В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 6
Текст из файла (страница 6)
156). Упражнения. 1. Привести пример непрерывного отображения, не имеющего в фиксированной точке производной ни по ка- кому направлению, 2. Привести пример отображения, имеющего производ- ную по любому направлению, но не имеющего вариации по Лагранжу. 3. Привести пример отображения, имеющего вариацию по Лагранжу, но не имеющего производной по Гато.
4. Привести пример отображения, имеющего производную по Гато, но не имеющего производной по Фреше. 5. Привести пример отображения, имеющего производную по Фреше, но не строго дифференцируемого. 1.5. Основные теоремы дифференциального исчисления в нормированных пространствах. Приведем несколько теорем, наиболее часто используемых для решения экстремальных задач. $.5Л. Теорема о суперпозиции. Пусть Х, У, Я вЂ” нормированные пространства, % окрестность точки х в Х, У' — окрестность точки у в У, «р(х) = у, ф У' - Я, ~ = ф ° «р; Я вЂ” Я вЂ” суперпозиция отображений «р и ф Тогда, если «[: дифференцируемо по Фреше в точке у, а «р в точке х дифференцируемо по Фреше (дифференцируемо по Гато, имеет вариацию по Лагранжу), то / обладает в точке х тем же свойством, что и «р, и при этом соответственно (х) = ф (у) а «р (х) ~г(х) = «[~' (у) тг(х).
6~(х, Ь) = «[~'(у) [6«р(х, Ь)1 «з«Ь ~= Х. Если $ строго дифференцируемо в у, а «р строго дифференцируемо в х, то ~ строго дифференцируемо в х (АТФ, с. $44). Теорема о суперпозиции не имеет, вообще говоря, места, если «~ дифференцируемо лишь по Гато. 1.5.2. Формула Тейлора. Если ~«"'(х) существует, то ~ (х + Ь) = 3(х) + ~' (х) [Ь) + —, У" (х) [Ь, ЬЗ + ... ... + ~ 1~"«(х) [Ь,..., Ь) + т (Ь), где «!т(Ь)1! = оЛЫ") при Ь -«- О (АТФ, с. 159).
$.5.3. Конечномерные теоремы об обратной и неявной функции. Теорема Люстерника. Теорема о касательном пространстве. Т е о р е и а (конечномерпая теорема об обратной функции). Пусть Я с= В" — окрестность точки х = (х„...., х„), Е; Я вЂ” В" — отображение класса С'(%), Е(х) = у.
Тогда, если якобиан отображения Р в точке х отличен от нуля, то существуют такие е ~ О, 6 ~ О и К = О, что для любого у иг шара !у — у! «6 существует единственное х в шаре !х — х! «е такое, что Г(х) = у и при этом !х — х! « «К!у — у!. 3 а м е ч а н и е. Мы привели теорему об обратной функции в той форме, в которой она будет в дальнейшем у нас использоваться. Обычно доказывают больше, в част- ности, что гладкость обратного отображения будет такая же, как и гладкость прямого, и формулу (Е-'(у))' = - (р"(р-'(у)))-'. С л е д с т в и е (конечномерная теорема о неявной функции). Пусть % с= й' Х й' — окрестность точки (х, у) = =(х„..., х„у„..., у,), Ч'.
Я- й', Ч"(х, у) =О, Ч"„(х, у) — обратимая матрииа. Тогда существуют Х= О, 6 ~ О и такое отображение тр: В(х, 6) — й' класса С'(В(х, 6)), что Ч"(х, <р(х)) = О, тр(х) = у, !тр(х) — у! «К!х — 'х!. <1 Положим и =А+ в, г= (х, у) (хе= й", уе-:й'), Е(г) =(х, Ч"(г)). Тогда функпия Р' в точке г = (х, у) бу- дет удовлетворять требованиям теоремы об обратной функции, ибо 1 Ч~(2) есть невырождеппая матрица.
По теореме об обратной функции существуют такие 6 ) О, е ~ О и К ~ О, что если ! $ — х! + ! т) ! «6, то найдется единственная пара (х, у), для которой !х — х!+ !у — у! =е и Р(х, у) = (ф, т)) с=' х = ф, Ч'(х, у) = т1, !х — х!+ !у — у! -Х(!Ъ вЂ” '!+ !Ч!). Положив т) = О, получим, что если !х — х! «6, то имеется единственное у = тр(х), ! у — у! < е, для которого Р(х, тр(х)) = (х, О) с=:" Ч" (х, тр(х)) = О, !у — у! «Х!х — х!. (> 3 а м е ч а н и е.
Из формулы для производной обрат- ной футткцип немедлепно следует, что тр'(х) = — Ю„(х, ~р(х))1 ЧР„(х, тр(х))!. Р(х+ (р(х)) — Р(х), П(р(х) П < КПУ(х) — Р(х) П. 1 Доказательство этой теоремы основано на модифицированном методе Ньютона. А) Не ограничивая общности, считаем, что х= О и Р(х) = О. Выберем е - 0 столь малым, что В(0, е) с-'% и 1! Е(х') — Е(х") — Е' (О) (х' — х") 11.= —,, 1~ х' — "!! (1) при Пх'П < е, Пх" П < е (это возможно, поскольку Р вз ~ Я)(х)), где константа С) 1 взята из леммы о правом обратном операторе (п.
1.3.2) для оператора М, являющегося правым обратным к Р'(0). Положим для х ва У= В(0, 6): ф„+, = ф„— М(Р(ф„)), и ~ О, $, = х, (2) где 6 столь мало, что ПхИ+СПР(х)И < е/2 при ИхП <б. Б) Докажем по индукции, что 1~$ П <е ))(и .О, Очевидно, что П$,П=ИхИ<а/2. При п=1 из (2) и леммы о правом обратном операторе получаем оценку И4, — хП = ПМР(х)П < СПР(х)П, (3) откуда П$,П < е/2.
Пусть Ц,П < е при (=О, 1, ..., к (1с ~ 1). Выведем отсюда, что Ц„~,П < е. Для 8=0, 1, „7с из (2) имеем Р'(О) ($,~~ — $ ) + Г(В,) = О, (4) откуда (2) (4) !! В,+ — В, !! ( С(! Е (В() !! = С )7 6,) — Е (Ь 1)— — 1" (0)($,— $;-,)!!~ 2 !!$; — $;-,(!=» =='»11 $,+1 — Р,!!=:2 '!!$1 — х!)(2 1 е, (5') (5) Теорема Люстерника. 11усть Х, Я вЂ” банаховы пространства, %в=О(х, Х), Е: Я- Я.
Если Ря30(х) и Р (х) является эпиморфизмом, то существуют окрестность У с= Я точки х, число К ) 0 и отображение (р: У вЂ” Х такие, что Отсюда в силу неравенства треугольника получаем Б~+ ~~ = ~! $~+ — Ки+ $к — $ь- + "° + $з — $ + $,~~.-=- »(~53~+1 $К~~+ ~~$х $3~-1!! + Э в~ + ~~52 $11~+ ~$1~!~ ( —.~-+ — + ...
+ — ~+ —.(е. Таким образом, мы получили, что Пф„+,П <е, откуда по индукции следует, что Щ.П ( е уи ~ О. В) Из неравенств (5), (5') следует, что~)$~+т — Ц»~ ()($.„, — 5„~ (1 ~- —,' -~ „. ~. — „', 1 ( 2 з„„., — 6„~~( .:: — „« $, — х!!-~ О прп п —, т. е. (ф„с„~, — фундамеп- 2 тальная последовательность и, значит, она сходится в силу банаховостп Х, Обозначим ф(х) = 1ип $„; тогда П-ь ОО В.— ~~<1~~.— Р.— 1!+!$.— — $ —.1!+" + ~!е — $ 11+ (5'т / 1 1 ~- й — *11 < 1 $, — 4~ ., -~ — „, ~- ... -~ 1)(2Б,— 4. Переходя к пределу, получаем <з> Пф(х) — хП ~ 2П$, — хП ~ 2СПР'(х) П = КПР(х) П, причем сз> Пф(х)П ( ПхП+ 2П4, — хП ( е.
Отсюда и из (1) вытекает, что Р непрерывна в точке ф(х), и поэтому из (4) Р($(х)) = 1пп Р($„) = — 1пп Р'(О) Я„+, — $„) = О. 1; Пусть Х вЂ” нормированное пространство, М вЂ” некоторое его подмножество. Элемент Ь ~ Х называется односторонним касательньиа (иолукасательным) вектором к множеству М в точке х ~з М, если существуют е > О и отображение г: (О, е1 — Х такие, что а) х + Я + т Я ~ М Чг е- =(О, е); б) Пт(И =о(г) при ~- +О. Вектоу Ь называется касательныль к множеству М в точке х, если векторы Ь и — Ь являются оддостороннимп касательными векторамп к М в х.
Множество всех касательных векторов к М в точке х обозначается Т„-М, мно- 34 жество односторонних касательных векторов Т~М. Очевидно, что Т-„М и Т-„ЛХ вЂ” конусы. Если множество + Т-„М является подпространством в Х, то оно называется касательным пространством к М в точке х. Во многих случаях, в том числе и представляющих значительный интерес для теории экстремальных задач, множество касательных векторов может быть найдено при помощи такого следствия из теоремы Люстерника. .Т е о р е м а (о касательном пространстве).
Пусть Х, Я вЂ” банаховы пространства, % ~ С(х, Х), Г: % — Я, Г ~ я И(х) и Г(х) — эпиморфизм, М = (х ~ Х! Г(х) = Г(х)). Тогда Т-„М = КегГ'(х). 0 А) Пусть йя Т-„М, г( ) — отображение из определения касательного вектора. Так как ГвзЯ)(х), то при малых сс Г(х) = Г(х+ ай + гЪ)) = Г(х) + яГ'(х) И + о(и). Отсюда»хГ'(х)И+о(сс) =О и, значит, Г'(х)(Ц = О, т. е Т2М с: КегГ' (х). Б) Пусть й~ КегГ(х). Положим г(а) = <р(х+ аЫ, где»р — отображение, построенное в теореме Люстерника, Тогда Г(х+ ссй+ г(сс)) =Г(х), Иг(а)И Иср(х+ ссЫИ ='КИГ(х+ ай) — Г(х)И = о(а), е, й е".= ТрЛХ, И> Задачи В задачах 1,1 — 1.26 исследовать отображения на дифференцируемость по Фреше и найти производные в случае дифференцируемости.
1А. г: й" — В, ~(х) = Ах, А — матрица порядка тХп. 1.2. (Р) ~: Х- У, ~(х) = Ах, Х, У вЂ” нормированные пространства, А ~2'(Х, Г). 1.3 ~: Й ~ Н» 1 (х1» х2) = (х1хэ» х1 + х2)» х = (1» 2), 1.4. (: й" — ~-В, у(х) =,~ х,'. 35 В задачах 1.27 — 1,29 указать точки, где функции /: Н" — Н не дифференцпруемы по Фреше. и г1о 1.27. 7'(х) = '~', хо~ ° 1=1 1.28. /(х) = пгах [х~[. г~г~п 1.2.9 /(х) = '~~~ [ х, [. В задачах 130 — 1.37 найти норму линейного непре- рывного функционала х~ на пространстве Х.
1.30. (Р) Х = С([0,1[), 1 (хо, х( )) = х(0) + 3) х ® й — 4х(1). о 1 1,31, Х = С([0, 1[), (х*,х( )> = — х(О) + ) х(~) й. 1.32. Х = С ([О, 1[), 1 (х",х( )) = ~к(он1пп1Й вЂ” х~т~, /$~ 1.33, Х С([0,1)), о г (х*, х( ° )) =,'~~рох(т„) +~у(1) х(1) й, О~~т,:= ... А=1 о т„~ ~1, рг,..., р„ея Й, д ( ° ) яв С ([О, 1)). 1.34. Х=Р (х*, х> = х,/2 + х,/4 + х,/8+...
+ х„/2" +... 1.35. Х = Р, (хо, х> = (х, — х,)/2+ (х, — х,)/4+ а .. + (хги-~ — хгл)/2" + .. ° 1 1.36. (Р) Х = 2', ([О, 1[), (х*, х ( ° )) = ~ х (~) з1 и л~ й. о ма 1 1л7, х= 2',о0,1о, (х",т( )) = [хам — 2[х~ой~, о мг 1.38. Л: Р- Р, Лх=(хг, х,, ..., х.....), где х = (х„х„...), Л*= 7 1,39. Л: Р— Р, Лх= (х„О, х„О, х„О, ...), где х = (х„х,, ...), Л'о =? В задачах 1.40 — 1.54 найти касательные множества Т-„М или Т-„М к множеству М в точке х.
1.40. М = [(хг1х,) е= В"~КЯ х', + х', ~~ 1[, х = (О, 1), Т-„М, Т+М = Г 37 1.41. ЛХ = )(х„х,) е:з В" В+ ) х~) + х', ~» 1), х - (О, 0), Т-„М. Т„"М =? 1 42. М = )(х„х,) )зн В') х", х,'), х = (О, 0), Т+ЛХ =? 1.43. М = )(х21 х2) ~ В' ! х22 ( х2), х = (О, 0), Т-„М =-? 1.44, ЛХ = )(х21х2) н= В') х', ~~х3)1 х = (0,0), Т-М =? 1.42. 2|=))х,,х,)~ В')х,х, 1), х=(2, 1), Т„-,М =? 11 1.46. М= х= (х„...,х,) ~ В" ~', х24 — — 1, 3=2 х = (1, О, ..., 0), Т-„ЛХ =? 1.47. ЛХ = х = (х„..., х„) ~ В" ~', х'; = 1, 1=1 1.48. М= )х( ° ) е-=С ((О, Ц))х'") (1) = х'") (1)), х е- =С' ((О, Ц), Т-„М =? 1.49. (Р) М= х ( ) ~ С ((О, Ц) 1 ) и!пх)1)41= 2)х~ о х(8) = л~, Т-„ЛХ =? 1.50.
М = (х( ) ~ С((0, Ц)) зт х(0) = сов х(1) = 0), х (~) = л1/2, Т-,,М =? 1.51. ЛХ вЂ” множество рациональных чисел, Т„-ЛХ =? !.52. )Р) 11 == )0,1,—,,..., —,...)~ В,х=О, Т~М=) 1.54. ЛХ= 0,1,—,,—,,... с В, х=О, Т$ЛХ=? % 2, ГЛАДКИЕ ЗАДАЧИ 38 2.1. Элементарные задачи. 21.1. Постановка гладкой элементарной задачи. Пусть 1: В -  — функция одной действительной переменной, обладающая некоторой гладкостью, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
