В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Полу- непрерывная снизу (сверху) функция ~, заданная в метрическом пространстве Х, достигает минимума (максимума) на всяком компакте, содержащемся в Х. В частности, ~ достигает своего минимума (максимума) на всем Х, если для некоторого С множество (х~~(х) ~ С) ((х~~(х) ~ - С)) непусто и компактно (АТФ, с. 251). Теорема Вейерштрасса и следствие из нее сразу вытекают из этой обобщенной теоремы. 1.2.2. Теоремы отделимости. Введем понятия отделимости и строгой отделимости двух множеств. Пусть А и  — некоторые подмножества нормированного пространства Х, Х* — сопряженное к Х пространство (пространство линейных непрерывных на Х функционалов).
Говорят, что функционал х* ~ Х* разделяет множества А и В, если (х*, х) .=: (х*, у) Ух е= А и Уу е:в В. Функционал х*я Хв строго разделяет множества А и В, если существует е ) О такое, что (х*, х) ( (х*, у) — е Ух ~ А и Уу ~р В. В первом случае множества А и В называются отделимыми, во втором случае — строго отделимыми. В конечномерном случае функционал х* можно отождествить с вектором из В". Равенство (хв, х>=р, где х* Ф О, ров В, определяет в В' гиперплоскость, т.
е. линейное многообразие размерности и — 1. Поэтому отделимость множеств А и В означает существование гиперплоскости, делящей В" на две части (полупространства), в одной из которых находится множество А, а множество В расположено в другой. Сформулируем теоремы отделимости для конечномерного случая. Т е о р е м а 1 (первая теорема отделимости в конечно- мерном случае), Пусть А — непустое выпуклое множество в В", не содержащее точки Ья В". Тогда точку Ь можно отделить от множества А.
Теорема 2 (вторая теорема отделимости в конечномерном случае). Пусть А — непустое замкнутое выпуклое множество в В" и Ь вЂ” точка, не принадлежащая А. Тогда точку Ь можно строго отделить от А. Из теоремы Хана — Бапаха (КФ, с. 127) выводятся следующие теоремы отделимости в произвольном нормированном пространстве. Т е о р е и а 1' (первая теорема отделимости), Пусть Х вЂ” нормированное пространство. Если множества А ~ Х 25 ЭЛЛИПСОИД Э = Х = (Х~)~~1ЕБ г) в пространстве ЕБ 12 ( Х к2Х6 < 1 ? й=1 6.
Привести пример ограниченного замкнутого множества, не являющегося компактом. 7. Привести пример нормированного пространства Х и непрерывного функционала 1: Х- К такого, что ~(х)— + при Ы вЂ” , но нижняя грань функционала не достигается. 8. Доказать, что в копечномерном пространстве задача и кратчайшем расстоянии от точки до замкнутого мнон,ества всегда имеет решепие, и В с='Х выпуклы, непусты, не пересекаются между собой и при этом А открыто, то существует ненулевой функиионал х*~з Х*, разделяющий множества А и В (КФ, с.
130; АТФ, с. 124). "Х е о р е и а 2' (вторая теорема отделимости). Пусть Х вЂ” нормированное пространство, А с= Х вЂ” непустое замкнутое выпуклое подмножество и х АХ вЂ” точка, не принадлежащая А. Тогда найдется ненулевой функционал Х*~Х*, строго разделяющий х и А, т. е. такой, что зпр <т'", х> ( <х*, х>. (АТФ, с. 126). хил Упражнения. 1. Привести пример ограниченной непрерывной функции на ограниченном подмножестве прямой, для которой нижняя и верхняя грани не достигаются.
2. Привести пример ограниченной непрерывной функции на замкнутом подмножестве прямой, для которой нижняя и верхняя грани не достигаются, 3. Пусть Х вЂ” некоторое подмножество прямой, не являющееся компактом. Доказать, что найдется такая непрерывная на Х функция, нижняя грань которой не достигается. 4. Привести прпмер функции, полунепрерывной снизу, но не непрерывной. 5.
Являются ли компактами следующие множества: а) полуинтервал (а, о); б) последовательность точек на прямой Х„11п, и = 1,2,...; в) подмножество прямой В= Ц (и, п + 1!п(; 9. Привести пример банахова пространства Х, его замкнутого подпространства Ь и точки х, не принадлежащей этому подпространству, таких, что задача о наикратчайшем расстоянии от точки до подпространства не имеет решения. 10.
Отделить точку (2, 3) от эллипсоида х'/4+ у'/9 = 1. 11. Доказать, что в первой теореме отделимости можно взять выпуклые пепустые множества А и В такие, что пйА Фо и пйА ПВ = О. 12. Показать, что в первой теореме отделимости условие открытости отбросить нельзя. 1.3. Леммы. В теории экстремальных задач весьма часто применяются следующие четыре леммы, являющиеся следствиями из теорем отделимости и теоремы Банаха об обратном операторе (КФ, с. 213). 1.3А.
Лемма о нетривиальности аннулятора. Напомним, что аннулятором А~ подмножества А линейного пространства Х называется множество тех линейных функционалов 1 па Х, для которых <1, х) =О Уха А. Отметим, что А~ всегда содержит О гз Х*. Л е м и а.
Пусть Л вЂ” замкнутое подпространство нормированного пространства Х, причем Ь Ф Х, Тогда аннулятор Ь~ содержит ненулевой элемент (АТФ, с. 127). В конечномерном случае эта лемма означает, что если Ь вЂ” собственное подпространство в Й" (т. е. Ь чь К"), то существуют числа а„ ..., а„, не равные одновременно нулю и такие, что а,хт+ ., + а„х„= 0 тх = (х„..., х,) ~ н-=Ь. 1.3.2. Лемма о правом обратном операторе. Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, Л вЂ” непрерывный линейный эпиморфизм Х на У (Л~ 2'(Х, У), 1шЛ = У). Тогда существуют отображение М; У- Х (вообще говоря, нелинейное и разрывное) и константа С) О, удовлетворяющие условиям: ЛМ=Ут, ~!Му!~ ~ Оу~~ для всех у я У (АТФ, с. 128).
1,3.3. Лемма о замкнутости образа. Пусть Х, У, Я— банаховы пространства, А: Х - У и В: Х - Я вЂ” линейные непрерывные операторы. Равенство Сх = (Ах, Вх) определяет линейный непрерывный оператор С: Х— УХЕ. Лемма. Если подпространство 1тА замкнуто в У и подпространство В Кег А замкнуто в Я, то подпространство 1т С замкнуто в У Х Е (АТФ, с. 129). 27 1.3.4. Лемма об аннуляторе ядра регулярного оператора. Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, А: Х- У— линейный непрерывный эпиморфизм. Тоеда (Кег А)~ = =1шА* (АТФ, с.
130). Опера1ор, являющийся линейным непрерывным зппморфизмом, называется регулярны. 1.4. Определения производных. 1.4 1. Производная Фреше. Пусть М вЂ” окрестность точки х= (х„..., х ) в й", Р— отображение из 'У в й'", г" = (Р,, ..., г"„). Говорят, что отображение Р дифференцируемо в точке х, если существует матрица Л Йч), 1= 1, ..., и, )' =1, ..., и, такая, что Г(х+ Ы = йх) + ЛЬ + т(Ы, где й и ЛЬ= ЕХАТЬ, ° ° ., Х к Ь, T(Ь)=о(~Ь!) и 1/а с=~1ип~т(Ь) Ц Ь~ = О, ~Ь~ = 0 ,=1 Если функция Г дифференцпруема, то, как легко показать, матрица Л составлена из частных производных ( И',(х) 1 Ее обозначают Р'(х).
Матрица (2) называется матрицей Якоби. Если т — и, то определитель матрицы Якоби называют якобианом отображения Р в точке х. Пусть Х и У вЂ” нормированные пространства, 'У— окрестность точки х. Отображение г': М вЂ” У называют дифференцируемым по треше в точке х и пишут Р~ , ~,0(х), если существуют линейный непрерывный оператор Л из Х в У (Ля Ы(Х, У)) и отображение т некоторой окрестности х в У такие, что Р(х+ Ы = г"(х) + ЛЬ + т(Ы, (1') Пт(ЫИ = о(!!Ы!). Оператор Л называется производной Фреше и обознача- 28 ется Г'(х), Соотношепня (1') можпо кратко записать так: Е(х+ й) = Г(х) + Р'(х)(Ь1 + о(Ы, понимая о(Ы как элемент пространства У, для которого !!о(Ь)!! =о(Ы при !!Ь!! - О.
Через Р'(х)И обозначено значение отображения Р'(х) на элементе Ь. Если в каждой точке х из открытого множества Я отображение Рв-=.0(х) и отображение х — Р'(х) непрерывно, то мы пишем Е в- =С'(Ж) 14.2. Строгая дифференцируемость. Пусть отображение Р дифференцируемо по Фреше в точке х. Оно называется строго дифференцируемым в точке х (при этом пишут РяЯНх)), если для любого с ~ О найдется такое б =»О, что для всех х, и х„удовлетворяющих неравенствам !!х, — х!! ( б, !!х, — х!! = 6, выполнено неравенство !!Р(х,) — Р(х,) — Р'(х) [х, — х,1!! ~ е!!х, — х,!!. Уже в одномерном случае Я)(х) чь.0(х) (см. упр. 5).
1.4.3. Вариация по Лагранжу и производная по Гато. Пусть снова Х и У вЂ” нормированные пространства, Ж— окрестность точки х в Х, %~О(х, Х), Р: Я- У. Говорят, что Г имеет в точке х вариацию по Лагранжу, если для любого Ь ~ Х существует предел 6Р(х, Ь) = Р" (х, Ь) = 1па "+"'-"', (1) х При этом отображение Ь вЂ” ЬР(х, Ы называют вариацией по Лагранжу. Если существует такой оператор Л ~ ~ Ы'(Х, У), что оГ(х, Ь) =ЛЬ, то говорят, что Р дифференцируемо по Гато в точке х. Тогда оператор Л называется производной Гато отображения Р в точке х и обозначается Рг(х).
Таким образом, если Р дифференцируемо по Гато в точке х, то для любого фиксированного й Р(х+ ХЬ) =Р(х) + ХЕ'(х)(й) + тй), (2) где !!тй)!! — ой) при Л вЂ” О. Ясно, что из дифференцируемости по Фреше следует дифференцируемость по Гато. Уже в двумерном случае эти два понятия различаются (см. упр. 4), Из дифференцируемости по Гато по определению вытекает существо- 29 ванне первой вариации по Лагранжу. И снова (уже в двумерном случае) этн понятия различны (см.
упр. 3), 1.4.4, Производные высших порядков. Пусть % — окрестность.точки х (х„..., х„) в В", ~: М-  — функция, определенная и непрерывно дпфференцнруемая на %. Говорят, что функция ~ дважды дифферениируема в точке х, если существует квадратичная форма Д такая, что ~(х+ Ь) — ~(х) + ~ (х) (Ь) + — Д(Ь) + г(Ь), где г(Ь) = о(~Ь~') <=с- Пш(1г(Ь) ~!1Ь~') = О.
6-» з Квадратичная форма определяется симметричной мат'- рицей (д„), 1, у = 1, ..., и, которая составлена из частных д Дх) производных — . дх дх Переходим к бесконечномерному случаю. Пусть Х и У вЂ” нормированные пространства, Я с= Х вЂ” открытое подмножество. Если отображение ~: Я- У дифференци- руемо в каждой точке х ей%, то определено отображение х- ~'(х) множества Я в пространство 2'(Х, У). Посколь- ку,У(Х, 1') также является нормированным простран- ством, то можно ставить вопрос о существовании второй производной ~" (х) =Д')'(х) ее2'(Х, Ы(Х, У)). Для Ь,яХ ~" (х)[Ь~) ееЫ(Х, У). Возьмем Ь, а".Х; тогда определено ~" (хПЬ„Ь~) - ~" (хНЬ,) (Ь,).
Таким образом, определено линейное по каждому аргументу отображение ~" (а~): ХХХ- Г. Аналогично определяются производные высших порядков, Т е о р е м а (о смешанных производных). Если для отображения ~: Я вЂ” У существует вторая п~)оизводная ~" (х), то для всех Ь„Ь, ее Х 1" ( )(Ь„Ь,) = ~" (х)(Ь„Ь,1 (АТФ, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
