В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 8
Текст из файла (страница 8)
х = — Ы(2а) — стационарная точка. 4. Если а>0, то ((х) + при !х! — . По следствию из теоремы Вейерштрасса (п. 1.2.1) решение задачи существует, В силу единственности стационарной точки х = — Ы(2а) е= аЬя шпп, Я ,„ = с — Ы (4а), Я „ = + Аналогично, а < 0 =~- х = — Ы(2а) ~я аЬя шах, Я = с — Ь'l(4а), Кп~в = 2 ' 2 4 4 Пример 2. х, + х,-+ ех(г; х, + х, = 1. Решение. 1. Применяем правило решения гладких задач с ограничениями типа равенств (п. 2.2.2). Функция Лагранжа: 2' = Хо (х1 + х2) + Х1(х1 + хг 1).
2, Необходимое условие: Ых= 0~=:.Хох1+ 2Х1х', = О, Хох2+ 2Х1х, = О. 3. Если Х, = О, то Х, Ф О, значит, из предыдущих уравнений х, =х,= 0 — точка не является допустимой. Пола~аем Х,=1. Тогда х,=О, х,=~1, или х,=О, х1 =~1, 2 2 пли х, т- О, х, Ф О, следовательно, х1 — — х, = — 1~'(2Х,), т. е. 1х 1= ~х,~ = 2 "'. 4. По теореме Вейерштрасса существуют решения задач на минимум и максимум.
Рассматривая значения функционала в стационарных точках, получаем Я„,„= 1, ((~1, 0), (О, ~1)) яя аЬя ш1п, Яш.*=)'2, ((~2 '", ~2 ""), (~2 '", ~2 "')) ее аЬя шах. Пример 3. х, + хз+ хз — ~-(п1; 2х, — хз+ х,~о, 2 з з г +х + =-3 Р е ш е н и е. 1. Применяем правило решения гладких задач с ограничениями типа равенств и неравенств (п.
2.3.2). Функция Лагранжа; 2 Лз(х) + хз + хз)+ + Л,(2х,— х,+хз — 5)+Лз(х,+х,+хз — 3). 2. Необходимые условия: а) стационарности 2'х = 0~=)-2Лох, + 2Л, + Л, =О, Ыхз = 0 с=',- 2Лзхз + Лз — Л1 = О, 2'хз = О.с=:- 2Лбх, + Л, + Л, = 0; б) дополняющей нежесткости Л,(2х~ — х, + х, — 5) = 0; в) неотрицательности Л,~О, Л, ~0. а) 3, Л, = 0 =~- Л, = Лз = Π— все множители Лаг)занжа— б) нуди.
Положим Л, = 1/2. Предположим Л, Ф 0 =-- 2х,— — х, + х, — 5 = О, Выражая х„х, и х, из условия а) через Л, и Л, и подставляя их в уравнения х, + х, + х, = 3, 2х,— — х,+х, — 5=0, получим Л, — — 9/14 =0 — противоречие с условием в). Пусть Л, = О. Тогда х, = х, = х, = 1 — кри- тическая точка. 4. Функция ~(х) = х', + хз+ х, 'стремится к + прп )х~ — +, значит, по следствию из теоремы Вейергптрасса (п. 1.2А) решение задачи существует, а в силу единствен- ности критической точки решением может быть только она. Итак, х = (1, 1, 1) ~ аЬз ш(п, Я,„= 3. Пример 4.
<Ах,х> — 1п1; <х,х> =1 (хб= В", А = = (ао);,=1 — симметричная матрица). Р е ш е н и е. 1. Существование решенпя х очевидно пз ае) теоремы Вейерштрасса, ибо сфера 8" ' = (х ~ В" ! !х! з = ббà — <х, х> =1) компактна. Функция Лагранжа: Ы=Л,<Ах, х>+Л,<х, х>, 2. Необходимое условие: ~"х(х> Лз, Л1) = 0 ~=:. ЛОА х+ Л,х = 0> Лз Р- 'О. 3. Если Л, = О, то Л, чь 0 п, значит, пз уравнений п.
2 х = О, что противоречит уравнению связи <х, х> 1, По- 46 ложам Х, = 1. Тогда Ах = — Х,х. Таким образом, решением является собственный вектор матрицы А. 4. Домножив соотношение Ах = — Х,х на х, получим, ч~о Б, = — Х~, 'иначе говоря, решением задачи на минимум будет собственный вектор матрицы А, соответствующий наименьшему собственному значению. 2.5. Необходимые условия высших порядков. Достаточные условия. 2.5.1.
Одномерныи случай в задаче без ограничений. Т е о р е м а 1. Пусть / — функция одного переменного, определенная в некотором интервале, содержащем точку х, и дважды дифференцируемая в точке х. Необходимые условия эк с т р ем ум а. Если х егть точка лвкального минимума (максимума) функции /,. то /'(х)=0, /" (х) ~0 (~" (х) <0). Достаточные условия экстремума. Если 7'(х) =О, /" (х) ) 0 (У" (х) (О), тох — точкалокальногоминимума (максимума) функции /. 4 Докажем теорему для случая минимума. Случай максимума доказывается аналогично. Из определения двукратной дифференцируемости следует, что У(х+ х) — У(х)+ У (х)х+ — У (х)х +т(х), (1) г (х)/х' — э- 0 при х -э- О.
Необходимость. Поскольку хек 1ос пь(п /, то, вопервых, по теореме Ферма (и. 2Л.З) /'(х) =0; во-вторых, существует 6 > О такое, что из неравенства !х! < 6 вытекает /(х+ х) — /(х) ~ О. Поэтому из формулы (1) /(х+ х) — /(х) —./" (х)х'+ г(х) ~Опри !х! <6. Отсюда Дост аточнос т ь. Выберем 6 настолько малым, чтобы в разложении (1) было !г(х) !~» 4 У (х)х' при $х! (6. Тогда в силу условий ~'(х) = О и ~" (х) «О получаем У(х + х) У(х) х ~ (х)х~ + т(х) ~~ ~4 У (х)х «~0 Значит, х~1оспнп~.
~> В одномерном случае можно дать почти исчерпывающий анализ вопроса о том, является ли данная точка х лональным экстремумом или нет. Те оре ма 2. Пусть ~ — функция одного переменного, определенная в некотором интервале, содержащем точку х, и и раг дифференцируемая в точке х. Необходимые усл о в и я э к с т ре му ма. Если х есть точка локального минимума (максимума) функции ~, то либо ~'(х) =... = ~«"'(х) = О, либо ~'(х) =...
= ~«' -'>(х) = О, ~«"">(х) .~ О (~«"'(х) ( О) (1) при некотором т ~ 1, 2т ( и. Достаточные условия э к ст ре мума. Если выполняется условие (1), то х — точка локального минимума (максимума) функции ~. 4 По формуле Тейлора для функции, и раз дифферен цируемой в точке х, имеем следующее раздожепие: У|" (Р) ь ~(х + х) = ~„— х + т (х), ь=о -'-( -э 0 при х-+.О. хь Необходимость. При п=1 необходимое условие экстремума следует из теоремы Ферма (п.
2.1.3). Пусть, далее, п - 1. Тогда либо «'(х) =... = ~«"'(х) = О, либо ~'(х) ... =~" "(х) =О, ~«о(х) т«= О, ~ ~ и. Возможно одно из двух: «', нечетко или 1 четно. В первом случае положим «р Я) = ~ ~х + у'$ ), $е= В. Тогда «« ~а=~(.)+~' — — '"„'(*)~""+ ~~Ц Ч=Š— дифференцируемая в нуле функция.
Поскольку х в= 48 ~1оспип)', то Ое-=1оспппср. По теореме Ферма ~р'(0) = ~'о(х)И =О. Полученное противоречие показывает, что 1 должно быть четным: 1 ° 2т, Поэтому из формулы Тейлора ~(х+х)-/(х)- — х + г,(х), г, (х)/х' — э 0 при х-~-О. Так как /""'(х) ФО, то отсюда выводим, что /""'(х) > 0 при х ~ 1ос ш1п / и ~'""'(х) (0 при х ~ 1ос шах ~. Достаточно с т ь. Поскольку/'(х) =... =1"" "(х) = =О, /" '(х) чь О, то по формуле Тейлора (2ти) (,) ~(х + х) 1(х) 9 ~ х + 2(х)е г (х)/х — з- 0 при х — ~- О. Следовательно, если ~""о(х) ) О, то /(х+ х) — /(х) Э: 0 при достаточно малых х, т.
е. х~1оспйп/'; если ~" '(х) <О, то /(х+х) — /(х) <О при достаточно малых х, т. е. х~ ~1остпах/. ~> 2.5.2. Задача без ограничений (общий случай). Т е о р е и а. Пусть Х вЂ” нормированное пространство, Я =0(х, Х), ]: Я К / -=1)'(х). Н е о б х о д и и ы е у с л о в и я э к с т р е м у и а. Если х я 1ос Ып (шах) /, то /'(х) =О,/" (х)(х,х])0 (/"(х)[х,х]..0) Ух~Х, Д о с т а т о ч п ы е у с л о в и я э к с т р е м у и а.
Если /'(х) = О и )" (х) [х, х] ва]]х]!' (/" (х) [х, х]~» — сс]]х]!-') Чх~ Х (1) при некотором а) О, то хы1ос ппп (тпах) /. 4 По формуле Тейлора (п. 1.5.3) / ( х + х) = / ( х) + /' ( х) [х] + —, /" (х) [х, х] + г (х), ]]г (х)!! = о (]]х [!') Докажем теорему для случая минимума. Случай мак- симума аналогичен, Н е о б х о д и и о с т ь. Поскольку х е 1ос Ып /, то, во- первых, по теореме Ферма (и.
2.1.3) /'(х) =О; во-вторых, 49 1(х+),х) — )(х) — О прп достаточных малых 1. Поэтому в силу формулы Тейлора г ~(х + 1х) — ~(х)= — "~" (х) (х, х)+ т(Хх) )~ О прп малых ).. Отсюда т" (х) (х, х) ) О ух я:-Х. Достаточное т ь. Так как т'(х) = О, то по формуле Тейлора в силу условия ~" (х)(х, х) =-- а!ах!Р имеем при достаточно малых х. Следовательно, хасэ 1ос пз(п~. (> Неотрицательная определенность второй производной для функций и переменных означает неотрицательную оп( д~ ределенность матрицы ~ —, Условие (1) называется 1,дх,дх у' условием строгой положительности (отрицательности) второй производной в смысле Фреше функционала ~.
Отметим, что в конечномерных пространствах условие ( д~ положительной определенности матрицы ~ —, т. е. ~ дх,дх у' условие Я ,~'„— Ь,Ь, ) О уЬ -- (Ь„..., Ь„) ~ В, Ь ч~ О, — 1 2 гарантирует строгую положительность второго дифференциала (и значит, является достаточным условием минимума в стационарной точке). В бесконечномерных пространствах это не так (пример см. в АТФ, с. 242). Положительная и отрицательная определенности матрицы устанавливаются с помощью критерия Сильвестра. Теорема (крптерий Сильвестра).
Матрица А является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры де1А„где Ад = (а;,)~~,;=1, Ь = 1,..., и, положительны ((-1)' де1 А„) ~ О, Ь = 1, ..., и). Доказательство этого утверждения приведено в и. 12.1.2. 2.5.3. Гладкая задача с ограничениями типа равенств. Т е о р е м а.
Пусть Х вЂ” бпнахово пространство, % ~ гэйх, Х), У,: И- й, ~,гав~(х) ПИ(х), 1=0, 1, ..., т, векторы ~; ~х), 1 = 1, ..., и, линейно независимы, 50 Необходимые условия экстремума. Если х ~ 1ос ш(п з в задаче ~,(х) - 1п1; ~,(х) =О, 1=1, ..., т, (з) то для функции Лагранлса„У(х,Л) = Х Л,),(х) найдется г=в вектор Л = (1, Ло ..., Л„) такой, что Ы„(",Л)= О, Ы (х, Л)(х, 1>О ух ы Ь = (х ~ Х ~ (~,(х), х) = О, 1 = 1...,, т3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
