В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Выпишем равенство, соответствующее основной формуле Вейерштрасса (п. 10.3.1): ) (х' — (1 — Р)х') Ь = о 02 00 — — Ь= ('+ Ь)оЛ~О. (2) о о Справедливость его нетрудно получить непосредственно, интегрируя по частям. Из (2) следует, что чпсленное значение задачи равно единице и что решение ее доставляет функция хИ) = =Сехр( — Р/2), где С выбрано пз изопериметрпческого условия с') и — ~')е-"о-~.
о Подставив теперь в (2) вместо хИ) функцию уИ/а), по- лучаем ~ у'(т)Ит — а". ~ уо(т)сЬ+ а' ~ т'у(т)сИ~~О 7а.- О. Р 9 о 333 Применив условие неотрпцательности квадратного трех- члена, приходим к (1). 1 12.2.2. Обобщенное неравенство Вейля*). Теорема. Пусть р > 1, в > О, функция х(г) локально абсолютно непрерывна на В+, причем функции х(Г) и Г'~ 'х(г) принадлежат Ь (В+). Тогда имеет место неравенство ~~- ~*~'а~ ~~" ~.га ' ~~*'~'а К+ и+ и+ (1) 1~р + 1~р' = 1. Неравенство точное и достигается для х(~) = р+е — 11 = Вехр — А~ " ' / (см. [19, с, 199), где (1) доказано для х>0), 4 1.
Рассмотрим экстремальную задачу ~(~х~" — а1' '~х~" + Ьг~'~х)") аг-~-(п1. о Это — задача Больца, правда, на бесконечном интервале. Применим к ней принцип Лагранжа (хотя ранее задачи Больца на бесконечном интервале мы не рассматривали). 2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: — — ~~ х 1" ' а1дп х) — а1' ' ) х ~~ ' в1а п х + й~ + Ьт" ) х ~" ~ з1ап х = 0; б) трансверсальность: х(0) = О.
3. Ищем решение уравнений п. 2 в виде ~р® = = ехр ( — Га). Функция ~р удовлетворяет условию трансверсальности при р ~ 1. Если подставить функцию ср в уравнение Эйлера, то получится, что оно удовлетворяется при р=1+ — ' (р =»1), а=ар" ', о=(р — 1)р". 4. Семейство функций х(г, Л) = ЛсрЫ образует поле экстремалей, удовлетворяющее условию трансверсальности и покрьгвающее полуплоскость т =--О. Выпишем равенство, соответствующее основной формуле Вейерштрас- *) Этот пункт написан А В. Брухтиом, са (функция наклона поля иР, х) = <рИ)х/ф~) = — !~г" 'х): ~(~х1' — (.~"-'~'-' — (р — Ц Р Е")! М'')а= о - ~ ~$ х $" — ! и (й, х) !"— о — р(х — и(1,х)) ! и(1,х) !" 'а(спи(~, х)) й.
(2) Это равенство также можно проверить непосредственно. В силу выпуклости функции $ — !$!' при р ) 1 выражение !х!' — !и!" — р(х — и)!и!' 'з1апи неотрицательно, откуда и из (2) следует неравенство ) (!» !» — (»Р» '»' » — ~р — 1)~»»'')~х(») Л) О О (3) Подставив в (3) вместо хИ) функцию у(й/а), получаем ~!у~ ~1 — р" '~т' '!у!" ~1т+ + г"!3" (р — 1)~ т'" !у!" сЬ)0 уг -гО, (4) о тде г а"+' '. Для завершения доказательства нужно доказать следующую лемму.
Л е м и а. Пусть А, В и С вЂ” положительные числа, р' ) 1, Тогда, если для любого г ~ 0 выражение /(г) = = Агт' — Вг + С неотрицательно, то »=( —,) В < р' "р' " А' " С' " = В = /(г), 1/р + 1/р' = 1. О4 1. Рассмотрим экстремальную задачу /(г) = Аг~' — Вг + С -~ 1п1» г ~» О. (з ) Решение г этой задачи существует по следствпю из теоремы Вейерштрасса, ибо Пш/(г) = оо.
Ясно, что г Ф 0 Ю -»»»» (ибо У'(0) ( 0). 2. Необходимое условие — теорема Ферма: 1'(г) =О. / 3. Стационарная точка з единственна:1' ~г ! = 0 с=~ ~ФЖ =-( ) 4. В силу единственности стационарной точки оя аЬяш1п з и, следовательно (так как 1(г) >0 по ус- ловию), 0(~(ж) А(~) — В( —,) ~-С~о(В. ~~~> Применение леймы к (4) с А= рг(р — О) е" ~у~" ж, о В = зр" ~ ) т' '') у~" Ит, о немедленно приводит к И), ~> 12.3. Неравенства для производных. 12.3.1.
Неравенство Бернштейна. Для любого тригонометрического полинома х( ) степени и имеет место неравенство 1 х ос(~ я ~)) ( и ~ох))сд-л,я~) ° Неравенство точное и достигается на функциях А я1п (п~ + '(). Доказательство этого неравенства средствами теории экстремальных задач см. в (18, с. 109). 12.3.2. Неравенство А. А. Маркова. Для алгебраического полинома х( ) степени п имеет место неравенство ' о ~ х))сд г,гр(п'))х ))с<~ ~,,)>.
Неравенство точное и достигается на полиноме Чебышева А соя (и агссоя ~). Доказательство неравенства средствамн теории экстремальных задач см. в (18, с. 109). 12.3.3. Одно неравенство для производных на полу- прямой. Теорема. Пусть 1= К или 1= В+, функция х( ° ) принадлежит Е,(1), ее первая производная х( ) локально абсолютно непрерывна на 1 и вторая производная х( ) принадлежит 1.„(1). Тогда имеет место точное 226 неравенство (~ х ~)у, у) (» К (Х) ~~ х 'ць ~п ~~ х 'ць ~ и. (1) Далее будет описана экстремальная функция в неравенстве (1) (т. е. функция, на которой это неравенство обращается в равенство), когда 1 = В+. Случай )' = В доказывается аналогично.
О 1. Рассмотрим экстремальную задачу — 'й-э М; х, = х„хо — — и, ~и1~(1, х,(0)=1. (з) о Это — задача оптимального управления и одновременно задача выпуклого программирования, Используя ограниченность вторых производных и слабую полунепрерывность снизу функционала, нетрудно доказать, гто репюние х( ) задачи (з) существует. В силу строгой выпуклости функционала оно единственио. Функция Лагранжа задачи (з) имеет вид В Ы' =- — х1+ р,(х1 — х,) + р,(х,— и) й + р,(х,(0) — 1). о 2.
Необходимые условия: а) система уравнений Эйлера: -р, +Х,х, =О, — р,— р1 =0; б) трансверсальность по х: р,(0) = р„р,(0) = 0; в) оптимальность по и: япр р,и = р,и(~). (и~~1 Замечание. Вследствие того, что задача рассматривается на бесконечном интервале, требуется обоснование выписанных соотношений. Это нетрудно осуществить предельным переходом, рассматривая ограничение задачи на конечный интервал (О, Т) и затем переходя к пределу при Т вЂ” + . При этом оказывается, что р, ев Ь,(В+).
3. Если Х, = О, то из а) и б) следует, что рой) = — рД и поскольку р~МО, то либо иИ) =1, либо иИ) =— — 1. По ни то, ни другое невозможно, так как х, ов Е,(В+). В итоге соотношения из п. 2 сводятся к следующему (если р, обозначить через р и положить Хо = 1): р = — х, х = я1дп р, р(0) = О, х(0) = 1. (2) 227 Следствием (2) является интеграл ' 2 хр — ~ р ~ + —. = — О у~ я В+. 2 Действительно, если продифференцировать левую часть (3) с учетом (2), то получится нуль, т. е.
правая часть— константа. Но из соотношений х ~а Ь,(В+), х я Л„(В ), р ~ Ь,(В+), р еа Ь,(В+) следует, что хр ееЬ,(В+), поэтому слева — суммируемая на В+ функция и, значит, константа справа может быть только нулем. 4. В силу того, что в задаче выпуклого программирования необходимые условия минимума с Х, Ф О явля|отся и достаточными, любое решение уравнений (2) приводит к решению задачи (з), а из единственности этого решения следует и единственность решения системы (2). Пусть т ~ Π— такая точка, что р(т) = О, х(т) Ф О. Тогда непосредственно убеждаемся, что функции ( х (т)) ' х (~/ ~ х (т) ~ 1 + т), (х (т)) зЧ„п х (т) р (ф/$ х (т) ~ й + т) удовлетворяют (2).
Значит, имеют место равенства х (1) = (х (т)) ' х ()/ ~ х (т) ~ ~ + т), (4) р (~) = (х (т)) з1дп х (т) р (~гх (т) ~ 1 + т). Из соотношений (2) — (4) нетрудно вывести, что существует такая точка т,, что р(~) ~ О, ~ ~ (О, т1), р(т,) = О, х(т,) ( О, р(т,) ~ О. Отсюда и из (2) — (4) следует, что хИ) = — р'х(~(~ — т1)) и на [О, т,) хИ) = — Р/2 — а~+ 1, где р ((а — 2)/(я'+ 2))'", т, = а(1+ р) и а — единстванный корень уравнения ~4 р'Й) — рй)+1 — —,(1+ рй))'+ $4(1+ р($)) =25, (-) ~ + на Л2, 2), Таким образом, экстремальная функция х( ) такова, что ее вторая производная х принимает значение ( — 1)" 228 на интервале (т„т,+,), 1=0, 1, ..., т»=0, т» —— »-1 = тт ',~~ р ', х(~) =0 прн ~)11ш т„.
8=0 »-+- Простая проверка показывает, что паилучшая константа в (1) имеет вид К (В+) = ~)х ~~ь'(4 ). ~> Задача (з) для случая 1 = В без привлечения методов теории экстремальных задач была решена В. Н. Габушипым. На полупрямой (с использованием конструкций теории экстремальных задач) эта задача была решена Г. Г. Магарил-Ильяевым. 12.4. Геометрические неравенства. 12.4.1. Неравенство Адамара.
Пусть Х = (х',)1,,=1— произвольная квадратная матрица порядка и, Тогда имеет место неравенство 88 88 (Йе$ Х)'(П ~ (х,')8), 8=1 1-1 Доказательство, основанное на теории экстремальных задач, см. в 113, с. 4441. 12.4.2. Задача о центре тяжести. Т е о р е м а. Через любую точку, лежащую внутри выпуклого тела, расположенного в конечномерном пространстве, можно провести гиперплоскость так, чтобы зта точка оказалась центром тяжести сечения.
Докажем теорему для выпуклого ограниченного тела в В"+' с гладкой границей. Общий случай легко сводится к этому. Обозначим рассматриваемое тело через А. Не ограничивая общности, можно считать, что заданная точка, принадлежащая 1п1А, является нулем пространства В" +'. Введем обозначения: Я" — единичная сфера пространства В"+', а 0=- Б"; Г(в) = (х ~ В.+'! <х, а> = 0) — гиперплоскость, проходящая через нуль и ортогональная а; П(01) = (х ее В" +'! <х, ю> ~ О) — полупространство, ограниченное гиперплоскостью Г(а1) н содержащее вектор в; $"(ь) — объем тела А П П(со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
