В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Значения функции х( ) в точках ~, и в общем случае могут быть и не заданы. Частным случаем (з) является задача, в которой один из концов 1, или 1, — подвижный, а другой закреплен. Тройка (х( ), ~„~,) называется допустимой в (з), если х( ) ~ С'(Л), 1„1, я 1п1 Л, 10 < 1„и выполняются условия (1) на концах. Будем говорить, что допустимая тройка (х( ), ~„ ~,) доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (з) (в пространстве С'(Л) Х Н'), если существует б - О такое, что для любой другой допустимой тройки (х( ° ), й„й,), для которой ~й,— 7,!(6,1й,— й,1~б и 1х( ° ) — х( )$,, „)(Ь, выполняется неравенство .~(х( ), ~. ~,) ~ ~(х( ), ~. ~,) (Р(х( ), ~о, ~1) ~ ~(х( ), ~о, М).
При этом будем писать (х( ), ~„~,) ез 1ос ш1п з (1ос шах з). Отметим, что если (х( ), г,, 1,) ~з 1осех(гз, то любая допустимая тройка (х( ), 1„1,) такая, что ограничение х( ) на И„~Д совпадает с х( ), также будет доставлять локальный экстремум. Поэтому при выписывании ответа л Л в (з) достаточно задавать х( ) только на [1„1,1, 5.4.2. Правило решения. 1. Составить функцию Лагранжа: 2'(х( ° ), ~„~„Х) = т = 1~„~Р,*, х)~~ ~- ~; ~,4; (~„хв,), 1„хв,)), ~о 1=0 где Х = О,, Х„..., Х ) ~ В"+' — множители Лагранжа, 2. Выписать необтодимые условия: а) уравнение Эйлера — — „'„).,ь. ®+ л,ь,(е) = о; образом, включая два подвижных конца интегрирования, имеем т+4 неизвестных.
Для их отыскания у нас есть также и+4 уравнений: и условий в (1) п. 5.4.1, 2 условия трансверсальностп и 2 условия стационарностп по 1ь /С=О, 1. 5.4.3. Необходимые условия эистремума. В этом пункте приведем доказательство необходимого условия экстремума для следующего частного случая задачи с двумя подвижными концамп: У(х( ° ),1„1,) = ~1(г,х(1),х(~))аг- ех~г; (з) ~0 х(г,) = <р И,), х(г,) =ср (г,).
Общий случай рассмотрен в п. 8.1.3, Теорема: Пусть %с=С(В'), Ь: %- В, Ь ~ С1 (а), х( ° ) е= С1(Л), (г, х(г), х (г)) бБ Я У1 еБ Л, а, еБ 0 (г,, В), Чр,: а, — В, р, ~ С1 (Л,), х К) = %; Ръ), г=0,1. Тогда, если (х( ), Г„Г,) еа 1ос ех1г з, то выполняются: а) уравнение Эйлера — — „Х. (г) + Х. (~) = О Уг и=- ( ц„~,); б) условия трансвереальноети Х Р,) - ~ „Р,) Й,Р,) - р,(~,)), 1= 0,1, Нетрудно видеть, что эти условия трансверсальности эквивалентны условиям трансверсальности п, 5.4.2 с учетом условий стационарности по 1, и, Г,. < Уравнение Эйлера выполняется в силу теоремы и. 5.2.3, ибо х доставляет также. локальный экстремум функционалу 5' при фиксированных краевых условиях д Л хО,) -хИ,), 1=0, 1.
Докажем условие трансверсальностп на правом конце — в точке Г,. Доказательство условия трансверсальности на левом конце — в точке ~, — проводится аналогично. Рассмотрим однопараметрическое семейство функций хИ, С) = хИ) + СИ вЂ” г,) и функцию двух переменных фИ,, С) х(~„С) — ~р,И,). По условию, ф(г„О) хй)— — ср,Й,) = О. Далее, Чсй,О) = Е~ — ~, т. О.
Поконечномерной 100 б) условия трансверсальности по х для терминанта 1= = Хх(0): Х. (О) = Е.„(о), Е . (Т) = — Е „(т) ~ ~ 2Хох (0) = Х, 2Хох(Т) = О, в) условие стацпонарностп по Т (выписываем только для подвижного конца): 2 (Т) =О ).,(х'(т) — (т)+1) =О, 3. Ксли Х, =О, то пз б) следует, что 1 =0 — все множители Лагранжа оказались нулями. Положим Х, = 1. Тогда пз а) вытекает, что х= — 1/2. Общее решение этого дифференциального уравнения: х = — Р/4 + С,~ + С,. Поскольку х(0) = О, то С, = О.
Для определения неизвестных С, и Т имеем два уравнения: х(Т) =0 и х'(Т)— — х(Т) + 1 =0. Решая зту систему уравнений, находим, что Т = 2, С1 = 1. 4. В задаче имеется единственная допустимая экстремаль х = — Р/4+ ~, рассматриваемая на отрезке (О, 21. Покажем, что (х( ), Т) Ф 1ос ех$г. Действительно, для функции х(~) = ~ — ~'/4 т 5' (х ( ° ), Т) = ~ (хо — х + 1) й = о т 4 +1 = +3 о При Т, близких к Т = 2, значения функционала У(х( ), Т) могут быть как меньше У(х( ), Т), так и больше У(х( ), Т), Возьмем последовательность пар х„(г) = ~, Т„= и; тогда У(х„( ), Т„) — — прп и — + .
Значит, 5 „=— Очевидно, что Я „, = + 5.5. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия. Теорема Боголюбова. 102 . 5.5 1; Простейшая задача. Рассмотрим простешпую задачу Р(х( ))- ~ Ь(1,х, х) Й иА х(Ц,) = х„, х(1,) = х„ 'о (з) где Е: Я- Н, Жеев(В'"+'). Будем далее предполагать, что пнтегрант Е по меньшей мере принадлежит классу С'(Я). Пусть х( ) ~ ее С'([8„8,3, Н") — зкстремаль (з), т, е, на х( ) удовлетворяется уравнение Эйлера. Будем говорить, что на х( ) выполнено условив Лвжандра, еслп Ь ° ° (1))~О У1е= [1„, 1,1, и усиленное услохх вие Лежандра, если Х ° ° (~) > 0 У~ е= [~„~,].
хх При наших допущениях относительно гладкости интегранта Ь функционал У имеет вторую производную в точке х( ) следующего вида *): У (х( ° )))х( ° ), х( ° )) = Л (х( )) = ~ ((Ах, х) + 2 (Сх, х) + (Вх, х)) й, (1) о где А (~) = Е ° ° (~), В (~) = Ьхх(~), 2С(~) Х, (~) + Х ° ( ) Уравнение Эйлера для функционала Ж, т. е. уравнение е Ф вЂ” — (А х + С*х) + Сх [- Вх = О, ~й называется уравнением Якоби для исходной задачи на зкстремали х( ).
~) След~ ет иметь в виду при етом, что Е, д2~ о дт~ Я = ( —,, Е. = ., а для матрицы И ~ дх дх ° хх дх.дх. ь)=1 1 д ~.3=1 и = (д,„) ~; справедливо (бх, у> = ',~~ д4х,И, 1,3=1 103 М Пусть на х( ) выполнено усиленное условие Лежандра. Точка т называется сопряженной к точке Г„ если существует нетривиальное решение й уравнения Якоби, для которого п(г,) =й(т) О, Говорят, что на х( ° ) выполнено условие Якоби (усиленное условие Якоби), если в интервале (Х„й,) (полуинтервале (г„г,1) нет точек, сопряженных с Е,, Уравнение Якоби — зто линейное уравнение второго порядка, которое (из-за усиленного условия Лежандра) можно разрешить относительно второй производной.
Пусть НИ, ~,) — матричное решение уравнения Якоби с условиями НИ„Е,) = О, Н(г„Е,) невырождена (обычно полагают Н(г„г,) Х). Очевидно, что точка т является сопряженной к 1, тогда и только тогда, когда матрица Н(т, г,) является вырожденной. Это дает аналитическое средство находить сопряженные точки, Если % >> Х В", $' ~з С(В" +') и функция. х - Иг, х, х) выпукла (строго выпукла) ч (г,х) еБ >~, то говорят, что интегрант Х вЂ” квазирегулярен (регулярен) на г>. Теорема 1. Необходимые условия слабого минимума. Пусть в задаче (з) интегрант Ь удовлетворяет условию гладкости Ь я С'(%).
Если х( ) еа ва С'Л~„~,1, В") и доставляет слабый минимум (з), то функция х( ) должна быть экстремалью, на которой удовлетворяются условия Лежандра и Якоби. Достаточные условия сильного минимум а. Пусть М = $' Х В", )> ез 0'(В" +'), интегрант Д вз ва С'(Я) и кваэирегулярен на К. Тогда, если х( ) вз вз С'([г„Ц, В") и при этом х( ) — допустимая экстремаль, на которой удовлетворяются усиленные условия Лежандра и Якоби, то х( ) доставляет сильный минимум задаче (з). Для квадратичных 'функционалов вида (1) задача может быть исследована до конца. Т е о р е и а 2.
Пусть в (з) функционал имеет вид (1), причем матрицы А и С непрерывно дифференцируемы, матрица В непрерывна и выполнено усиленное условие Лежандра А(~)' ~О Ю~Иэ, гг1. Тогда, если не выполнено условие Якоби, т. е. в интервале (г,, ~,) есть сопряженная точка, то нижняя грань в задаче равна — . Если выполнено усиленное условие Якоби, то допустимая экстрелгаль существует, единственна и доставляет абсолютный минимум. г04 5.5.2.
Задача Больца. Рассмотрим задачу Больца к, Я (х ( ° )) = ~ Е (1, х, х) Й + 1(х (го), х(г1))-Ф1П$~ (3) ФО где ~ . Я ~ В ~Ц гз С~(В2т~+!) 1. ~о 1 В ~Ф <я <~(ВЙЯ) Теорема 1, Необходимые условия слабо- г о и и н и и у и а, Пусть в задаче (з) интегрант Ь и тер- минант 1 удовлетворяют условию гладкости Ь вз С'(Я), 1ва С'Ф').
Если х( ) ве С'(И„~,), В") и доставляет слабый минимум (з), то на х( ) удовлетворяются уравнение Эй- лера, условия трансверсальности, Лежандра и Якоби, а если выполнено усиленное условие Якоби, то квадратич- ная форма Р+Ч должна быть неотрицательна. Здесь ~ = Ч (х„х,) = 1" (х (т ), (Ю,)) ((х„х,), (х„х,И, Р = Р(хо, х,) = (А(й,)(Н,(Е,) х„+ Н1(81) х,),х,>— — (4(~о) (Но(~о) хо+ Н1(~о) х1), хо> + (С(Е,) х„х,)— — <С(~о), хо,хо), А(г) .С.. (~), 2С(~)-Х,'. (~)+Е .
(~), Н, — матричное решение уравнения Якоби с условием Н И) 6„7. Достаточные условия сильного минимум а. Пусть Я = $' Х В, $' вз О'(В" +'), интегрант Е вз вз С'ЯО и квазирегулярен на $'. Тогда при условии, что х( ) ~ С'И~„Ц, В"), на х( ° ) удовлетворяются уравнение Эйлера, условие трансверсальности, усиленные условия Лежандра и Якоби и форма Р+ Д положительно опреде- Ф лена, то х( ) доставляет сильный минимум задаче (з).
И здесь выделим случай квадратичных функционалов в отдельную теорему. Теорема 2. Пусть в задаче (з) интегральный функционал имеет вид (1) и. 5.5.1, причем матрицы А и С непрерывно дифференцируемы, а В непрерывна, терминант 1(х„х,) = <ях„х,>+2<"(х„х,>+ <фх„х,>, где а, р, "( — матрицы размера и Х и. Пусть, кроме того, выполнено усиленное условие Лежандра АИ) ) О. Тогда, если в интервале (1„1,) есть сопряженная точка, то значение задачи равно — . Если же выполнено усиленное условие Якоби и матрица Р+ Ч, введенная выше, неотрицательно определена, то допустимая ~кстремаль есть х( ) О, 105 Теоремы 1, 2 пп, 5.5Л, 5.5.2 будут доказапы в $ 10.
Там же будет выведено необходимое условие Вейерштрасса сильного минимума. 5.5.3. Теорема Боголюбова. Читатель мог заметить, что в наших теоремах необходимые и достаточные условия различны: квазпрегулярность не фигурирует в необходимых условиях, но присутствует в достаточных.
Из нижеследующей теоремы вытекает, что с теоретической точки зрения интегранты в задачах вариацпонного исчисления можно считать квазирегулярными: заменяя инте- грант его квазирегуляризацией, т. е. овыпуклением по производным, мы получаем новую задачу, у которой имеется то же самое численное значение, что и у первоначальной. Теорема. Пусть %взС(В'"+'), Ь: Я-  — непрерывный интегрант, Е(г, х, ) — вторая сопряженная (в смысле выпуклого анализа (см. п. ЗЛ,2)) функции х И1, х,х), С1 «У (х ( )) = ~ 1~ (Е, х, х) аг — ~- 1пХ; х (Юо) =-хг«х (Е1) = хт «( з) — простейшая задача с интегрантом Е, Тогда численное значение в задаче У с, У(х( )) = ~ Х (Е,х,х)Й вЂ” э-1п(; х(Е ) = х, х(Е,) = х, (з) ~о совпадает с численным значением задачи (з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
