В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Достаточные условия экстр ем ума. Если существует вектор Л = (1, Л, ..., Л„) такой, что выполнено соотношение (1) и для некоторого а ~ 0 с~'„.„(х, Л) (х, х)) я'1х1' ух ~ Х, х=;~0, Г то х ~ 1ос ш1п 3. (Более общий результат см, в АТФ, с. 287, и далее в и. 4.4,5.) 2.6. Примеры. П р и м е р 1. 1(х„х,) = х', + х,' — (х, + х,)'-+ ех(г. Решение. 1. Очевидно, что Я „=+, а из следствия теоремы Вейерштрасса вытекает, что минимум в задаче достигается. 2, Необходимое условие — теорема Ферма: ~'(х) = ОФ+ з ,з с=~ 2х, = х, + х„2х, = х, + хг.
3. Решая эти уравнения, находим стационарные точки (О, 0), (1, 1), (-1, — 1). 4. Выпишем матрицы вторых производных в этих точках: 12х ~~ — 2 — 2 — 2 12х ~ — 21 А(х) = ~ А, = А (О, 0) = А,=А(1, 1) = А(-1,— 1) =~, 1о~ Г 10 — 2~ Матрица — А, является неотрицательно определенной, значит, точка (О, 0) удовлетворяет необходимому условию второго порядка на максимум, но непосредственное рассмотрение функции ~ вблизи этой точки показывает, что 4$ 51 (О, 0) Ф1осел1г. Матрица Л, является положительно определенной, следовательно, по достаточному условию точки (1, 1) и ( — 1, — 1) являются точками локального минимума, а поскольку минимум существует, то они доставляют и глобальный минимум. О т в е т. (О, 0) Ф1ос ех(г,' ((1, 1), ( — 1, — 1)) я аЪз пнп. Пример 2. ~(х) = <Лх, х>+ <Ь, х>+ с -ех1г (Л = = (а;;)";,;=~ — обратимая симметричная матрица). Стационарная точка здесь одна: ~'(х) =0 с=:.
Ах+ Ь = =0 ~=:. х= — А 'Ь. Применяем достаточные условия. Имеьм ~" (хай, Ы =2<АЬ, Ь>. Значит, для того, чтобы выпол° ~ нялось хя1осш(п необходимо, чтобы матрица Л была не- отрицательно определена (А ~ 0). Но по условию Л абратима, т. е. х~1осппп=~-А:= О. С другой стороны, если Л ~ О, то для некоторого а ) 0 <Ах, х> ~ а~~х~Р и, значит, Ит ~(х) . Тогда по теореме Вейерштрасса минимум ~~хЦ -мв существует и, следовательно, х ~ аЪз пип. Аналогично доказывается, что хя аЪз шах с--Л с О.
2.7. О методе Ньютона. Для того чтобы решить задачу без ограничений, нужно найти стацнонарные точки, т. е. решения уравнения Р'(х) =О. Для решения таких уравнений существует один замечательный прием, принадлежащий Ньютону. Метод Ньютона рекуррентный. Для числовой функции Г: (а, Ь) — В он состоит в том, что последовательные приближения ищутся по формуле х„+, = х„— (г"'(х„) ) -'Р (х„), и = О, (1) где за нулевое приближение берется некоторая достаточно близкая к корню х точка х,.
Геометрический смысл этого метода иллюстрирует рис. 4. Метод Ньютона может быть перенесен на уравнения в банаховых пространствах. Для отображения Р окрестности Ю банахова пространства Х в банахово пространство У можно написать соотношения, являющиеся полным аналогом соотношений (1); следует лишь под (Р'(х„))-' понимать оператор, обратный к оператору Г'(х„). Однаго вычисление (Р'(х„)) ' в бесконечномерном случае обычно бывает весьма трудоемким делом. Поэтому в бесконечномерном (да и в конечномерном также) случае при решении операторных уравнений пользуются модифииированным методом Ньютона. Видоизменение состоит в том, что вместо последовательности (1) рассматривают последовательность, определяемую формулой х„+, = х.
— (Р'($,))-'Их„), п ~ О. (2) Здесь, как мы видим, участвует лишь один обратный оператор (Г ($,)) ', $, ее Я. Модифицированным методом Ньютона мы пользовались при доказательстве теоремы Люстерника. Некоторые подробности о методе Ньютона содержатся в КФ, ~ 3 гл. Х. Задачи Решить задачи 2.1 — 2,20. 2.1. х' — ху+ у' — 2х+ у — ех(г. 2.2. ху+50/х+20/у- ех$г. 2.3. х' — у' — 4х+ 6у — ех(г.
2.4. 5х'+ 4ху+ у' — 16х — 12у — ех1г, 2.5. Зх'+ 4ху+ у' — 8х — 12у — ех~г. 2 2 2 2.6. х, + х2+ хз — х,х2+ х1 — 2х,— ех1г. 2.7. Зх,х, — х,х., — х,х, -+- ех$г. 2 2 2.8. 4х+ Зу — ех(г; х' + у' = 1. 2.9. х' + у' — ех(г; Зх+ 4у = 1. 2.10. е"" — ех(г; х + у = 1. 2.11. 5х'+4ху+ у'- ех(г; х+у= 1. 2.12. Зх'+ 4ху+ у' - ех1г; х+ у = 1.
2ЛЗ. ху'г' — ех(г; х+ у+ з = 1, 2Л4. худ — ех(г; х'+ у'+ з' = 1, х + у + г = О. 2Л5. худ- ех(г; х'+ у'+з' = 1. п а 2Л6. ~', х,'-+ ех(г; ~ х4" 1. 1=1 1=1 и П 2Л7. Д х', — ~ ех~г; ~ х', 1. ь=г 1=1 2Л8. 2х', + 2х1+ 4х, — Зх,-э ех~г; Ях, — Зх2+ Зх,. (40, — 2х, + х,— х,= — 3, х,~»0. 2Л9. е ' ' — х,— х,-~-ех~г; х, + х,~~1, х,~»О,х,»0. 2.20. Зх2 — 11х, — Зх~ — х,— ~-ех~г; х, — 7х~+ Зхз+ + 7(0, 5х, + 2х,— х,.
2, х,~»0. 2.21. (Р) Разделить число 8 па две части так, чтобы произведение пх произведения па разность было максимально (задача Тартальи). 2.22. Найти прямоугольный треугольник паибольшей площади, если сумма длин его катетов равна заданному числу (задача Ферма). (Этой задачей Ферма иллюстрировал свой метод нахождения минимумов — теорему Ферма — в 1638 г.) 2.23. На стороне ВС треугольника ЛВС найти точку Е так, чтобы параллелограмм Л.ОЕР, у которого точки .0 и Р лежат соответственно на сторонах АВ и АС, имел наибольшую площадь (задача Евклида).
(Это — единственная задача на экстремум в «Началах» Евклида.) 2.24. На некоторой фиксированной грани тетраэдра берется точка, через которую проводятся плоскости, лараллельнце трем оставшимся, граням. Выбрать точку таким обпнзом, чтобы объем полученного параллелепипеда был маЪсимальным (обобщенная задача Евклида). 2.25. Задача о полиноме Лежандра второй степени: 1 ~ (Р + х, ~ + х,)' Ж -э- (п1, — 1 2.26. Задача о полиноме Лежандра третьей степени: 1 ~ (~'+ х,~ + х,~+ х,) й-+.1п(. 2.27, Среди всех дискретных случайных величин, прпнщиающих и значент)й, найти случайную величину с наибольшей энтропиеи.
(Энтропией совокупности положительных чисел р„..., р, в сумме равных единице, называетФ2 ся число Н=. — Х р;1п р,.) 1=> 2.28. Найти закон преломления света на плоской грапице двух однородных сред, пользуясь принципом Ферма, согласно которому свет пз одной точки в другую попадает за кратчайшее время. 2.29. Вписать в круг прямоугольник максимальной площади. 2.30. Вписать в круг треугольник максимальной площади. 2.3$.
(Р) Среди цилиндров, вписанных в 1пар едиппчного рад~уса, найти цилиндр с максимальным объемом (задача Кеплера). (Э~а зачача была поставлена и решена 54 Неплером геометрически в «Стереометрпп винных бочек» вЂ” 1615 г.) 2.32. Вписать в единичный шар конус нлпболырегс об ьема. 2.33. Среди конусов, вписанных в шар единичного радиуса, найти конус с максимальной боковой поверхностью. 2.34. Вписать в единичный шар пространства В" цилиндр наибольшего объема е) (обобщенная задача Кеплера).
2.35. Вписать в шар пространства В" прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. 2.36. Вписать в единичный шар пространства В" конус наибольшего объема *). 2.37. Вписать в трехмерный шар тетраэдр наибольшего объема. 2.38. (Р) Вписать в шар пространства В" симплекс наибольшего объема. 2.39. Среди треугольников данного периметра найти треугольник наибольшей площади, 2.40.
Среди всех п-угольников, имеющих заданный периметр, найти п-угольник наибольшей площади (задача Зенодора). 2.41. Вписать в круг и-угольник наибольшеп площади. 2.42. (Р) Дан круг радиуса единица. На диаметре АВ дана точка Е, через которую проведена хорда СР, Найти положение хорды, при которой площадь четырехугольника АСВР максимальна. (Задача предлагалась на Всесоюзной математической олимпиаде школьников в $980 г. в г.
Саратове.) 2.43. Найти в треугольнике такую точку, чтобы сумма отношений длин сторон к расстояниям от этой точки до соответствующих сторон была минимальной. (Задача предлагалась на Международной математической олимпиаде школьников в 1981 г. в г. Вашингтоне.) 2.44. (Р) Вписать в круг треугольник с максимальной суммой квадратов сторон. 2.45. (Р) Даны угол и точка внутри него. Через эту точку провести отрезок, имеющий концы на сторонах угла, так, чтобы полученный треугольник имел наименьшую площадь. ») В задачах 2.34 и 2.36 возможны различные формализации, связанные с разным пониманием терминов «цилиндр» и «конус». У нас, далее цилиндр в В" — произведение (и — 1)-мерного шара на ортогональный отрезок, конус в Н" — выпуклая оболочка (л — 1)-мерного шара и ортогенального ему отрезка.
55 2.46. (Р) В задаче 2,45 минимизировать периметр треугольника. 247. Найти наибольшую площадь четырехугольника с заданными сторонами. 2.48. (Р) Среди сегментов шаров, имеющих заданную площадь боковой поверхности, найти сегмент наибольшего объема (задача Архимеда). 2.49. На данной прямой найти точку С, чтобы сумма расстояний от С до точек А и В была минимальной (задача Герона). 2.50. Среди всех тетраэдров с данными основанием и высотой найти тетраэдр с наименьшей боковой поверхностью. 2.51. Среди всех тетраэдров с заданными основанием и площадью боковой поверхности найти тетраэдр наибольшего объема. 2.52.
Среди всех тетраэдров, имеющих заданную площадь поверхности, найти тетраэдр наибольшего объема. 2.53. На плоскости даны три точки: »г„ х, и х,. Найти такую точку х,, чтобы сумма квадратов расстояний от х, до х„х„х, была минимальной. 2.54. В пространстве В" задано У точек: х„..., х и У положительных чисел: т„..., т . Найти такую точку х,, чтобы взвешенная сумма с весами т» квадратов расстояний от х, до х», ..., х~ была наименьшей.
2,55. Решить задачу 2.54 при условии, что искомая точка х, принадлежит единичному шару. 2.56. Решить задачу 2.54 при условии, что искомая точка х, лежит на единичной сфере. 2.57. Найти расстояние от точки до эллипса. Сколько нормалей можно провести из точки к эллипсу (задача Аполлония)3 2.58. Решить задачу Аполлония для параболы.
2.59. Решить задачу Аполлония для гиперболы, 2.60. Найти расстояние от точки в пространстве В" до гиперплоскости. 2.6$. (Р) Найти расстояние от точки до гиперплоскости в гильбертовом пространстве. 2.62, Найти расстояние от точки в пространстве В" до прямой. 2.63.
Найти минимум линейного функционала 1(х) =~ »» ~,~~ а;х; на единичном шаре. »=1 2.64. В эллипс х'/а'+ у'/Ь'= 1 вписать прямоугольник наибольшей площади со сторонами, параллельными осям координат. 2.65. В эллипсоид х'/а' +,у'/Ь' + з'/с' = 1 вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема с ребрами, параллельными осям координат. 2.66.
На эллипсоиде х'/а'+у'/Ь'+з'/с'= 1 найти точку, наиболее удаленную от начала координат. 2.67. (Р) Доказать неравенство для средних степенных: и 1/р и 1(д ~Я 1х,. Г' ~~ ~ ж,.1~ и и — оо ( р ~ д ( оо, р чь О, д ф О. 2.68. Доказать неравенство: ~х; ~" ( ~ ~ х, ~~, 0(д~ ~р' оо. 2.69.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
