В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(8, х (~), и) — <р(8), и> ) Э »в~(~) — <Р(~), х (~)> Чи е=- В", Ч1н=-(св, ~11. Если Х, = О, то из в) вытекает, что р = О, а из б)— что все множители Лагранжа — нули. Значит, Х ч~ О. Полагаем Х,=1. Тогда из в) следует, что р(г) = Ь. (~), х и условие в) с Х, = 1 и р(~) =Ь'(~) оказывается не чем иным, как условием Вейерштрасса. Б) Уравнение Эйлера и условие Лежандра. Поскольку х( ) в=1оспппз, то для любой функции х( ° ) е= Св'(И„~,), В") функция ~р(О = У(х( ) + Хх( )) имеет локальный минимум в нуле. Тогда по необходимому условию минимума функции одного переменного (и. 2.6.1) ср'(О) = О и ср" (О) ~ О. В п. 5.2.3 было показано, что первое условие равносильно выполнению уравнения Эйлера на функции х( ), а второе условие эквивалентно (п. 5.5.1) неотрицательности функционала Л' (х ( ° )) = ~ (<Ах, х> + 2 <Сх, х> + <Вх, х>) й ~в ух ( ) ~ С,' ((~„Ц, В"), где АЯ=~ (~), 2С(~)=Х' (~)+Х (~), 8(1) = Х„„р).
Неотрпцательность Ж' означает, что х( ) = — О доставляет абсолютный минимум в задаче .К(х( )) - 1п1; хИ,) =х(~,) =О (з") в пространстве С'((йв, М, В"). 181 Поскольку в квадратичной задаче классического варпационного исчисления абсолютные минимумы в пространствах С' н КС' совпадают (ибо у кусочно-непрерывной функции можно «сгладить углы» — см. АТФ, с. 69), то х( ) доставляет в (з") и сильный минимум. Значит, в силу уже доказанного п. г) для задачи (з ) па экстремали У( ) выполнено условие Вейерштрасса, которое в данном случае сводится к неравенству (А(г) и, и): О ~и ~ еБ К ~ь:- А(г) ) О. Утверждение б) доказано.
Пусть, наконец, условие Якоби не выполнено и существует т еа(г„ г,) такое, что имеется нетривиальное решение Ы ) уравнения Якоби, для которого Ы8,) = Ъ(т) = О. Отметим, что из нетривиальности решения Ъ( ) однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с условием БИ,) = О вытекает: ЪИ,) Ф О. Положим Ъ ®. г ~ (го. т1 Ъ(1) = О, г)т.
Так как Ъ( ) удовлетворяет уравнению Якоби, то ж(ь( ~) — ) < — ~.4ь~-с ц ~. са +вь, г>а=о. ~о Таким образом,,Ж'(Ы )) =О, а это означает, что Ы ) доставляет (наряду с функцией х( ) =— О) сильный минимум в (з"); И снова применяем принцип максимума (и экстремали Ы )). Согласно принципу максимума найдется непрерывная вектор-функция р( ), для которой р(~) = 2(А(г)ЪИ) + С*(г)Ыг)). Поскольку при г ) т ЪИ) = О, то р(т) = О, откуда А(т)Ыт) = О =:- Ыт) = О (ибо А(т) обратима из-за усиленного условия Лежандра). То есть решение Ъ( ) уравнения Якоби обладает тем свойством, что Ъ(т) -Ыт) ='О =~- =."-ЫЕ) = — О.
Мы пришли к противоречию, пбо Ыг,) ФО. Таким образом, условие Якоби выполнено. 3 а м е ч а и и е. Отметим, при какой гладкости инте- гранта и экстремалп могут быть выведены доказанные утверждеппя. Уравнение Зйлера и условие Вейерштрасса выводимы при предположениях: 1 и Ь„непрерывны в Ф, условия газ Ле,кандра и Якоби — при допущеппп 1 ~== Сг (Я), 1 ° ( ), лх Ь . ( ° ) и Ь ° ( ° ) еБ С' ((Ео г1! Й ) Все условия аыполняются, если допусыпь, ч~о 1 ~ С"(%), х( ) ~ С'((Е„, Е,), Й"). 10.2.2.
Задача Больца. Пусть в задаче Я (х ( ° )) = ~ Ь (Е, х, х) Й + Е (х (Е„), х (Е,)) — э- 1п ( 'о иптегртт 1' % — Й (%~зО(Й'"+')) и терминпнт Е: У'. — Й (У ~ С'(Й"') ) удовлетворяют следующему условию гладкости: 1, ее С'(Я), Е ~ С'(У'). Тогда, если х( ) ~ ~ )ос ппп з, то выполнены: Н а) система уравнений Эйлера — — 1 . (Е) + Х (Е) = 0 Ю х и условия трпнсверспльности1 ° (Е,) = ( — 1) Е„-(~ ), Е = О, 1; б) условие Лежандра Ь ° . (Е) ) 0; . хх в) если имеет место усиленное условие Лежандра, то удовлетворяется условие Якоби, согласно которому в ин- тервале (Е„Е,) нет точек, сопряженных с Е,; г) если удовлетворяются усиленные условия Лежандра и Якоби, то квадратичная форма Р+ ®, где (>(х„х,) = Е" (х(Е,), х(Е,) Н(х„х,)), Р(хо, х1) = <А(Е~)(йо(Е~)хо+ Н,(Е,)х,), х,>— — <А(Е,)(И,(Е,)х, + И,(Е,)х,), х,> + <С~(Е,)х„х,>— — <С*(Е,) х„х,>, и Н,( ) — решения уравнения Якоби с краевыми условиями Н,(Е,) = 6„1 (бч — символ Кронекера), должна быть неотрицптельнп.
<3 Необходимость а) была установлена в и. 5.1, необходимость б) и в) немедленно следует нз теоремы предыдущего пункта. Докажем г). По условию в (з) выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби. Рассмотрим фундаментальную матрицу Ф(, Е,) решений уравнения Якоби, т. е. матрицу решений, удовлет-' воряющую условиям Ф(Е,, Е,) =О, ФИ„Е,) =1.
Вследствие того, что выполнено усиленное условие Якоби, матрица Ф(Е, Е,) невырождена при Е ~ (Ео, Е,). Положим Н,Ы = ФИ, Е,)Ф(Ео Е,) '. Тогда Н,(О) =О, Н,(Е,) =1. Аналогичным образом построим матрицу Н,: Н,(Е,) =1, Н,(Е,) =О. 183 а) уравнение Эйлера: — — ', 1,. (1) + Х, (1) = О; (2) (3) (4) (зв) сг ) (а, (1)х + Ь, (о) х) й = О, х(1о) = х(1г)=О, б) условия трансверсальностп: Р(1о) = Оо, р(1~) = — О~; в) оптимальность по и: ппп (И1, х(Ю, и) — ри) = 1 (1) — рх. вен Из (3) и теоремы Ферма следует, что р(г) = ~„И) Если допустить, что л, = — О, то пз (1) и (4) получнм т ~ л,(- —,", у р> ~- 7,*~о) — о, 1=1 т.
е. линейную завпспмосгь функций — — г' ° (о) + ~ „(о), К = '1,..., т. По в условиях теоремы была оговорена пх линейная не- зависимость, откуда Х, = О, 1= 1,, нг, и, значит, р(1) =— = — О =:- О, = О, = О. Все множители Лагранжа оказались пулями, что противоречит утверждению принципа мак- симума. Значит, Хо Ф О и можно считать, что Х, = 1. Тогда (1) и (3) с учетом (4) приводят к уравнению Эйлера и условию Бейерштрасса для задачи (з) и. 6.21. Двукратное дифферепцнрованпе по и в (3) доказывает условие Лежандра.
Осталось обосповать необходимость условия Якоби. Применим теорему о необходимых условиях второго порядка для бесконечпомерпой задачи с равенствами (и. 2.6.3) и задаче (з) п. 6.2.1. В соответствии с этой тео- ремой пз того, что х( ° ) доставляет минимум в задаче (з) п. 6.2.1 в пространстве С'И„г,), следует, что численное значение вспомогательной задачи о, ,У (х ( )) = — ~ (Ахл + 2Схх + Вх'-) Й -о-1пХ; 'о л где А=Ь...
В=А,„, С=У., а,= ък 1* но нулю. Допустим теперь, по существуют е=- (1~, Г,), числа р„, гг и функция Б( 7„, Ь~=7х,рав- такие точка т ~ ), что т ~ (а,й + Ь,Тг) сй = О, й (г,) = й (т) = О. Тогда функция й, равная Б при 1 ~ т и равная нулю прп 1= т, оказываегся допустимой в задаче (з,) и при этом Л",(Ы =0 (последпее получается, если произвести интегрирование по частям) Теперь следует применить принцип максимума к задаче (з,) и эксгремали й Тогда получим, что существуют 1акие функция р( ) и числа уо ° ..> у,л, что — р+Сй+В1г+,~~~ ~,6,=0, р=Ай+Сй+ ~ ч,а,=О.
ю Но тогда па(т, (,1,'?~ ~,~ — а, +Ь, = О, откуда вследствие 1=1 ~д 7(г, хг, х„..., х„, и) Й-+-гп1; г„ (з') требования теоремы о регулярности получаем, что ~~ = О, и далее приходим к противоречию, подобно тому, как это было проделано в и 10 2 1 10.2Л. Задача со старшимп производными. Наметим план доказательства необходимости в теореме 1 и 7 2Л; рассу;кдеппя здесь подобны проведенным в трех предыдущих пунктах. Формализуем задачу (з) и.
7 2 Х как задачу оптииальпого управления Функция Лагранжа: $ 1 !!-1 Я,~ Ло/+ ~~~ Ра (х! х!+1) 1=1 !=о о=о Выписав необходимые условия в соответствии с принципом максимума Понтрягина и убедившись в том, что Л, пе может быть равным нулю, приходим к уравнению Эилера — Пуассона и условию Вейерштрасса. Продифференцировав условие оптимальности по и( ) дважды по и, приходим к условшо Лежандра. Далее следует рассмотреть квадратичную задачу .'У" (х( ° ))(х( ), х( )1- 1пУ, х" (Е!) =-О, ю=0,1,...,п — 1, у=0,1. Если допустить, что х( ) = — 0~ аЬ |н1п з", но существует нетривиальное решение й( ° ) уравнения Якоби (т.
е. уравнения Эйлера — Пуассона задачи (з")), обращающееся в нуль вместе со всеми производными до порядка и — 1 в ~„~ = О, 1, то можно показать, что функция й(г), равная йИ) при ~-= т и обращающаяся в нуль при ~ ~ т, является решением задачи (з '). Применение принципа максимума Понтрягина к задаче (з") и зкстремали й( ) приводит ь противоречию, ибо Йоо( ) в точке т, с одной стороны, должна быть непрерывна, а с другой— разрывпа. 10.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
