В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Рассмотрим экстремальную задачу Р'(ь) — 1п1, в ~ Б", (з) Функция У непрерывна, 8" — компакт, и, значит, суще- 220 ствование решения следует из теоремы Вейерштрассэ, Пусть о — решение (з), Г(»о) — экстремальная гиперплоскость и е„..., е„— базис в этой гиперплоскости. Обозначим через Ь, подпространство, натянутое на векторы е, ..., е.
1. е,+„..., е„. Сечение Б" подпространством .». Ь; — это окружность, которую обозначим О,. Она содержит вектор »е. Выберем в качестве параметра на О, угол ~р, отсчитываемый в обе стороны от вектора а. Пусть а,(~р) — это вектор из 0», образующий угол ср с»е, — л, == ~ ~р ~ л, и р,(гр) = »'(ь,(гр)).
Рассмотрим экстремальную задачу: (з,) 1. р,(~р) — 1пг; — л ( »р ~л. Вследствие гладкости границы тела А функция р, будет гладкой. 2. Необходимое условие минимума — теорема Ферма: и а р,(0) = О. Вычислим, чему равна величина р,(0). Подпространство Ь, делит гиперплоскость Г(»а) на две части. При повороте гиперплоскости на угол Ы»р объем пересечения А 1»П(»е,Ы»р)), примыкающий к одной из частей, увеличится, а к другой — уменьшится. Пусть»»х» Л... ... Л»дх„— элемент' и-мерного объема в Г(»е), сосредоточенного около точки х = (х„..., х„). При повороте на угол йр этот элемент — (и + 1)-мерный объем, равный !х,~ Их Ы~р.
При этом в одном из полупространстн нужно взять знак плюс, а в другом — минус. Суммируя эти величины, приходим к соотношению »а,Щ р,»0»». ( а х,дх, »1 ... аа»дх„) даа»-о»ду» аа Г(»д ) ЙА 3, 4. Таким образом, й~аЬаиа»иа~ 1 х дх,/1 ... Ддх,=О, ~=1, ...,и, г(»д )А т. е. 0 — это центр тяжести Г(а) П А.)> Замечания. 1. Если А — конус, то можно дока- зать, что сечение, описанное в теореме, единственно.
Зна- чит, в случае конуса мы приходим к неравенству Т'(А П П(оэ)) -. У(А П П(о))) у»е е= Я"» где»е — тот вектор из Б", при котором заданная точка есть центр тяжести. 230 2. В $2 были рассмотрены частные случаи этой теоремы, когда А — угол на плоскости и трехгранный угол ЯЗ 12.4.3. Неравенство Юнга.
Теорема. Для любого ограниченного замкнутого множества А, расположенного в К", имеет место следующее неравенство между диаметром 2)(А) множества А и радиусом Л(А) описанного шара: я(А(> г' п(А(. Доказательство, основанное на теории экстремальных задач, см. в г13, с. 4311. 12.5. Полиномы наилучшего приближения. В первых трех разделах этого пункта речь идет о полиномах, напменее уклоняющихся от нуля.
Через Т„, обозначим полипом степени п со старшим коэффициентом, равным единице, наименее уклоняющийся в метрике А,(( — 1, 1) ), т. е. решение следующей задачи: г" + „'~', х„~ ' -~. 1п1. А=г Г.,г((-г, г)> 12.5.1. Полиномы Лежандра. Т е о р е м а, Имеет место следующее равенство: 2" (и!) Р„(г) и! /,! '(и Т (~) — " = — ~-) Р-'-1)" (2п)! (2п)! Ы где Р„( ) — полином Лежандра. Решение задачи, основанное на теории экстремальных задач, см. в (18, с. 93). 12.5.2. Полиномы Чебышева. Т е о р е и а, Имеет место следующее равенство; Т„„(й) 2 '" " соз (и агссоз й). Полипом Т„„(й) называется полиномом Чебышева.
Этот результат немедленно следует из теоремы об альтернативе — п. 12.5.4. 12.5.3. Полипом Чебышева второго рода. Т е о р е м а. Имеет место следующее равенство: г и+1. (г) з)г( Ип + 1) агссов Г) и+1 ~/п г Полиномы Т„, называют полиномами Чебышева второго рода. Решение задачи, основанное на теории экстрсмальных задач, см. в (18, с. 96). 12.5.4, Теорема об алътернансе. Для того чтобы полином р(*) степени и — 1 наименее уклонялся от неггрерыеной Функции х( ) в метрике пространства СФ„~,1), необходимо и достаточно, чтобы нашлось г ~ и + 1 точек, в которых х( ) — р( ) принимает, чередуясь, свои максимальное и минимальное значения.
Напомним, что полином наименьшего уклонения в С(И„~,)) определяется соотношением $1х( ) — Р( ) 3с((гол,)) = 1п1 5х( ) — Р( ) $с((гол,)) ° <~ Необходимость. 1. Рассмотрим задачу ~(х) = плах ~(Е, х) =1х( ° ) — р( )1= '=Ро 'гг о. шах х(~) + ~Р хо1~ ' -~-Ы. г=-гго гг) ь=г Функция ~(.) — выпуклая, непрерывная и растет на бесконечности. Значит, по следствию из теоремы Вейерштрасса решение х задачи существует. 2.
Необходимое (и достаточное) условие: 0 оз д~(х!. 3. Применяем теорему об очистке. Согласно этои теореме, если 0 о- =дух), то найдется г < и+ 1 точек ~, ~ т, с < т2 <... = т, < ~„г чисел Хп ..., Х. и г векторов у, оз ~ д,~(т„х) таких, что ~(т,, х) =!!х( ° ) — р( )!! и 3 в „'~~ ~, =1,,'~~~).,у, = О. (1) о=г Вследствие того, что г(т„х) ~ь О, субдифференцпал совпадает с производной. Дифференцируя 1(т„х) по х в точке х, получаем у, = агап(х(т,) р(т,))(1, т„..., т," '). (2) Из (1) и (2) вытекает, что система ,~~ Х,з1дп(х(т,) — р(т,)) т, = О, Й = 0,1,..., и — 1, имеет нетривиальное решение и, значит, г = гг+ 1. Рас- и+1 смотрим полипом П (~) = Б (1 — т,).
Применяя теорию 1=1 вычетов, получаем, что если контур Г охватывает (Г„1,), то откуда немедленно следует, что Х,з1дп(х(т,) — р(т,)) = = аП'(т,). Из последней формулы видно, что знаки х(т,) — р(т~) либо совпадают, либо противоположны знакам П'(т~), которые чередуются. Итак, нашлось и+ $ точек т, =...< т„+„для которых ! х(т,) — р(т,)! = = цх( ) — р( ° )З и знаки х(т,) — р(т,) чередуются. Достаточность. Пусть в точках ~, ~ т, ( т, -'...
... "= т, ( 1„г > п + 1, функция х( ) — р( ) припимае~, чередуясь, максимальное и минимальное значения. Еслп допустить, что для некоторого р( ) еа У„ !! х( ) — р ( ) !!с(р,,~,)) ( !ах ( ) — р ( )!1с(р,,1,)) то окажется, что величины р(т,) — р(т,) являются попеременно то отрицательными, то положительными.
Но тогда по теореме Ролля проивводная р — р должна иметь не менее и нулей. Этого, однако, пе может быть, поскольку р — р — полипом степени не менее п — 1; получили противоречие, из которого следует требуемое. ~> ОТВЕТЫ, УНАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К введению 1. Х = й, 1 (х) = з1п х. 2.
Х = й, 1 (х) = 11(1+ х~), 3, Х = = й,1(х) = агс$дх, 4. Х= й,1(х) =(агс1дх)з, 5. Х=й,1(х)= = агс1дх з1пх. 6. Х= й", 1(х) = х'" — х~~+2е т, 7. Х= й~, 1(хт, хз)г а(п хз — хт. 8.Х=й ~ 1(хт, хз) = (хт — хх)(хт — Зхз). 9. Нет, Рассмотреть функцию х ~2+ а(п — ~, х-ьО, 1 1(х)= ~ х1 Х=й, О, х= О, 12. Х=й~,1 (х,х)= ~(1 — х) +(2 — х) -~~п1;Цх .,х)=- 13. Х = й', 1, (х,, х,, х,) = =2х +Зх †1. = ~/ (х — Ь~) + (хз Ьз) +(х — 1 ) -э 1п1; 1т (х~, хз, хз)=- = агхг+а х +а х = о=О <=> ) х — $ (-~.)п1; (а, х) = Ь.
14. Х = й, ) х~ — х ) + ) х — х ~ + ) х — х ~е-+ 1п1; )х' ! =1, х =(х, х ), ~ — 1,2,3. 13. Х =- й', 1х — ~'~+)х — ~'~+~ — ~'~ 1п1; ~'=(1',,с','), Г ~ =- 1, 2, 3 — заданные точки. 16. х (а — 2х) (а — х) -э- зпр, О » (х ~ а. 1 и 2 17. Х= й", ~ Г" + ~~', х,т" ~ сй-+1п — 1 ~=1 234 К упражнениям 5 1 К п. 11. 1. Функция Ж задает норму при следующих значениях параметров: а) р ~1; б) и в) а„а,з — а„а„ФО; г) ап ) О, ат,а — а~ ~) 0.2. Эквивалентность норм следует из неравенства !(х~,'„( (х( ( у2 (!х!! .
4. Следует положить (!х!! = 1пЦ~ ) О ) х/~ ~ й). 7. Йапример, пространство непрерывных на отрезке 1 1/2 (О, 11 функций с нормой 1х ( ° ) 1 = ~х (г) А — нормированное, о но не балаково. 9, Нет, нбо фупкцконал не является ограпичен/~х ! '(х )'~ х 2 пым. 10. а) 1х1= пыл ~ —, — ~; б) 1х2= шах — + ~а ~' ~а ~~' а — — 11. Надо взять, например, линейную оболочку функций 1~ (1) = 21п 2я1, 6(1) = сов 2ят. Тогда ~ х17 ( )+ х212(')~~с([о 13)=~ггх2+ х2, 12. а) ( ~ у1~ +! у21~)~~~' б) ! у 1+ ~ у21; в)(1у1)~ т ) у 1~) '~, 1/у+1/д = 1; г) (Ь 1у21+ 12 22 12 22 К п.
1.2. 1. ~(х) = х, С = ( — 1, 1). 2. Х = Н, Дх) = агс1я х. (О, *(О, 4. ~(х) ~ 5. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да, 6. Единичный 11, х ) О. шар в пространстве 12 (и вообще — в любом бесконечномерном пространстве). 7. Следует, например, вписать в еднничпыи итар пространства Ь2 бесконечное число В(х„р), и ) 1, непересекающихся шаров фиксированного радиуса р и положить !! х~~ — 1, 1~ х$)~1, (1 — 1/и) (1 х — х„2 — р), х ен В (х„, р), 0 в остальных случаях. Тогда нижняя грань функционала 1 равняется — р, но не дости- гается ни в какой точке.
1 -1 10, Можно рассмотреть, например, функционал 1(х, у) = х+ у. 12. Рассмотреть в пространстве 12 компактный эллипсоид А = х~ (ау> е-=1 ~~ А. х~а(~1 н луч В= (х = (х~)1~~ он 121 11=1 х1 = 1/у, 1 ) О, 1с = 1, 2, ...). 1 К п. 1,4. 1. 1: Н -+ Н, ~ х) = х в1п — „, х = О. 2. 1: Н + Н, Дх) = = 1х~, У = О. 3. 1: Н'-+Н в полярныч координатах х = (хо х;) = = (г соя 1у, гэ1п1у) определяется равенством Дх) = гсоеЗгу, Х = О. 2 1,х — х,х,~О, 4 1: В -+.Н 1(х)= х=(0,0), 2 0 в остальных случаях, (хз, х рационально, б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
