х(1) ~1.
'~Ро*'г1 При решении задач вариаппонного исчисления мы употребляем далее термины «абсолютный экстремум» 84 переменных. Необходимые условия в векто>ной задаче Больца состоят из системы уравнений Эйлера — — Х. (г)+Х, (г)=0, ~=1,...,п, и условий трансверсальности, задаюшихся системой урав- нений Х. (1з)=( — 1) 1„„,, 1=1, . °,,и, Й=О 1, Доказательство теоремы, касающейся необходимых ус- ловий экстремума, проводится в слепуюшем пункте для одномерной задачи. Векторный случай тривиально реду- цируется к одномерному, 5.1.3.
Необходимые условия экстремума. Т е о р е и а. Пусть Я вЂ” открытое множество в про- странстве В', Х: Я -  — интегрант, определенный на % и непрерывный в % вместе со своими частными про- изводными Х„и Х ., У' — открытое множество в прост- Х' ранстве Й', 1: У'- К вЂ” терминант, определенный и не- прерывно дифференцируемый на У', х( ) — непрерывно дифференцируемая на [~„~,] функция такая, что хИ) х(Г)) ~:=% Ф~==И г 1 и (хр),х(г ))~:- У Тогда, если х( ) доставляет слабый локальный зкст- ремум в задаче Больца, то Х ° ( ° ) ~ С'0~в, ~11) и вы- полнены.
а) уравнение Эйлера — — „Х ° (1) + Х.„(1) = 0; б),условия трансверсальности Х. (г„)=( — 1)" г„„, а=О,1. < Доказательство теоремы разобьем на несколько этапов. А) Определение первой вариации по Лаг- ранжу. Пусть х( ) ~С'(И„~,1). Поскольку х( ) ~ — 1ос ех1гз, то функция очного переменного: 1 Ф <р (Х) Я (х ( ° ) + Хх ( ° )) = ~ Х ( г, х (1) + Хх (~), х (1) + 'о +)"х(г)) аз+ Е(х (г,) +)"х(г,), х(г,) + Хх(г,)) 86 пмеет экстремум прп ).
= О. Положпм Р(г, А) = =Ы~, х(г) +),х(г), х(б) +Хх(г)). Из условий гладкости, наложенных на Е, х( ), х( ), следует, что функция бра) дифференцируема в нуле. Действительно, функции Р и Рй непрерывны в некотором прямоугольнике ггб, М Х'г — Хб, Хй), и, значит, по известной теореме из анализа можно дифференцировать под знаком интеграла (Н, т.
2, с. 107). Но тогда по теореме Ферма ср'(0) = О. Дифференцируя функцию бр и полагая ), = О, получаем ,(0) 1. Я(х ( )+Аж( )) — Я(х ( ))еегщ( ( ) ( )) г-аО -,((Т<г>*р) бя ИФг))бг-Н-Г.,лггю-'г 4,л(г г=б гб) йо ух( ° ) г- =С'([г„г,)). Таким образом, мы вычислили вариацию по Лагранжу функционала Больца Я и выяснили, что необходимым условием слабого локального экстремума этого функционала в х( ) является равенство нулю его первой вариации. Б) Лемма Дюбуа — Рейм она. Пусть на отрезке (б„бй1 функции а,( ) и а,( ° ) непрерывны, и пусть для любой непрерывно дифференцируемой функции х( ), для которой х(бб) х(~,) = О, выполнено равенство ~ (а, (г) х (г) + а, (г) х (Е)) Й = О, Тогда функция а,( ) непрерывно дифференцируема и "б4 Возьмем функцию р( ° ) в= С'((г„г,)) такую, что б, рШ вЂ” я,(аг л ~о~а)ба= б о,Я ба.
Тогда Лля любой ТО бО функции х( ) в=С'(К, г,)), для которой х(8б) =х(г„) =О, 87 по условию леммы должно выполняться равенство 0 = ~ (а1 (Е)х(й) + а (г) х(Е)) й = ~ а,(г)х(Е) й+ -)-) л(Е) г)Р(Г) = ) (о,(Г) — Р(Е)) л (Г)й. (2) о Выберем функцию х( ° ) еа С'((г„~(1) такую, что У(г) = а (р) — р(Г), х(А) О. Тогда в силу выбора функции р() х(Е)= ~х(г)й=~(а (е) — р(г))й=О. Значит, для функции х( ) х( ° ) должно выполняться рас, ееногео (2), г е. ) (о, (Г) — р(Е))~г(Г = О.
Ие последнего '() соотношения следует, что а,(Ю) р(й), т. е. а, ( ° ) (=Б е= Сг((г„г,)), — — „а,(Г) + пи(8) = О. ~ ~> д В) Завершение доказательства. Равенство (1) выполняется для любой функции х( ) и- =С'([г„г,)), а значит, и для всех функций хн- =Со Иг() г,)) = 1х(-)нв н- =С'((1„Г,1) ~ х(1,) = х(Г2) = 0). Следовательно, из (1) вытекает, что 21 ) (Е, (г) л (г) -)- Ь.
(г) л (г)) г)г = О егл ( ) ~ Сг ((Е„ г,)), 2О По лемме Дюбуа — Реймона Ь ° ( ° ) нв С' ф„й,]) и Интегрируя по частям в равенстве (1) (оно стало возможным в силу доказанного включения 2' ° ( ) ~ Х Интегрируя по частям и учитывая, что хИ) (3 — Р)/4, получим У(х) )+Ъ) )) — У(х) )) 2хй~,— ) (2х-) ))ЙЫ~-) о 1 1 + ) ЬЧ~ -) 2х ))) Ь Щ -) У Щ - ( Ь'й -) Й'()) ) О о о Ответ.
х(й) =(3 — Р)/4вваЬзпип, Я + 5.2. Простейшая задача классического вариационного исчисления. 5.2Л. Постановк» задачи. Простейшей задачей классического вариационного исчисления называется следующая экстремальная задача в С'И1,, Ц) (или в КС'И1„г,1)): Г)х( )) ) е)~,хф,хС))й ех1г; )вь) 1)) хор) = хо> хй)) = х,. Здесь Е =Е(~, х, х) — функция трех переменных, называемая интегрантом. Экстремум в задаче рассматривается среди функций х( ) ~в С'((ЕО, Е,1), удовлетворяющих условиям на концах, илн краевым условиям хИ,) =х„ х(),) х,; такие функции называются допустимыми, Будем говорить, что допустимая функция х( ) доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (з), и писать х( ) вз1осш1пз (1осшахз), если существует 6.» О такое, что для любой допустимой функции х( ), для которой ))х( ) — х( ) ~~, .
о, выполняется неравенство У(х( )) >,У(х( ° )) (Я(х( )) ~Р(х( ))). Наряду со слабым экстремумом в классическом вариационном исчислении традиционно рассматривается сильный экстремум. При этом несколько распгиряется класс функций, на которых рассматривается функционал Р. Экстремум в задаче (з) ищется среди функций х( ), принадлежащих классу КС'(И„г,1), т. е. среди кусочно-пепрерывно дифференцируемые функций, удовлетворяющих условиям на концах.
Будем говорить, что допустпман функция х(.) ~ ~ КС'([~,, 1,1) доставляет сильный локальный минимум 90 (максимум), если существует б ) О такое, что для любой допустимой функции х( ) ~з КС'(И„г~) ), для которой ~~х( ) — х( )!1, ( б, вйполняется неравенство Р(х( )) >Р(х( )) (У(х( )) <У(х( ))). Ясно, что если х( ) я С'((г„~,) ) доставляет сильный, то она доставляет и слабый экстремум. Поэтому для таких функций необходимое условие слабого экстремума является необходимым условием сильного, а достаточное условие сильного экстремума является достаточным условием слабого.
5.2.2. Правило решения. 1. Формализовать задачу, т. е. привести ее к виду (з) и. 5.2.1. 2. Выписать необходимое условие — уравнение Эйлера: — ~,~, (г)+ Х„(1) = О, 3, Найти допустимые экстремали, т. е. решения уравнения Эйлера, являющиеся допустимыми функциями. 4. Доказать, что решением является одна из допустимых экстремалей, или показать, что решения нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
