В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Более того, для любой функции х( ) ~ С'Ф„й,1), х(8,) =х„х(Е,) = х„ существует последовательность (х„( ))„~, такая, что х„( ) — х( ) в пространстве СФ„Е,1) и 11ш У(х.( )) й-«оо = У(х( ° )), Из сформулированной теоремы немедленно вытекает, что численное значение в примере 2 п. 5.3 равно— В примере б того же пункта невыпуклость пнтегранта явилась причиной несуществования решения. Там же была построена последовательность функций, сходящая- ся к функции, тождественно равной нулю, со значениями интегралов, стремящимися к численному значению зада- чи. Подобный метод применяется и при доказательстве теоремы Боголюбова.
106 5.6. Теория поля, Уравнение Гамильтона — Якоби. 5.6.1. Поле, функция наклона поля и Я-функция. Пусть есть функционал простейшей задачи классического варпацпонного исчисления и х( ) — некоторая зкстремаль этого функционала пз семейства экстремалей Ы, Х)), х(, )(,) ~нС((И„1,1, В"), с параметром Хе=ЛезС(В"). Будем говорить, что х( ) окружена полем экстремалей хИ, О, если существует окрестность С графика 1,"= 1(1, х(4)) ~В"+'~1~(1„1,1) такая, что для любой точки (т, ф) пз этой окрестности имеется единственная экстремаль семейства, проходящая через зту точку. Точнее, существует функция Х: С вЂ” В", Х = Х(т, ~), класса С((6) такая, что х(т, Х) = ~ с=( 1 =1(т, ~).
Функция и:С В", и(т,((= — х(а,у.(т,$((/, нааываетея Еууяяцией наклона поля. Если существует такая точка И~, х.,у), что х(~~, Х) = = х(, для всех 1 ~ Л, то говорят, что х( ) окружена центральным полем экстремалей. Точка (Е~, ху) называется центром поля, семейство х(Е, ).) — центральным полем вкстремалей. то е Ж (х( )) = —. ) (х' — х'-) Й (гармонпче- а Пример. Ю7 ский осциллятор).
Зкстремали этого функционала имеют впд х(1) = — С, ип ~+ С,сов ~. Совокупность экстремалей хИ, Х) = =Хз1п1 есть центральное поле экстремалей с центром в точке (О, 0), включающее, в частности, экстремаль х(~) -"О, покрывающее полосу 0: ~ Сл. Функция наклона поля и(т, $), О < т ( и, вычисляется так: надо взять экстремаль поля, проходящую через точку (т, $) (т. е.
~з1п 1!з1п т), и вычиСлить производную этой зкстремалп в точке т. Таким образом, и(т, $) = $с$дт, В п. 10.3,1„будет доказано, что если Ь ез С'(Ж), х( ) ееС'(((„~(1, В") — экстремаль функционала У и выполнены усиленнв~е условия Лежандра и Якоби, то акстремаль х( ) можно окружить (центральным) полем акстремалей. Отметим геометрический смысл сопряженной точки при и 1. Сопряженная точка — ато точка пересечения «бесконечно близких» экстремалей. А именно, если рассмотреть центральное поле акстремалей х(., Х), удовлетворяющее условиям х(Е«,Х) х(Е.,»), х(Е«, Х) х(Е«)+Р., то сопряженные точки — ато точки пересечения экстре- мали с огибающей полученного семейства, Иначе говоря, надо решить уравнения х,(г, Х) — О.
Подробнее об атом см., например, в (1, с. 67). Пусть х(, Х) — центральное поле, окружающее акстремаль х( ) функционала У. Положим я(т,в-(ьи,*и,дт,$»,хР,~(т,цдА, Эту функцию называют Б-функцией центрального поля х(, Х). В п. 10.3.1 будет доказано, что (при указанных выше допущениях на гладкость Е и х( )) дифференциал функции Я имеет вид дйт, $) = — Н(т, ~)Ыт+ (р(т, $), д$>, где р (т, $) = Е. (т, $, и (т, $)),Н (т, $) = (р (т, $), и (т, $))— — Л (т, $, и (т, $)). В рассмотренном выше примере (гармоническом осцилляторе) для введенного там центрального поля $2 ~ (~, $) = 2 с~а 5,6.2. Основная формула Вейерштрасса.
Пусть 1: В"—  — дифференцируемая функция и переменных, Функцию 8'(х, х') = 7'(х') — 7'(х) — (~'(х), х' — х) (1) назовем функцией Вейерштрасса, соответствующей Геометрический смысл Р таков: Ю(х, х') — ато разность в точке х' между значением ) и значением аффпнной функции, касательной к графику ~ в точке х. Отсюда ясно, что если / выпукла, то 8' (х, х') - "О Чх, х' ня В". Можно показать, что верно и обратное. 108 Пусть .6 — интегрант функцпонала У простейшей за- дачи классического вариационного исчисления.
Функция Я' (г, х, и, х) = Ь (г, х, х) — Ь (1, х, и) — (Е . (г, х, и), х — и) (1') называется ~бункцией Вейерштрасса функционала У. Из сопоставления (1) и (1') видно, что д'(~, х,,) — функ- ция Вейерштрасса функции х- ( (г, х, х), где ~, х игра- ют роль параметров. Из сказанного следует, что квазирегулярность (регу- лярность) интегранта Ь в области $" (п. 5.5.1) равносиль- на тому, что ~ (Е, х, и, х) .:э О (Ю (8, х, и, х) ) О, х ~ь и) У (й, х) ~ Т~, (и, х) и=- К'", Пусть экстремаль х( ) окружена центральным полем. экстремалей х(, Х) и х( ) я КС'((~„Ц, В") — некоторая функция, график которой расположен в достаточно ма- лой окрестности графика Г", и при этом х(1,) = хИ,), Ъ,) = х(Е,). Тогда с, ~,(Я((,х(~)) ~,1Я(Ю х(~))Ы ~( Н(Ю х(Ю))+ 'о 'о )о с, ~ <р Р, *и), * оВ о "-" ~ Ф Р, *(о, * Ф)— ~о — (р (1, х (1)), х (1)) + (р (1, х (1)), х (())) й = У (х( ° )). Отсюда У (х( ° )) — У (х( )) = ~Ь(1, х(1), х(1)) й— — ~ няо,х(ф= 1~це,х(о,хоо — ь(ж,хщ,ио,хое— ~о — (х — и(Е, х(()), Х .
(Е,х(Е), и(Е, х(Е))))) й = С1 = ~ ~ (Е, х (Е), и (Ю, х (~)), х (~)) й, Эту формулу называют основной формулой Вейерштрасса. 109 В рассмотренном выше примере (гармоническом осцилляторе) для х(») — = О, Т, ( л получаем тождество то то жЩ ))=-~ (я'٠— х'(ВДНХ = -~~хф — айвой-Ф-к)хЩ)'Й, имеющее место для любой функции х( ) ~КС'([»„»,1), х(0) = х(Т,) = О, если только е настолько мало, что Т,+ е <:л.
5.6.3. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби. Пусть У вЂ” функционал, определенный в и. 5.6.1, с регулярным интегрантом Ь. Тогда соотношения р (», х) = Ь (», х, и (», х)), — Н(», х) = И», х, и(», х)) — (р(», х), и(», х)), полученные в и. 5.6.1, означают, что преобразование Лежандра — Юнга — Фенхеля функции х — Ь(», х, х), которую мы обозначим Ж(», х, р), обладает тем свойством, что,Ж(», х, р(», х)) = Н(», х). Но это значит, что Я-функция центрального поля удовлетворяет уравнению дЯ(»,х) ®( дЯ(».х) ) д + (~~х' д Это уравнение называется уравнением Гамильтона— Якоби.
Этому уравнению удовлетворяют многие Я-функции, построенные по другим полям (не обязательно центральным). В рассмотрением выше примере (гармоннческом осцилляторе) уравнение Гамильтона — Якоби приобретает вид — + — — +х' =О. Якоби принадлежит метод нахождения общего решения уравнения Эйлера с помощью интегрирования уравнения Гамильтона — Якоби. Т е о р е м а Я к о б и. Пусть семейство функций Я(», х, а), зависящее от иараметра и ~ В", удовлетворяет в некоторой окрестйости точки (»„ х,) уравнению Гамильтона — Якоби дЯ (», х, а) ~ (» дЯ (», х, и) д» + ~ ' ' дх 110 для всех значений параметра сг в некоторой окрестности точки а,.
Если функг)ия Я дважды непрерывно дифференцируелга в некоторой окрестности г' с= Й'"+' точки з"я И„х„а,) и при этом в этой окрестности с1е11 д =,Ф-.О, то соотношения Я,= р представляют в некоторой Окрест» ности точки 1, обигее решение уравнения Эйлера (2, с,95). В рассмотренном выше примере (гармоничесг1ом осцпнляторе) ищем полный интеграл уравненпя Гамирьтона — Якоби в виде Я = д(1) + )(х).
Тогда 2г д'(1) + —,(хо + ~' (х)) = О=~ у(г) = — — + аг, г ф = 1 г~«' — г'А -~- а . о Из уравнения 5' = р получаем х — — — + ) ~/сг' — з'Ыз + а =~ х = С в(п (1+ )), оа 2 о Мы получили общее решение уравнения Эйлера. 5.7. Примеры. Пример 1. т, 1 (х' — х~)й !п1; х(0~ =0, ха| г, 70>0 о (гармонпческии осциллятор). Решение. 1.
г =х' — х'. 2. Необходимое условие — уравнение Эйлера х+ х = О. 3. Общее решение уравнения Эйлера: х(г) = С, з(п1+ + С,сов |. 4. Применим достаточные условия. Условие Лежандра выполнено, ибо 1 ° == 2 ) О. Проверим выполнимость хх условия Якоби. Уравнение Якобп здесь совпадает с уравнением Эйлера.
Решение Ь уравнения Якобы с условпямп Ь(О) = О, Й(0) Ф О есть Ь(1) = А з1п1, А Ф О. Точки — сопряженные с точкой нуль — нули уравнения агами = О. Ближайшая к нулю точка — сопря кенная точке ато я. О т в е т. Из теоремы 2 п. 5.5.1 следует, что если Т, < и, то х(г) =" зги ~/Йп Т, ~ аЬз ага; если Т, > л, то 111- 5'„~, = — оо.
При Т, л, $ = О допустимые зкстремалп имеют вид х(г) Сз1п~, 5 „0; при $~0 Ю „ Пример 2. т, ) (х,'~- х',~-2я,х,)й ех~г, о х, (0) = х,о, х; (Т,) = х„, Ю = 1, 2. Решение. 1. Интегрант: Е= х, + х, + 2х,х. 2 2 2. Необходимое условие — система уравнений Эйлера х, х„х, = х, ~. х, = х„х, = х,. 3. Общее решение системы уравнений Эйлера: х,(г) С~зЬ| + Сгс)1г + Сзз1пг + С~созе, х~(г) С1зЬг + + С~ сЬ | — С, з1п г — С, сов ~. 4. Применим достаточные условия. Условие Лежандра выполнено, ибо матрица А =1 — единичная. Система уравнений Якоби совпадает с системой уравнений Эйлера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
