В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 4
Текст из файла (страница 4)
П р и м е р 3 (показывает, что принцип Лагранжа прн несоблюдении определенных условий может приводить к неверным результатам). Пусть Х=У=4,/(х) =х~+хз/2+ ... +х„/и+ ..„ ,У (х) = (хь хз/2, ..., х„/и,...) (х = (хь ..., х~~ ° ° )). Рассмотрим задачу /(х) -э1п(; Р(х) =О. Здесь х = О есть единственный допустимый элемент, следовательно, он и является решением задачи.
Если предположить, что существуют множители Лагранжа )вы К и у~ ев 1з, не равные одновременно нулю и такие, что для элементарной задачи х'= .= Ао/(х) + <у'", У(х)) -+. 1п( выполнено необходимое условие минимума Ы(х, Хо, у~) (теорема Ферма), то '~~(х1 ~'О~ У ) =О~"' )~О=4~ Уь ' 1 гО = Ув, ° 1 1де у~ = (уо ..., у„, ...) ен 7ь поскольку ~з изоморфно 7г (КФ, с. 177). Но эти условия противоречивы: либо )о чь О, тогда у~ = = (Хо, . °, Ло, ) те ~к либо Хо=о, тогда у~ =О, т. е. оба мно;кителя Лагранжа равны нулю. Здесь 4 — пространство всех последовательностей х = (х„..., х, ...), для которых !~ х ~~ =- оо г/з "~', ~ х„~з = оо, ! — пространство, сопряженное к 4 (КФ, п=г с. 177).
Уиралснения. В упр. 1 — 8 привести примеры задач без ограничений об экстремуме бесконечно дифференцпруемых функций одной или двух переменных, в которых выполняются указанные ниже требования. 1, Абсолютные максимум и минимум достигаготся в бесконечном числе точек. 2. Функционал ограничен, абсолютный максимум достигается, минимум — нет.
3. Функционал ограничен, но абсолютные минимум и и максимум не достигаются. 4. Функционал ограничен, имеет критические точки, но абсолютные минимум и максимум не достигаются. 5. Функционал ограничен, имеет локальные максимумы и минимумы, но глобальные максимум и минимум не достигаются. 6. Имеется единственный локальный экстремум, не являющийся глобальным. 7, Имеется бесконечное число локальных максимумов, но нет ни одного локального минимума. 8. Ограничение функции, заданной на плоскости, на любую прямую, проходящую через начало координат, имеет в нуле локальный минимум, но вместе с тем начало координат не является точкои локального минимума.
9. Можно ли утверх1дать, что если функция одной переменной имеет в какой-либо точке локальный минимум, то в некоторой достаточно малой окрестности этой точки слева от точки функция убывает, а справа возрастает? 10. Пусть функция 7' определена и дифференцируема на К", удовлетворяет условию 1ип ~(т) =+ и ~'(х) ~~:~-э со имеет единственный нуль х. Доказать, что х является точкой абсолютного минимума функции ~. 11. Пусть каждый функционал на некотором множестве Х достигает своего абсолютного минимума.
Доказать, что Х вЂ” конечное множество. Формализовать упр. 12 — 17. «2. Найти кратчайшее расстояние от заданной точки (1, 2) на плоскости до прямой 2х, + Зх, = 1. 13. Найти кратчайшее расстояние от заданной точки в трехмерном пространстве до заданной плоскости. 14.
Вписать в круг треугольник с наименьшей суммой квадратов сторон. 15. Найти на плоскости точку, сумма расстояний от которой до трех заданных точек минимальна. 16. Разделить заданное положительное число на две части так, чтобы пропозведение произведения этих частей на их разность было максимальным. 17. Среди полипомов степени п со старшим коэффициентом, равным единице, найти полином, имеющий наименьшую норму в ЕД вЂ” 1, 11). Глава 1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ $ $. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Многие факты, отмеченные в этом параграфе, содержатся в книге АТФ.
Поэтому мы будем иногда ограничиваться лишь формулировками теорем. 1Л. Нормированные и банаховы пространства. 1ЛЛ. Основные определения. Линейное пространство Х называется нормированным, если на Х определен функционал !! !!: Х вЂ” К, называемый нормой и удовлетворяющий условиям~ а) (! х!! ~ О тх я= Х и !)х!! = О с=э. х = О; б) ~!ссх)~= !сс!1~х~! Усср: В, Ухя Х; в) !! х, + х, !! » «!! х, !1 + !! х, !! Ух,> х, н= Х.
Иногда, чтобы подчеркнуть, что норма задана именно на Х, мы пишем !! !! . Две нормы в Х !! !1, и !! !1, называются эквивалентными, если существуют такие положительные константы С, и С„что С, !! х ~!, «!~ х Ц«»Сз !1 х !!1 Ух ~ Х. Всякое нормированное пространство становится метрическим, если в нем ввести расстояние р(х„х,) = = !!х, — х,!!. Полное относительно введенного расстояния пространство называется банаховым пространством. $Л.2.
Примеры банаховых пространств. П р и и е р 1. Конечномерное пространство В", состоящее из векторов х = (х,, ..., х„), с нормой ! х ~ = = (~х~) П р и м е р 2. Пространство С(К, К") непрерывных вектор-функций х( ): К- В", заданных на компакте К, с нормой !!х( )!!, = шах !х(8) !. 1(:— х 21 Пример 3. Пространство С'Фо, Ц, Й") г раз непрерывно дифференцируемых вектор-функций х( ° ): К, г,)- — Й", заданных на конечном отрезке [г„1,) с= Й, с нормои ~!х( И„= шах (!Ы И„...,!!х" ( Ио). Пример 4.
Простраыство 12, состоящее из последовательыостей х = (х„..., х„,...), для которых,"~, х,' с оо, г=1 ~ 1,'З с нормой, задаваемой формулои 1~ха = ~ ~ х',~ 1=1 1.1.3. Произведение пространств. Пусть Х и У вЂ” нормированные пространства. Декартово произведение ХХ У можыо превратить в нормированное пространство, введя ыдрму Нх, уИххт = тах(Ь!~~, ~!у!!,) (легко проверить, что все аксиомы нормы выполняются), Возможны и другие эквивалентные нормировки (см.
далее упр. 8). Отметим очевидыое утверждение: декартово произведение банаховых пространств банахово. 1.1.4. Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Совокупность Х* всех линейных непрерывных функционалов на Х образует сопряженное к Х пространство. Оно является банаховым пространством относительно нормы (~х~~)хе = виар (х~, х),где <х~,х) означает деиЫх ствие на х функциоыала х* (КФ, с. 171).
Пространство, сопряженное к конечномерному пространству Й.", изоморфно Й". Скалярное произведение двух векторов у = — (у„..., у ) ва Й" и х = (х„..., х„) ~ Й" представляется п и в виде суммы (у, х),~, у,х, Та же сумма,~~у,х, будет 1=1 1=1 обозначаться нами просто как ух, если у ~ Й, х ~ Й; при этом следует х считать столбцом, у — строкой (и тогда ух есть не что иное, как произведение матриц). Пусть Х и У вЂ” нормироваыные пространства и Лва в=-Ы(Х, У) — линейныы непрерывный оператор из Х в У.
Тогда можно определить сопряженный оператор Л*: У*— — Х* такой, что (у~, Лх) = (Л~у*, х) тхя Х (КФ, с. 217). Для линейного непрерывного функционала на произведении пространств имеет место следующая очевидная 22 Л е и и а. Всякий фунтрсонал Л я (ХХ У)» однозначно представил в виде <Л, (х, у)> = <х», х>+ <у», у>, где х»аз Х» и у» ее У*. б) В = (х„х,) — '+ — '~~ 1, — Ь1~(х1(~ڄ— Ь,~х,<~Ь,~ 7 а1 а1 Упражнения. 1. Какие из перечисленных ниже функций двух переменных и при каких значениях параметров задают норму в К'. а) %х) = (!х,!" + !х,!")'", р.> 0; б) У(х) = !а„х, + а„х,! + !а„х, + а„х,!; в) Х(х) = шах (!а„х, + а„.х,!, !а„х, + а„х,!); г) Х (х) = ~а11х1+ 2а, х,х + а, х-,) Р 2.
Доказать, что нормы !х! = ~х1+ х,')'~' я ПхП„= шах ( ! х, !, ! х, ! ) эквивалентны. 3. Доказать, гто если П П вЂ” норма в К", то единичный шар в этой норме В = (х е= К" ! ПхП < 1) является замкнутым выпуклым ограниченным центрально-симметричным множеством, для которого центр — начало координат— является внутренней точкой. 4. Доказать, что если множество В является замкнутым выпуклым ограниченпым центрально-симметричным множеством в К", для которого центр — начало координат — является внутренней точкой, то существует такая норма, при которой В будет единичным шаром.
5. Доказать, что все нормы в К' эквивалентны. б. Доказать, что все конечномерные нормированные пространства банаховы. 7, Построить пример нормированного, но не банахова пространства. 8. Доказать, что если (Х, П П.1) и (У, П П;) — нормированные пространства, то !! х!)х + !! у!!т и (!!х!!х+ -)- !!у!ф)'~' — эквивалентные нормы в ХХ У.
9. Пусть нормированное пространство Х состоит из непрерывных на отрезке 10, И функций с нормой Пх( ° )П = 1 = ) )х(г) !ат. Принадлежит ли линейный функционал <х», х( )> =х(0) пространству Х»? 10. ЧЕМУ раВНа НОрМа ПХП, Х аа К', ЕСЛИ ЕдИНПЧНЫй шар задается неравенствами: а) В=((х„х,)! — а, ~х~ ~а„— а, ~х, ~а2); 11. Привести пример двумерного подпространства С((0, 1)), единичным шаром которого является единичный круг (или иначе: рассечь единичный шар пространства С((0, 11) плоскостью так, чтобы в сечении был круг).
12. Пусть Х= В'. Найти норму пространства, сопряженного к (Х, 1! 4), если норма в Х задается соотношениями: а) Я(х) = (~х,1'+ ~х,р)'" б) Л(х) = шах (! х,1, !х,!); в) )Ч(х) = (~х,!" + 1х,~')"', 2 2 11/2 г) Л'(х) = (а,1х, + 2а,гх,х, + а„х,) 2 а„~ О, а„б„— а„) О. 1.2. Некоторые теоремы из геометрии и функционального анализа.
1.2Л. Теоремы Вейерштрасса о достижении максимума и минимума. Чаще всего будет использована следующая основная Теорема Вейершт расс а. Непрерывная функция на непустом ограниченном замкнутом подмножестве конечномерного пространства достигает своих абсолютных максимума и минимума (Н, т. 1, с. 235). Выделим простое следствие из атой теоремы, которое часто будем использовать.
С л е д с т в и е, Если функция ~ непрерывна на. В" и 11ш ~(х) = + оо ( Иш ~(х) = — оо), то ~ достигает ~х)-+ со ~ )х~-+оо своего абсолютного минимума (максимума) на любом замкнутом подмножестве В". Напомним, что множество А в метрическом пространстве называется компактом, если из всякой последовательности элементов из А можно выбрать сходящуюся к элементу из А подпоследовательность или (равносильное определение) если из всякого покрытия А открытымп множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Ограниченное и замкнутое подмножество конечномерпого пространства является компактом. Функция ~: Х вЂ” В, заданная на метрическом пространстве Х, называется полунепрерывной снизу (сверху), если для любого С множество (х вз Х~~(х) ~ С) ((х с-= ~ Х!У(х) > С)) замкнуто. Следующая обобщенная теорема Вейерштрасса применима ко многим задачам Вариационного исчисления и оптимального управления. 24 Теорема Вейерштрасса (обобщенная).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
