В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 34
Текст из файла (страница 34)
536. (е'+ е' ')/(1+ е) — 1 е= аЬв лип. Яшах = + оо, 5.37. (вЫ/2 вЬ 1) — //2 вп аЬв тп1п, Яшах =' + оо. 5.38, в(п1 — в1п1вЬ |/вЬ 1 ен аЬв шах, Я 1п = — оо. 5.39. вЬ 21 — ' — вЬ 2 вЬ |/вЬ 1 я аЬв пип, Яш „+оо. 5.40. в1п г + (в — в(п Та) Х Х вЬ |/вЬ Т, ен аЬв пип, Яш,х = +оо. 5.41. вЬ 21+ Д вЂ” вЬ 2Т,) Х Х Й Г/Й Та ~ аЬв ш1П, Яшах — — +оо.
5.42. (1 — 1) СЬ | е= аЬв ш1п, Яшах = +оо. 5.43. / СЬ | +(аь — Т, сЬ То) вЬ 1/вЬ То е= аЬв пип, Яшах = — оо. 5.44, (1 — 1) вЬ Р в= аЬв ш1п~ Яшах= +оо. 5.45* ((пп/вЬ То) — Та+ + 1) вЬ х н- :аЬв ш(п, Я,„= + оо. 5,46. сов г ев аЬв тп1п, Я, х = + оо, 5.47. Сов2/енаЬвшах, Я ш — — — оо. 5.48. в(п2/вваЬвш(п, Я +оо. 5 49 Яш!и = оо, Яшах = +оо1 л/2 сопряженная точка =:- не выполнено пеобходимое условие Якоои =а- допустимая экстремаль в(п 21 ф 1ос ехтг. 5.50.
Сове+ в(п/ — 1~ аЬвп1ах, Яш~п —— = — оо, 5.51. Яш,п = — оо, Я „,. = +оо; л — сопряженная точка не выполнено необходимое условие Якоби =а- допустимая экстремаль сов г — в(п1 — 1ф1ос ехФг. 5.52. (л в)п г — 2~)/4е= аЬв поп, Я „, = +оо. 5.53. вЬ | — (вйл/2) в1п ~ ен аЬвпип, Я „= +оо. 5.54.
О < Та < л =:- вЬ |+ в|и 1 ($ — вЬ Та)/в1п Та ~ аЬв ш(п; л— сопряженная точка =о. при Т, ) и не выполнено необходимое условие Якоби =:. допустимые экстремали ф1осехтг; Т, = л =:- при $ = Й л Х = Й | + С в1п х я аЬв ш1п УС нт В, при $ чь Й л до- ПуСтПМЫХ ЭКСтроиаЛЕЙ Нст И Яш!и = — оо, Яшах = +оо. 5.55. в(п 2/ ~ аЬв шах, Я ш= — оо. 5.56. О < Та< л =:- х = ($/в(п Т; — 2сов Та) в1п г+в1п 2~ я аЬвш(п; л — сопряженная точка =а при Т, ) л не выполнено необходимое условие Якоби =;- допустимые зкстремали ф1осех1г, Я,п = — оо; Та — — л =о при $ = О х = = в)п2х+Св1п ге= аЬвпип УСвн В, при в ФО допустимыхэкстреъгалей нот и Яш1п = — оо, Яшах = + оо, 5.57, Г сов 1 е= аЬв шах, Яш1п = — оо.
5 58. Яш1п = — оо, Яшах = +оо; л — сопряженная точка =;. не выполнено пеобходимое условие Якоби =о- допустимая экстремаль 1 сов х ф 1ос ехтг. 5.59. те(п 1 — (л/2) в1п ~ ~ аЬв ш(п, Я,х = +оо. 5.60. хе(п1~ аЬв ш(п, Я,х = +оо. 5.61. л — сопряженная точка =~ не выпЬлнено необходимое условие Якоби =о- доПуотИМая ЭКСтрЕМаЛЬ 1В1П ~ ф 1ОС ЕХ1Г, Я„„, = — оо, Я,х = +оо. 5.62. О < Та < л =:. (в/в1п Т,— Т,) в1пх+1в)пюяаЬвтп(п; л — сопряженная точка =о при Те - л не выполнено необходимое условие Якоби =:- допустимые зкстремали не принадлежат 1ос ехтг, Я = — оо; Та = л =;- при $ = 0 (1+ С) в1 и т ен аЬв ш1п У С ~ В, Я л1 при $ФО, Яш~п= — оо, Яшах=+по.
563. е еп аЬв п11п, Яшах= $ ~0 =+оо. 5.64. 1е'-' ен аЬв твах, Я ~1п = — оо. 5 65 1$е Тз ~ аЬв ш1п, Яшах +оо. 5.66. Яш~п = — 1, Яшах = +1, С = л1/2 ~ аЬв шах, 567 Яш1п = — 1, Яшах = +1, х = л~ ~ аЬв ш1п. 5.68 Яшш = — Т, 251 Ятяс = + То; 2йл < Ч/То ( и + 2/;л, й = О, 11 ... =~ У = ИТа ~ еи1осшах; — л+2/.л < ~/Т, < 24л, х = 1, 2, ...=:. хеи1ост(п, не выполнено необходимое условие Вейерштрасса =~- в обоих случаях Х вЂ” несильный 1ос ех1г; То — — Фл, х = 1, 2, ... =~- тре- буется дополнительное исследование. 5.69. Ю~~, — То', Я = +То, л/2+ 2йл < $То ( Зл/2+ 2/сл, й = О, 1, ..., =~. Х = = Кг/Тозе 1осш(п; — л/2+ 2/сл < ~/То < л/2+ 2йл, й = О, 1, ...
=~- х еи 1ос шах; не выполнено необходимое условие Вейерштрас- са =о- в обоих случаях х — несильный 1ос ех1г; Т, = л/2+ йл, х = = О, 1, ... =~- требуетсядополнительное исследование. 5.70, Я = — оо; ЯП1„х =+со; То > — $/2 =~- Х = ~г/То ~1осш)п; То < < — $/2 =о- Х ~ 1ос шах; не выполнено необходимое условие Вейер- штрасса =ь в оооих случаях х — несильный 1осех1г; То — — — $/2 =о. =:- требуется дополнительное исследование. 5.71.
Я ,„ = †, Я „= + оо, $ > 4Тэ/4/'5 ь х = 4 ((г + С) з/4 — Сз/4)/5 ~ 1ос пип, $ < — 4Т'~4)5=ь х = 4 (С~/4 — (~ + С) ~~4)/5 ~ 1ос шах, где С опре- деляется из уравнения 4((ТО+ С)'~' — С'~4)/5 = ~$~. Необходимое условие Вейерштрасса пе выполнено, так что в обоих случаях Х вЂ” несильный 1ос ех1г. ПРи ~ $ ~ ( 4Теь/4,/5 допУстимых экстРе- малей нет. 5.72. Решение. 1.
По теореме Боголюбова численное значе- ние задачи совпадает с численным значением простейшей задачи с теми же краевыми условиями и интегрантом ,( ° ) О, ~х~(1, (" — 1)', !'1> 1. 2. Необходимое условие для интегранта à — уравнение Эй- лера — имеет интеграл х = сопИ. 3. Общее решение уравнения Эйлера: х = С,Г+ С,. 4 Единственная допустимая экстремаль х = ~г доставляет аЬз ппп в новой задаче (возможна непосредственная проверка), (О, )31(1, ((~' — 1)',) ~ ~ В первоначальной задаче экстремаль ~г доставляет 1осшах при ~$~ (193 и 1осш(п при~5! > 1/УЗ; при ~$~ < 1 эта экстремаль не доставляет сильного минимума, ибо условие Вейерштрасса не выполнено. 5.73. Краевым условиям удовлетворяет экстремаль Х О.
Но она не является решением задачи: по теореме Боголюбова Я ~, —— = васо, Я„,„ = +оо. 5.74. Краевым условиям удовлетворяет экстремаль х = О. На этой экстремали выполнены достаточные условия слабого минимума, ибо поле х(г, Х) = — Х окружает экстремаль и условие Лежандра выполнено: Х .. (т) =2 >О.
Необходимое усхх ловие Вейерштрасса также выполнено, ибо функция х'+ 2гх4 выпукла. Сильного минимума, однако, нет. Достаточно взять ломаную х(г; й, Ь) = И/Ь при 0 < г < й и й(1 — т)/(1 — Ь) при А < < ~ = 1 и для любого х > 0 подобрать й >0 так, что У(х( °, й, й) ) ( 0 5.75. 1' — ~' ~ аЬз гп(п, о „= +оо. 5.76. 1'2~ — ~" я еи аЬз ппп, Я,„„= +оо. 5.77. Допустимая экстремаль — дуга ок- 252 ружности с центром на оси 1, проходящая через точки (го, х,) н (~ь х,), доставляет аЬвш(п, Я„„=+со. Указа.ние. В зада- чах 575 — 5.77 допустимую эстремаль легко включить в поле зкс- тромалей, покрывающее полуполосу то( г =гь х ~ 0; интегрант регулярен. Основная формула Вейерштрасса приводят к тому, что допустимая экстремаль доставляет аЬз т1п. 5.78.
Экстремали в задаче — цепные линии х = СсЬ(~+ Р)/С. Константа Р в задаче равна нул|о, а константа С должна быть оп- ределена из уравнения С сЬ То/С. Если теперь я определить из сис- темы уравнений т = с1Ь т, а = зЬ т, то при ~ $/То~ ) я имеются две допустимые экстремали; при ~К~Т„~ = а имеется однадопусти- мая экстремаль; при ~ З/Т,~ < а допустимых экстремалей нет. Под- робное исследование задачи содержится в 113, с. 4271.
5.79. Экстре- маль записывается в параметрической форме следующим образом: а 2 х= (1 — созт), 1= — (т — з(пт)+с. Константы а и с одно- а 2 2 значио отыскиваются из начальных условий Допустимая экстре- маль может быть включена в поле экстремалей, покрывающее поло- су ~о ~ г = ть х ) О; интегрант квазирегулярен. Основная форму- ла Вейерштрасса приводит к тому, что допустимая экстремаль до- ставляет аЬз пап, Яв„= +оо. 5.80. Экстремали, удовлетворяющие начальному условию х(0) = О, имеют вид х (г,я)=а~+— 1+ и~ 4й Уравнение огибающей этого семейства имеет вид х = — Ь + + ~Р/(4Ъ) (в баллистике зта кривая носит наименование кривой безопасности). Если точка (Т„$) лежит вне кривой безопасности, допустимой экстремали нет; если эта точка лежит на кривой безо- пасности, допустимая экстремаль единственна; под кривой безопас- ности имеются две допустимые экстремали.
При этом верхняя (навес- ная) экстремаль имеет пересечение с огибающей, т. е. сопряжен- ную точку внутри (О, Т,), и, значит, не дает сильного экстремума. Нижняя дает сильный минимум. Вопрос об аЬзш(п требует до- полнительного исследования. 5.81. х = (4„Х~) = (зЬ |, — зЬ т) ~ ез аЬз ш1п, Яв,в - "+оо. 5.82. У = (Еь .1р) = (зЬ|, зЬ ~), Явв = = — оо (х„(ю) = Я(г) + (яплМ, — з1п лай)), Я„„, = +со (х (г) = =Х(ю) + (яплвй, яплпе)).
583. х = (хь х2) = (е', е '), Явы = = — оо (х (Е) = Е(Е) + (яп лпт, — яп лп~)), Яв„х = +оо (х„(С) = =,1(г) + (з(или~, з1плп~)). 5.84. 1 = (х„хз) = (яп т, — з1п ~), Я„,„= — оо (х„(~) = х(~) + (яп2п~, — яп2п~)), Я„„= +оо (х„Я .1(~) + (яп2в~, з1п2лй)). 5.85. Е = (х~, х,) = (Ю', Р), Явфп = оо (хл (г) х(Е) + (з1П лий, — з(п лМ))1 Я вак = +ос (х (й) = х(1) + (являй, яплп1)), 5.86. х = (1ь Хл хз) = (С+ + соз т, — соз т, соз т — т), Я „„= — со (х„(1) = х(т)+(О, — и з1п 21, 0)), Явах =+оо(хи (Ю) = 1(й)+ (О, в яп 2С, 0)). 587. х— = 1 ~ аЬз ппп, Я„,х=+ оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
