В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Положим 5! =- сЬ| — соя2, 52 = вЬ| — вш ь 51 2 1 1'сЬ | — соя 1 вЬ х — в1п 11 5' ~ ~яЬ г+ яш 2 сЬ 2 — сов 2~* 1 2 и=[ 8Л. (х, й) = (сЬ4+СяЬ|, 0) вяаЬяш1п1тСяяй, Я „=+ оо. 8.2. (х, й) = (сЬ |, 0) е= аЬяш1п, Я„, = +со. 8.3. (х, й) = (1 сЬ 1, 2 вЬ с) еи аЬв ш1п, Я,„= + оо. 84. (х, й) = (1 яЬ 1, 2 сЬ 1) ~ аЬв ш1п, Явах =+сю. 8,5. (х, й) = (я(п Е+Ссовт, 0) ~ аЬвш1п ы Сев й, Я„„=+ оо. 8.6. (х. й) = (в1п2, 0) ~ аЬвш1п, Я „= + сю.
8.7, (х, й) = (1соя1, -2вш1) ея аЬяп1ш, Я +оо. 8.8. (х, й) = — в1п 2, 2сов г ~ аЬв ш1п, Явах = +оо, 8.9. (и, ° й) = = (Св(пт, 0) ея аЪвш1п »СЕ В, Я „= +оо. 8ЛО, (х, й) = = (я(п 1, 0) ~ аЬв ш1п, Я„„х = +со. ( — 2 (1+ 2) сов 1 4 в1 и 2 ~ 8.11, (х, и) — ~ 4 -(- я ,' 4 +.я ) ' 4»ах — ~яаЬв ш1п Я =-~-оо, ((21л + 4я) сов 1 + (41 — 2я) я1П 2 8.12. (х, и) = ~ 4 — 4я — яв 8 соя 1 — 4я в(п г ~ ~ ея аЬя ш1п, Я„, = + оо, 4 — 4я — я 258 Г2 01 Тогда Н (0) = О, Н (0) = [ ~ — невырожденная матрица. Сопря- 10 2~ женные точки определяются соотношением 41е$ Н(1) = Ос=:- (сЬ с — соя 1) ' — (вЬ' 2- яш' 4) = 0<=4-соя 2 сЬ = 1, Ближайшая к нулю точка: 11 еи (Зя~2, 2л), Ответ.
Т,(1~ =4-Х Оа:-аЬвшш, Яв4» = 0; То> 24 4- па Явсп =-* оо, Явах = +оо. 7ЛО. вЬ1 — в1п1ея аЬяшш, Явах = +оо, 741, С1вЬ|я(п1+Сх(сЬ|вш2 — вЬ ссов2) вн аЬяшш, 2$ вЬ Т в1п Т вЂ” у2$ (сЬТ в1пт — вЬ Т соя Т ) вЬ Т вЂ” в1п Т о о $ вЬ Т в1пТ вЂ” $ (сЬТ в1пТ +яЬТ сов Т ) С 2 яЬ Т вЂ” яш Т е о Явах = +оо 7Л2. — сЬ|совсея аЬвш1п, Я „=+ао.
7.13. в1п1вЬ1щ е аЬя шш, Я „х = + со. 7.14. х + соя 2 еи аЬя ш1п, Я„„= + со. 7.15, (1 — сов1)(2~ аЬвппп, Явах = +со. 7Л6. сЬ |~ аЬяшш, Я „= +со. 7Л7. яЬ|~аЬяппп, Я пх -)оо. 7Л8. х(г) пвОвиаЬвш1п, Явах = +со. 7Л9. 1ес ея аЬв ш1п, Явах = +со. 7.20. ес еи аЬя шш, Я», +оо. 7.21. ~2 е= аЬя ш1п, Я„„= +оо. 7.22. 1п (1+ 1) ея св аЬв шш, Явах +оо.
7,23, 1 1п ~ ~ аЬя ш1я1 Явах +со. 7.24. 1/(1+ 1) ы аЬя ш1п, Яссах = +сю 725 14 вя аЪвш1п, = +оо. 7.26. 44 ~ аЬв птш, Яв,х = + оо. 7.27. вЬ | ея аЬя ш(п, Я„„, = ' = +оо. 7.28. 1 — сов ~. 7.29. с — яш 1. 7.30. вЬ с — я(п 1, и йг-~ ел1г; о 1 ° ф= 2,г=и, г г(0) = г(1) =1, ф(0)=О, ф(1) =1. Функция Лагранжа: 1 Ы'=~(~ ~-р, е — —, -~-п,~ — ))Й-~-~, (0)4- о + г, г (1) + Х ф (0) + Х ф (1). 259 8ЛЗ. (х, й) (СсЬ с, О) е= аЬяппп УСя В, Я~,в —— +ее. 8Л4. (Х, й) = (сЬг, 0) еяаЬяш1п, Я~пах=+ее. !31ЯЬ 1сЬ1+(1ЯЬ 1 — гсЬ1 — ЯЬ1 — 2сЬ 1) вЬт 8.15. (х, и) — ~ вЬ2+яЬ 1 — 3 6 вЬ 1 яЬ 1+ 2 (яЬ 1 — сЬ 1) сЬ ~ ~ ! ен аЬв т1п, Ятах = + вЬ2+яЬ 1 — 3 ! (4+ 2~) в(п г 4 соя 8.16.
(х, и) ~ 4-~- ' 4 ~ е= аЬв ш(" Яшах=+ ее l )/2сЬ )/2г+ вЬ ~/21 8.17 (х, и) = ~ )/2сЬ 1/2+вЬ ~/2 вЬ 1/22 1 ~ аЬв п11п Ющах = + ео ° )/2сЬ )/2+ яЬ )/2! 8.18. (х, и) = / 1~2 сЬ (2 — 1) + яЬ (1 — 1) 1/2 сЬ 1 — вЬ 1 яЬ (2 — 1) 2сЬ1 — р'2вЬ1 1 ея аЬя ш1п, Яшах=+со 8Л9. (Х, й) ея аЬяш1п, где х = (С~1+ Сг) сЬ г+ (С21+ С4) яЬ ~, й = х+ Г'2Х, неизвестные константы Си С2, С„С, определяются из условий х(0) = 1, й(0) = й(1) = й(1) = 0; Ясак = +со. 8.20. (Я, й) е= аЬвш(п, где Х = (С12+ С2) сЬ г+ (Сз~+ С4) яЬ 2, й = =х — )~2х, неизвестные константы фффС, определяются из условий х(0) = 1, й(0) = й(1) = й(1) = 0; Яп,„= +со. 8.21, Я„~, = О, (У, й) = (сояг — с18Тв1п1, О) ея аЬвш1п УТ ~йя, й=1.
~гпах + ео. 8.22. (х, и) — ~~ 4+1 — -) я1п 2, 2 соя 8.23. Решение. 1. Перейдем к полярным координатам х= = гв1пф, у = гсовф. Тогда х= гв(пф+ гфсояф, у = гсояф—  — гф в1п ф и, следовательно, ху — ух = г'ф = 1, х'+у' = г'+ + г'ф' = г2+ ф. Таким образом, получили стандартную 'задачу Лагранжа 2. Необходимое условие: х ев абаз гшп => 1п1 (Л TФ + Ь У1 + и — Ли) = = Л ~~8 + й 'г' 1 + и (г) — Хи (М). 3. Если Ле — — О, то из п.
2 следует, что Л = Π— противоречие. Полагаем Ле = 1. Далее решаем задачу уг+ Ь Г'1+ ие — Ли-~1п1. Эта задача имеет решение, если ~Ц ( 1Ь и при этом й(г) = = Л/УГ+ Ь вЂ” Л'. Если Л = уй, приходим к неравенству )7+ Ь )'1 + и~ — )'Ь и ) (Х + й)11г — 1'ге ')'ЬЩ (1) Пусть теперь х( ) — любая допустимая функция при $ ) 21Ь, и = х. Интегрируя (1), получаем неравенство 1(х( ° )) )~ УЬЯ вЂ” '2УЬ) + У(2УЬ1), (2) 4. При ~$~ (ай решением является где Л подобрано так, чтобы выполнялось условие х(1) = $ = 2Лф1+ Ь вЂ” Ле — )/Ь~ — Ле) ,(при этом ~Л~ ~)~й). Если же ~3~ ) 2~й, то значение задачи, как зто сразу следует из (2), достигается на последовательности х„(г) = $ — 2 г" 6+ 2 ~!М, т„::,~(1, где т — точка пересечения прямой х = Ьг и кривой х $— — 2)'Ь+2)'Ы.
Таким образом, можно сказать, что при ~$~ -~ 2)Ь имеется обобщенное решение Х(~) = $ — 21'Ь+ 2уйа 9,8. Р е ш е н и е. 1. Формализуем задачу как ляпуновскую; й/2 сИ -+1п1; ') е ти (т) йт = е (ибо х = х + и, х (О) = О =~ х (~) = ~ е' 'и (т) йт). е 2. Необходимое условие: ш1 (Леи'(2 — Ле 'и) = Лейе(й)/2 — Ле 'й(1). 261 3. Если Х~ — — О, то из п. 2 следует, что Х = 0 — противоречие. Полагаем Хо = 1. Тогда й(~) = Хе-", 1 е ~и (т) ат = $/е=> Х =— Ж$ о 4. Вследствие того, что необходимое условие при Хо Ф 0 явчяется доста сочным, и (1) = — е еь аЬз ш!и. ей 1 9.9» Я„,!„— — 6$з1 — 6$ $ + 2Чзз. 910, Решение. Задача сводится к следующей ляпуновской: 1 1 иг-+!п1; и й! = $, 1а ) и [6 и ~И=$ 1 дд ч я(~ ~ .
1 ( 1~[и[6 $ о 1 1 = зпр ит) — [ и сИ = зпр ит~ — [" <й = [)[61, 6„1+! Таким образом, 6 (0), а~в р — 1, (т!) = — сс < 'р — 1, р — 1 — я откуда О, а>~) — 1, — / 6 †-а л 6-1 В последнем случае решение задачи: х (1) = с1 (р ф й ([О ° 1))~ О, 911. Я 2 Ь 5 Ф 1(1)й1, Ф =Ь ([О 11), 2 о 262 Значение этой задачи обозначим Я(е). Очевидно, что Я определена и конечна на всей прямой.
Применим метод двойственности. Имеем 9Л2, У к а з а н и е. Формализовав задачу следующим образом: 1 у /2 Ит -ь 1пХ; у (0) = у (0) = у (1) = О, у (1) = ф о с у («) = х (т) ю1т о сводим ее к 99. Я„ь„= 6$». 9.13. Указание. Задача допускает естественную ьрормаливацию 1 'ь' ь~- Рю! ! ь, ) *й =а, ьюь-*ыь-ю, *~ю. Нетрудно понять, что если решение й( ) нижеследующей ляпуновской задачи 1'ь-$- 'Юь ! ь; ) й=ь, ) !! — «! й-ю е о $ окажется таковым, что х (1) = и(т) юьт>ОУ1, то л! ) окажется о решением задачи Дидоны, ибо 1 1 1 =ь = ««~*«!= ««(ь! — ь! й=а, ) й ю, о о о х (0) = х (1) = О.
Далее следует применить рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным прн решении задачи 9.7. Ответ. При о (л/2 решением является окру«кность с центром на прямой г = 1/2; при о ) л/2 «обобщенным» решением является полуокружность (г — 1/2)'+ х' = 1/4, х ~ О, «приподнятая» на величину (о — л/2)/2. 9Л4. Решение.
Докажем неравенство для В+ (для В все аналогично). 1. Рассмотрим ляпуновскую задачу *й йь! ( *'й= ', ( !' 'й=ь' ь~~ю, ь~юь и ~. В+ В+ Функция Лагранжа: Я = ~' ( — ) ох+ Х,х'+ Х,г'х') (Й. В+ 2. Необходимое условие экстремума: х е= аЬз пш1 =~ — Хюх(ь) + Хьхю(Г) + Х,ггхю(т) = = ш!и ( — «юьюх + «юььх» + Х»1»х»), (1) Ж 363 3.
ХО=О=~-х 0 — противоречие. Полагаем 4 — — 1. Тогда из (1) получаем „з!зЬз(з х(г) = —,— " з ея аЬзш1п ~Г'ж Ь (-а З (в силу достаточности (1) при Хз чь 0) и при этом х (Ц й = = (ЬаЬ)т(з, откуда ,й( (,а-~йУ,ь-~~й(1 *'а)~"(1 Р*'а)'", к+ Й+ 1 к+ / ~к+ что и требовалось. 913. Указ ание. Следует рассмотреть ляпуновскую задачу т 1 и Ы$-+1п1; ~(т — т)+и(т)Ыт=$а, й 1, ...,т, доказать существование в ней решения (которое следует из слабой полунепрерывности снизу нормы и слабой компактности шаров в Ьа([0, 1])) и применить необходимое условие в ляпуновской задаче. О т в е т. Решением является интерполяционный сплайн с условием х(0) = х(0) О, т.
е. функция из С', являющаяся поли- номом третьей степени в интервалах (тз, та+~) и интерполирующая заданные значения. 9.19. Решение. 1. Рассмотрим ляпуновскую задачу р(х)1пр(х)дх-~.1п1; ~хр(х) дх=сз~, ~=0,1,2 к к (йо —— 1, а~=О, аз —— о', р~О). Функция Лагранжа: 2'= ~(Х р1 р+ Х р+1 *р-(-Х/р) И~. к 2. Необходимое условие: (1 ( ) ев аЬз ш1п =з- ш(п (Аор 1п р + Х,р + Хзхр + )~зх'р) = р>о ХО( (х) 1п (3 (х) + Х~ф (х) + Р~~х~ (х) + Хзх ф (х) ° 3. Хо = О=з- Х, = О, 1= 1, 2, 3,— противоречие, Полагаем Х 1ь(р1пр+1 р+Х хр+Х х р) =0=~ р= р(х) =е р (х) = ехр (а + Ьх + сх~), причем с < 0 1иначе ) р 0х=+ оо).
В итоге получаем к ,д(х) = (1(2ло) и' ехр ( — х~((2о)) (гауссова плотность). 264 4. В силу достаточности необходимых условий в ляпуновской задаче при Хо Ф 0 р( ) ев аЬзшш, л+~, — л<~< — л/2, 10,1. * = — ~, ( ~ ~ < л/2, теваЬз ш(п,— ЙаЬз шах. ~ — л, л/2(~~л, — с<л/4,- 10.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
