В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В качестве Н(г, 0) возьмем матрицу яы — зыг ' При этом Йе1Н(0,0)= ~ $ р~О, ЙейЯ~с,О)= — 28Ьйв1пе. 1 Соп яженные точки: т = йл, й ее Х, та ет. При Т, = л существует единственная экстремаль, доставляющая абсолютный минимум при Т, =» д Я „= — . Случай Т, = я требует дополнительного исследования, Я „= Пример 3. л'2 (х' — х"-) ~И -)- ссх'(0) + ~)х'- —, + 2ух(0) х —.
-+ 1п1. о Р е ш е н и е. 1. Интегрант: Ь х' — х', терминант; 1 = ях'(О) + рх'(л/2) + 2"(х(0)х(л/2). 2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера х+ х = 0; б) трансверсальность по х: х(0) = ях(0) + (х(л/2), йя/2) = — ~х(л/2) — ~х(0). И2 3. Общее решение уравнения Эйлера: хИ) = С, з1п~+ + С, сов ~.
Допустимые акстремали: если (( — 1)' — яр Ф О, то хИ) — = 0; если (( — 1)' — ар = О, то получается семейство допустимых экстремалей„зависящее от параметра. 4, Применим достаточные условия. Усиленное условие Лежандра Х .. =- 2) 0 выполнено, и, более того, пнтегрант Ь квазирегулярен. Уравнение Якоби совпадает с уравнением Эйлера. Решением уравнения Якоби Ь'+ Ь 0 с краевыми условиями Ье(л/2) О, Ь„(0) 1 и Ь,(0) О, Ь,(л/2) 1 являются функции Ь, сов й, Ь, з1п~. Квадратичная форма Р+ ~ имеет вид 2а 2т — 2 Эта форма положительно определена при и ) 0 и ар— — (( — 1)' ) О, не является неотрицательно определенной при со<0 плп а>0 и ар — (( — 1)'(О. О т в е т. сс ) 0 и сср — (( — 1)' ~ 0 =:- х(г) 0 ою аЬз ш1п; я 0 и ар — (( — 1)' =0 или а(О=в-хй) Ф1осех$г; Аа!в - — ~~~', а)О и сср — (( — 1)'=0 пли а 0 и ар — (( — 1)'> > О ~ требуется дополнительное исследование.
Задачи Решить задачи Больца 5.1 — 5.7. 1 5.1. ~ х'-й + 4хо (0) — 5хо (1) -э ех(г. о 5.2. ~ (хо+ х')й — 2х(1) зЬ1-вех(г. о вз. 1 ~х' -1- х' — 4хв1п ой лвх~~о)-лвл(п).-х~оо-~ех~г. о л 2 5.4. (хо — х') д$+ х'(0) — х'- (-,"'1+ 4х( — "! — ~ех(г. ~о 5.5. (Р)) (хв + х') й + ах- '(То) -в- еа(г. 8 в М А;телееев и др 5.32. 5.33. (пример 5.34. 5.35.
5.37. 5.38. 5.39. 5.40. 5.41. 5.42. 5.43. (сх'+ хх)й-э-ехСг; х(1) = О, х(е) = 1. 1 1 ~~е'х' ~ $2х')й егйг; х~а) о, х~а= х о Гильберта). 1 ~ (х'+ х') й-+ех1г; х( — 1)=х(1) = 1. -1 1 (х' + 4х') Й-~. ез:1г; х( — 1) = — 1, х(1) = 1. -1 1 (х'+ х'+ 2х) Й вЂ” э ех~г; х (0) = х (1) = О. а 1 ~ (х' + х' + гх) й -э- ех~г; х (О) = х (1) = О, а 1 (4хя(п ~ — х' — х') Ю-» ех1г; х(О) = х(1) = О. о 1 ) (х'+ х'+ 6хе1~2г)А-э.еМг; х(0) = х(1) = О. о то (х'+ х' — 4хып ~) й-э-ех$г; о х (0) = О, х (Т ) = $. то ) (ха + х' + бх яЬ 2г) Й вЂ” ~- юг; о х(0) = О, х(Т,) = $ т (х'+ х'+ 4хя1~ ~) й-~-е~~г; о х(0) = — 1, х(1) = О. то ~ (х'+ х'+ 4хя1~ г) й-+е ~г; х(0)=0, х(Та)=$. о й 5.66. а(п хй-О-ех1г; х(0) = О, х(1) =— о 1 5.67.
) совхй-э ех1г; х(О) = О, х(1) = л. о то 008 ) в!плй ех0; х<0)=0, х(ТО Е, О то 5.69. ~ сояхй — э-ех$г; х(0) = О, х(Т ) = $. о т, ° ° 5.70. )' хе" й-0.ех1г; х(0) = О, х(ТО) = $. о О 5.71. ~ (х'+ 5х) й-0-ех(г; х(О) = О, х(Т,) = $, о 1 5.72. (Р) ~ (1 — хо)2й-0-ех$г; х(0) = О, х(1) =- $. О то Ф 5.73. ) (х' — хх') й-з-ех1г; х(0) = О, х(ТО) =0 (псслео довать на экстремум допустимую экстремаль х(1) = — 0), 1 5 74.
~ (х' — 4х'х + 2(х') й -0- ет(г; х (0) = О, х (1) = 0 о (исследовать на экстремум допустимую экстре мал ь х(~) = — 0). 1/2 1+ х 5.75. ) й-1 ех1г; х(0) =1, х~2) = о 11Г 5.76. ~ ' й-~ех1г; х —,) = —, х(1) = 1. ~2) 2 "~ +*2 ,5.77. й-э. ЕК(Г; Х (10) = Х„Х (Е1) = Х, о (хо-" 0 х1» О) 119 т о 578. ) х)гг1.~.хей егггг х)Т)=х) — Т) 5 (задача о минимальной поверхности вращения). ~~/ 'г 5.79.
й-7-ех1г; х(~0) = х„х(~,) х, Фо (х, ) О, х, ) 0) (задача о брахистохроне). ~0 580. ) )гх-)-й)Г 1-)- х ЫГ гп); х)0)= О, х)Т)= е. а В задачах 5.81 — 5.86 найти допустимые экстремали. 5.81. ) (х', + х', — 2х,х,)Ж-8 ех1г; о х2 (О) = х2 (О) = О, х2 (1) = зЫ, х, (1) = — вЬ 1, 1 5.82. ~ (х2 ~+ х', + 2х,х2) ~й-)- ех~г; о х2(0) =х8(0) =О, х2(1) х,(1) = зп1. 2 е е 5.83.
) (х,х, + х,х,)ог-8 ехтг; о х,(0) = х,(0) 1, х2(1) = е, хз (1) =-. 1 7272 е ° 5.84. ) (х,х, — х,х,) й-)-ех1г; о х (О) х8(0)=0 х) ~ = 1 х2, = 1. 1 5.85. ) )х,хг -). Ох,Г -)- 12х,Ге) й еххг; о х, (0) = х8 (0) = О, х2 (1) = х2 (1) = 1, 77/2 585. ) 'гх', -)- х,'.1- 2х,х, ). 2х,х,)й еггг; х,)0) = 0 120 Решить задачи с подвижными концами 5.87 — 5.107. 1 5.87. ) х2й-)-ел~г; х(0) = 1.
о 1 588. ) х58Г -~- хх'(1) еггг; х(0) = О. о т 5.89. ) х'й-»- ех1г; х (0) = О, Т + х (Т) + 1 = О. о т 5.90. ~ х'й-»-е~1г; х(0) = О, (Т вЂ” 1) х'(Т) + 2= О. о т 5.91. ) хой-»-ех1г; Т+х(Т)=1, х(0)=0. о 1 5.92. ) (х'+ х) й-5. еМг; х(1) = О. о т, 5.98. ()х)) (х — х')ОГ еггг, х(0) О. о т 5.94. ~ (х' + х) й -). ех1г; х (0) = 1. о 5.95. ) (х2+ х) й-9.ех1г; х(Т) = Т. о т 5.96. ~ (х2 + х) й -9. ех1г; х (0) = О, х (Т) = ~.
о т 5.97. ~(хо+ х) й-5. ех~г; х(0) = О, х(Т) = Т, о т 5.98. ) (Х -~- х -)- 2) ЫГ ехег; х(0) О. о 5.99. ~ (х' — х') й-5-ех1г, 'х(0) = 1. о то 5.100. ~ (х' — х') й-»-ех1г; х(0) = О, о 121 С'(К, ~1)) (или кс'((1„~,1)): Ге(е( )) ()е(е,е(1),е(Е))й ееее; ео с, %(е( )) (1~(е,е(е),е(е))Ые=ае е 1, ° ° °,т~ (1) Со Х (~О) = ХОе Х(11) = Х~ (2) Здесь ~1: В' - В, 1 О, 1,..., т,— функции трех переменных. Константы а„..., а — заданные фиксированные числа. Ограничения вида (1) называются изопериметрическими. Функции ~„1= О, 1, ..., тп, называются интегрантами. Функции х(.) оз С(Ф„~()), удовлетворяющие изопериметрическим условиям (1) и условиям на концах (2), называются допустимыми. Будем говорить, что допустимая функция х( ) доставляет в задаче (з) слабый локальный минимум (максимум), и писать х( ) ов 1ос )п(п з (1ос )пах з), если существует 6) О такое, что для любой допустимой функции х( ), для которой Ь( ) — х( )()1(6, выполняется неравенство ~'о(х( )) ~,Р О(х( )) Ж(х( )) ~ ~'о(х( ))).
В.1.2. Правило решения. 1, Составить лагранжиан: ) е е ( = Ь (~, х, х, Х) = Х ХА (~, х, х), Х = (Х„)),„,, „Х„). ~-о 2. Выписать необходимое условие экстремума — уравнение Эйлера для лагранжиана Х,: — ', е,. (1) + ~. (е) = о —,-', ~ 1,1 . (1)) е. ~ о + .').' ХА.,(й) = О. (-о 3. Найти допустимые экстремали, т. е. допустимые решения уравнения Эйлера для лагранжиана Е при векторе множителей Лагран:ка Х, не равном нулю. При атом бы- 124 вает полезно отдельно рассмотреть случаи Л.
= О и Л. чь О. Во втором случае можно положить Л равным единице или любой другой, отличной от нуля константе. 4. Отыскать решение среди найденных допустимых экстремалей или доказать, что решения нет. 6.1.3. Правило множителей Лагранжа. Т ео ре м а. Пусть Я вЂ” открытое множество в пространстве В', ~,: %- В, 1=0, 1, ..., т,— функции, непрерывные в Ж вместе со своими частными производными ~,„ и У,х (условие гладкости), х( ) оз С'((г,, 1,) ), (Г, х (1), х (г))нв 7~нв (го, М. Тогда, если функция х( ) доставляет слабый локальный экстремум в изопериметрической задаче (з), то найдутся множители Лагранжа Л„Л„..., Л„, не все равные нулю и такие, что для лагранжиана Е = Д Л,~, (г, х, х) выполне1=0 но уравнение Эйлера ,~~ ~ „(г) + ~ х (г) = О.
Если выполнено условие регулярности, состоящее в том, а что функции — „— ~ ° (1) + ~ь(г), 1 1,..., т, линейно 1х независимы, то Л, чь О. Эта теорема является очевидным следствием теоремы п. 2.3.3, где сформулирован принцип Лагранжа для задач с равенствами и неравенствами. Однако мы даем ниже ее непосредственное доказательство. 4 А) Вычисление вариаций по Лагранжу ф у н к ц и о н а л о в Уь Напомним, что согласно $1 вариацией по Лагранжу функционала У в точке х( ) называется функционал х( ) - бУ(х( ), х( )), определяемый по формуле бУ(х( ), х( )) =11ш (У(х( )+Лх( )) — 5'(х( )))Я.
к о ь Фактически вариации интегральных функционалов вариационного исчисления были вычислены нами в пп. 5.1.3, 5.2.3. Примейяя дифференцирование под знаком интеграла, аналогично тому, как это было сделано выше, приходим к формуле бу,(х( ),х( ~» ((» щт Р)+»~Их(о)'х, ~о 1 0,1,...,т 125 Б) Построение копечномерного отобра- жения и выделение вырожденного и ре- гулярного случаев. Рассмотрим следующее линей- ное отображение пространства С0о ([ц„М) = (х ( ) е=- ~=С' ф„8,)) [ х(Е;) = х(й,) = О) в К""': Ах( ) = (био(х( ), х( )), бУ,(х( ), х( ))..., бУ (х( ), хИ)).
Возможны два случая: а) отображение А является отображением на все К"+', т. е. 1пт А = К"+' (регулярный случай); б) отображение А является отображением па часть К"+' (вырожденный случай). В) Доказательство теоремы в вырожден- н о м с л у ч а е.
Образ линейного пространства при линей- ном отображении 'является, как известно, подпространст- вом. Значит, в вырожденном случае 1гпА есть собствен- ное подпространство в К +'. Но тогда по лемме о нетри- виальности аннулятора в конечномерном пространстве (п. 1.3А) найдутся такие числа Х„Х„..., Х, не все рав- ные нулю, что ;~', Х,г, =О уз = (з0, з„..., г ) ~= 1т А. 4=о Теперь, если вспомнить определение оператора А и выра- жение для бУ,(х( ), х( )), то получим с тю ~ ~,. [~ ~~~; р) + ~,„р~, р~)) А = о ~0 ~х(') е= С0 (И0> Ч)' Но тогда из леммы Дюбуа — Реймона (п, 5А.З) следует, ~то ~ )„7, (.) е=Сч([~„~,)) и, значит, 1=0 Г) Невозможность регулярного случая.
Выберем х; ( ° ) ~ С0 ([~„~,)) так, чтобы Ах,( ) = е„где е, = (1, О, ..., О), ..., е = (О, ..., О, Х) — канонический базис в К +'. Рассмотрим отооражение Ф окрестности нуля пз К~+' в К"'+': Ф(Р) = (~~09о~ Р Р-), ~~ (Р0, Р, ..., Р.), ... ° ° ", $»([)о, ~о ° ° т [1т))» где гр, (!)„(~„...,~ ) = У; х(*)+ „"~~~ ~;х;( ° ), г=0,1,...,т. р=о Нетрудно проверить, что функции д, непрерывно диф.
ференцируемы и при этом — = бУ;(х ( ° ), х, ( ° )) = б;;, О. г, ~(т, Ф (0) = (ио и„..., сс„1) =" х, ио =",Уо (х ( ° )), По теореме об обратной функции (п. 1.5.3) существуют обратное гладкое отображение Ф ' п константа К ~ 0 такие, что !Ф '(х)! < К !з — г! при малых а — е. В частности, для любого достаточно малого по модулю е найдется такой вектор !~(е) = (р,(е), , р (е)), что !3(е) Ф ' Ии, + е, и„ ..., и ?), т.
е. с~о(Р(е)) = ио+ е.='~~'о х( )+ Х !))(е)х>( ) э'=о =~.( (4+, гр;(~(е)) = и„<~У; х( ° )+ ~~ ~!~,(е)х,( ° ) =и;, (=1,...,и, я=о и при этом !р(е)! = !Ф '(ио+ е, и, ..., и )! ~ К!е!. Получилось, что в любой окрестности функции х( ) (в пространстве С'(г~„8,1)) существует допустимая функция (а именно х( ° ) +,~~ ~;(е) х,( ° ) при достаточно малом е), э=о для которой эначение функционала как больше, так и меньше, чем Ро(х( ° )). Пришли к противоречию с допущением, что х( ) о- =1ос ехСг. 5> 6Л.4. Пример. 1 1 ~х'Й ехйг; ~хй О, х~о) О, хЩ=1, о о Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
