В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 38
Текст из файла (страница 38)
11.28. Я„, = + оо, 1/с+1/2~ аЬвш(п. 11.29. Яа»ах = + оо, с — е 1п с — 1 ез аЪ$ ш1п. 11.30. Яшак = + оо, с+ (1 — е) 1п с — 1 ез аЬв шсп. 11.31. Яшах = + оо Яв~п = тзсЬ с (х (с) и), х= сов с — 1ф 1осехСг. 11.32. Б»а=+ оо, з еваЬвппп, Я~,„=, Зсс)»Та. 11.33. Е 0=»-2(С) =0 (Т) 0 — лю- бое) ы аЬв ш1п; З ~ 0 =о. допустимых экстремалей нет. Яп,„—— 0 ~х(с)= — =ФУ(х( ° ),Т)=$~1ЬТ-+О при Т-» 0), зсЬ с Я, =+оо (х(С) =~=~У(х( ° ),Т)= з~Т-++со при Т-+оо .
ЗсЬТ 11.34, ~Е~(сСЬТ =Эх = 1, ~ аЬвш1п; ) Э() ссЬТ =~ о с)т с )$1Кп ~ —, 0(с (т, х я аЬв ш1п, где т отыс- 4 + (с — Те) $1Кп 1, т ( С ( Т о кивается из уравнения ~ Э ~ = с1Ь т — т+ Та. 2 З— — (с — та)$1кп эенаьв шах. 1136. з = 0=~2(с)ы 0 (т>0 — любое)я я аЬвш1п; арчь 0 ~ допустимых экстремалей нет. Я», =О, Я „= +оо, (х(с) =— з =»- У(х( ), Т) = з»Т-»-0 при Т вЂ” »-Ои У(х( ), Т) — »- -» + оо при Т- + оо). 11.36. Д $Ь с)/вЬ Т, ~ аЬв ппп. Яо,», = ф'ссЬ Та, Я„,„, + оо.
11.37. ф = 0 =». 2(с) — = 0 (Т ) 0 — лю- бое) ез аЬв ш)п; $ чь О ~ допустимых экстремалей нет. Я» з', Я,а„, =+ оо (х(с) = ($ $Ьс)/вЬТ=»-У(х( ), Т) $'сСЬТ-~$' при Т-» +оо и У(х( ), Т) -+ +оо при Т-~ +О). 11.38. ~$! ) Т, =»- допустимых функций нет. ) з) =» СЬ Те:Ф $ вйс *+ 1 Т ~ аЪвш1п, Ятсп = $ ссЬТе' 1Ь Тз -( ~) ~~То С'хпип е вЬс — $1Кп З, 0: с е~ т, сЬт (т — корень уравнения э + (С вЂ” Тэ) $1Кп ь т -''=' (Те ~$~1 1Ь т уо+ 1Ь т т = ~$!), х»пспеваЪвшсп Я»псп=)$~+ 3 — 3, хп»ах= с $1Кп1, 0( с ((ТО+ $)/2, *»па„еи аЬв тпах. В+(То — С) $1КП $, (То+'Б)/2(С(ТО 11.39. з = 0 =»- х (с) = — 0 (Т ~ 0 — любое) ен аЬв ш(п; й Ф 0 =о. $я1~ с =;- допустимых экстремалей нет.
~ з1 (1 =:. Я„»„= зс,х = 1, =~ У(х( ° ), Т) = $'сСЬ Т-~ $' при Т-~+оо; ~$~ ~ 1 =о Яа,ы = = 1$~'/3+! $1 — 1/3, х(с) = х»,(с) из ответа к задаче 1138 =;- =Ф. У(х(')» Т)» Яа»»п при Т-» + оо. Я»пах = + оо (х(с) = фс/Т =». =;-У(х(.), Т) = ~'/Т+ з'Т/3-~+оо при Т-» +оо). 0(с~т, 11.40. х = + сов с (т — решение уравнения — — т ~( с ( л $1п т' т 1К т 1)' хп»!пен~Ъв шш' Яп»сп т /3' Я»пах 11.41.
я1п г ня аЬя т(п, Явь!и О> Ягоах + ео соя (1 — Зл/4) Зл 42 х + — я)п (т — Зл/4) ' Зл/2 — 1, Зл/2 — т ( г ~ Зл/2 (т — корень уравнения Зл/2 = 2т+ 2 агс$д т-~) ен аЬя ш1п, Б оа = 2т /3, Яшах Зл/2. $ — Т соя Т 11.43. Т ( л =Е . Т яш Г+ ~соя1ы аЬяппп; Те л =». о о о =~ при $ = — л гсоя~+Ся1п1ен аЬяш1п т Сея В; Те) л=а-допустимые экстремали ф )ос ех1г и Я ~~в = — ое; Юв аа = +о». 11,44. Решение. 1. Формализация.' о (и — х~) йг -» ех1г; х = и, и е= ( — 1, 1), х (0) = О.
Функция Лагранжа: то х=~ („~,' —,'~~. р[*' .)) а~-х*(0>, о 2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: — р — 2Хех =0; б) трансверсальность по х: р(0) = Х, р(Т,) = 0; в) оптимальность по и: ш1п (7мив — ри) = Хей' — рй (Хо) 0 в задаче на минимум, ~ и~<1 Хв ..и. :0 в задаче на максимум). 3. Если Хе =О, то все множители Лагранжа из-за необходимых условий п. 2 равны нулю. Положим Хо = 1/2 в задаче на минимум. Тогда из условия оптимальности по и (я(лпр, ~р~)1, р !р! < . Рассмотрим поведение экстремальных траекторий на плоско- сти х, р (рис.
8). 1. ~ р ~ ( 1 =». р' = — х, х = р; рр + хх = 0 » р»+ хв = С. Движейие происходит по окружностям с угловой скоростью, равной единице. Направление движения определяется при р» О из условия роста х; при р ( 0 — из условия убывания х. П. ~ р ~ ) 1 =."- р = — х, х = ~1 =»- х = ~ (Г+ С') =;- р = ~ (~ + С')а/2+ С = ~х»/2+ С, Движение происходит по параболам. Направление движения определяется при р -.
1 из условия роста х; при р ( — 1 — из ус- ловия убывания х. Оптимальное движение начинается на оси р(х(0) =0) и за- канчивается на оси х (р(Те) = 0); х(г) = 0 — допустимая экстре- маль т'Т . При Тв = (/с — 1/2)л, /с ~М, допустимыми зкстремаляо' ми являются также функции х(г) = С я(п ~, ~С~ ~ 1. Пусть (/с — 1/2) л ( Тв е (/с + 1/2) л; тогда оптимальная траектория Х„( ) может содержать нечетное число «четверть оборотов», п, в = 1, 2, ..., Е Учитывая условия х(0) = О, х(Те) = 0 и непрерыв- 18 в. и.
Алексеев и др, 273 ность функций х и х, получаем )~!< „, )Г1+ т„'в(ап ~ сов(~ — То((2п — 1))> т„(Я(Т /(2п — 1), далее антиаериодично, ~т1п(п) где т„=корень уравнения (2п — 1) (т„+ агс1дт„т) = Т,, и = =1...,, 1с. Нетрудно видеть, что 'Чгпах То хп (~) = в10пв|п 2Я"т т о Рпс. 8. вначение функционала на зкстремалях х„находим У(х ( )) = = — '- —..=.(- ()) =- — '. 3/~ 1 3 Л и Ответ. Т - 2 ==, 'х —— — О еваЬзп11п, Я~;„=О; То = —, > Св1п ~~ аЬз т1п ч !С)(~1, Япп„=О; Т >л => ж = О<1~~т, = + ., „х ев аЬв п11п (т — корень — 'Р'1+.-'.о.
(~ — То) .~г<Т,, я '!'1 т УРавнения т его (Т вЂ” т) = 1, т я То — 2, То'б'' Яппп — —— гпах —— То И4о. Т (ло х= — Ое аЬз ш1п, Я ~„— — О; Т яо =>Св1п~езаЬзш1п х !С!(1, Я,п,„=О; Т «ч=о,~— 274 4. В силу компактности ограничений и непрерывности функционала решение задачи на минимум существует. Вычисляя О ~: 1 а~.
:т, о То т~~а<То ~1+ т'сов <1 — Т /2), Т о х янаЬв ш1п < (Т, т — корень уравнения т $д ~ 2 — т = 1, лежащий на отрезке с — — — "у Я, — — з Я вЂ” Т ° (г~ — в1,пв(й2япт,1т 2 2' 2)/ пнп Зт' шах о~ п о И.46. х=— ~1ыаЬяш1п, Я в=О.
Б „а=+со. Допустимы- ми экстремалями являются также функции Х(~) = ~)~2соепИ, /х он Х. И.47.:~)~2соя иге= аЬяш1п, Я 1 — — ях, Я „, = +о~. Допустимыми экстремалями являются также функции ~ 12 соя я/хх, /а = 2, 3,... И,48. Допустимые экстремали: Ха = ~ 1'2 я(п (1/2+ /х)л~, /' ы Е, х1 ио аЪя шш. У к а э а н и е. Существование решения можно доказать, вводя принудительное ограничение ~х~ = А; Яв~„я~, а, .~- . 1«.«9. а „= ~., х« — «' ««~в .
«1,50. Е .(., х« — «'.(.«Ь ! . 1«.«1. а =.«, х« — ~« — 11' я аЬв пип (Т = 1 — г'2/5. И.52. 1'$ — ах ен аЬв шах, — )~1 — Р ев еп аЬв шш. И.53. )~1 — гх ев аЬв шах, — )~1 — гх ~ аЪв ш(п. И.54. ( сЬ р — 1) .Ь (1 — 1) ') Яхпах =+ оо х =(хг ха) ~ с1 1 '. сЬ1 /) ~ аЬвш1п И55. Яв„+ оо, х (х„х,) = (в1п х, — я1п ~) ен аЬя ш1п. И.56.
Явах = + со, Яв1п = — оо. Допустимая экстремаль: аа = (З~х — 2« бР— 4г). И.57. Я„„= +оо, (Зхх — Р)/2 ен аЬв шш. И.58. Я„„х =+ со, ~ — Р/2 Я аЬЯ ш1п. И.59. Яв„, =+ со, хх/2е- =аЬЯ ш(п, Яв~п ~= 1. И.60. Явах = + со, ««х «« ~ аЬя ш(й Яв1п = 4. И.61. 8ва„- + со, ~' — 2~а+ ~ ~ аЬя ш1п, Яв1п = — 24/5. И.62.
Яв„= = +со, г' — 5Р/2+ ЗА/2 ев аЬя пип, Я„в = — 9/5. И,63. Яв,„=+оо, ха — 2Р+ Р ех аЬя ш1п«Ят!п = — 4/5 И 64. Явах = + оо, 2~а — аа еп яв аЬв ш1п. И.65 Явах =+ оо, Р/2 — е~(1п ~ — 1) я аЬяпип. И,66. Явах~ + оо«а«1п ~ ев аЬв ш1й. И.67- Явах= + со, ~ 1й ~ е= аЬя ш1п. И.68. Я„, = + оо, (х+ е) 1п ~ — ~ ~ аЪяпип. И.69. Б«пах =+ оо, 1пге= ев аЪя ш1й. И.70. Я пах = + оо, 1п а ев аЬя ш1п. 11.71. Яп„, = + оо, с/(2~)+1п ~ ев аЬя пип. И.72. Яв„=+со, 1/гя аЬв ш)п. И.73.
Яв„= + оо, 1/~ыаЬя шш. И 74. Я 1„— — + оо, 1Ь и (сЬ х я1п ~ — вЬ ~ сов г) /2— — яЬ а яш « ~ аЬя пип. И.75. Явах = + оо, сЬ ~ я1й «вЂ” — яЬ г(1Ья я)по+ соя х) ев аЬя ш1п. И.76. Я,„=+ со, сЬ | я1п г— — вЬ г соя ~ ев аЬя ш1п.
И.77. Допустимые экстремали; соя Т, сЬ Т, чь чь 1 ~ х = — О дп 1ос ехсг, сов Тп сЬ Тп — 1 =о- .1 = С ((сЬ Т, — соя Т,) )< >( (вЬ ~ -(- я(п с) — (яЬ Та — я1й Т,) (сЬ ~ + соя й) ) ф 1ос е~гг; Яп„п = — — оо, Я„„= + оо. И.78. Допустимая экстремаль: х(~) = 0 (Т ~ Π—, любое) ой 1ос ех1г; Я,п~п = оо Явах = + со.
И 79 Явах —— я '1 /( -(-со; (в1п~+яЬг)/2+ 1 — яЬЯ(соя х+сЬх)( ~2сЬ вЂ” ~ф ф1ос ех$г; Явв = — со. И.80. Явах =+ со, 8,п1п — — оо; (соя ~+ + с ' " (яЬ 1+ я1й ~) )/2 ф 1ос ек1г. И.81 ° Я„„, = +оо, в л сЬ |+ сЬ (и — ~) 1 Я - — со; я1йа+с$Ь 2 сов1 —, ~/2 ф1осех$г, ы!и '~ 2 «1+сЬ л И 83 Яша„=+ оо, Яш,.„— — — оо', ~ Ь (яЬ «+ я«п «) — сܫ— -соз «2ф1ос ехФг, 11.83' Яшах=+ооАа! оо 2 (1+сЬл)(сЬ«+соя«) яЬ «+я(п « — ф1осех1г. И.84. Я, =+, (я1п «)/2+(яЬ «) л ! сЬ« 2 ЯЬ 2 ! еа аЬЯ ш1п.
11.85. Яшах = + оо» Яш«п = оо! 2яЬ- 2 соя « яЬ « — — ф 1ос ех$г. И.86. Я =+ оо х = — — — ф 2 ° ' ' шах ' 2сЬл 2 яЬл ф1оо ех«г Я „= — оо х„(«) = х («) + и ~(сЬ « — соя «) — сЬ л + сЬ «соя« Х(яЬ1 — я«п «), И.87 Я =+ оо» х 2 с) — 2 ф1ос ех«г» яЬл х„(«) = х («) + и ~сЬ (л — «) + соя « — Ь и + 1 Х Х(яЬ (л — «) + я«п «) . И.88. Яшах + оо; я«п « ~аЬз ш«п, Яш«п— = О, И,89. Я ах =+ оо; з(п «ея аЬя ш1п» Яш«п — — О. И.90. Яшах= =+ оо; х =соя «ф 1осох!г; Яш«п = — оо (хи(«) = х («) + яЬ л +и сЬ « — соя « — Ь 1(яЬ « — я(п «) ° И'91 Яшах = + оо' х = — соя «ф1ос ех!г» Я и= — хи(«) = х(«)+ и Ь(л «)+ яЬл +соя « — (ЯЬ (л — «)+ Я1п «) . И.92. Я„»аа —— + оо; я1п «ея аЪя ш1п Яо»!о = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
