В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 33
Текст из файла (страница 33)
1. Функция /(х, у) = х' + ху + у' + 3 [х + у — 2 [ является выпуклой (в этом легко убедиться, используя критерий Сильвестра). 2. Необходимое и достаточное условие экстремума: 0 ен ен д/(х, у). 3, 0 ен д/(х, у) ~е- (2х + у, 2у + х) + За О, а = — (1, 1), (1, 1), х'+ у > 2, х+уС2, [ — (1, 1), (1, 1)), х + у = 2. где Если х+у)2, то Оенд/(х, у).еэ-2х+у+3 О, х+2у+3= = О=е- х+ у = — 2 =~- решений нет. Аналогично показываем, что в случае х + у ( 2 также стационарных точек нет. Если х + у=2, то 2х+ у+За = О, 2у+х+Зи=О, аен [ — 1, 1] =ь.х=у=1, а = — 1 — единственная критическая точка.
Ответ. (1, 1) е= аЬзш1и. 4.2. ( — 1/2, — 1/22) )ен аЬз пни. 4.3, а'+ 6'~ 1 =:- (а, Ь) ~ аЬз ш(и; а'+6' ) 1 =."- (а/)~а'+ Ь', Ь/)~а'+ Ьз) ~ аЬзш)и. 4.4. 0 ( а е-1/2 =~- (и, сх) е= аЬз и11и: а ) 1/2 =~- (1/2, 1/2) ~ аЬз иип. 247 3 2 у ловил сразу сле- дует, что )х['/2 ~ /(х). Переходя к сопряженным функциям и пользуясь тем, что ~у ~ ~р =~ ~уе ~ ф*, приходим к противополояс- ному неравенству /(х) ~ [х['/2, откуда и следует требуемое. ЗЛ7.
Р е ш е н и е, Из условия сразу следует неравенство (х, у) < 1 Ух, у ен А, откуда из однородности получаем [х[' < ~ р2А(х) =~ В с: А, где  — единичный шар. Переходя в послед- нем неравенстве к сопряженным функциям, приходим к проти- воположному включеншо. О, [ х [ < 1, 3.18. / (х) = 1, [ х [ = 1, °,! х[)1, ЗЛ9. /(й)=е ~, д(х)=х,/з=е . 320. / (хг,хз)= 4,5.
(~ =2 + 1/ага+ $~ ~с 0~ (О, О, ) ~ ОаЬзш(п; Р) О~ .(к,~1'гп,*+ ц), к,~р'цп+ ц), оп~2) .ь* 1.. 4.6. х, = $,а;/(а~г+Л), 1=1, ..., л, где Л вЂ” единственный поп ложительный корень уравнения ~' ЯаЯа~+ Л) = 1. в=г 4.7. Решение. 1. Формализация: Са, х) -~1п1; 5~ хз/Ьз = 1 (а ен1з, а~О, Ь ф 0 при Ус-~+ оо). »=1 Функция Лагранжа: Я'=Л (а,х)+Л ~ х»/6». 2. Необходимое условие: Ых = О И Лоа» +2Лх»/Ь» —— О, = 1, 2, ... 3. Если Л, = О, то Л ~ О и, следовательно, изп.2 х» = О, а = =1, 2, ., Получили точку, не лежащую на границе эллипсоида.
а о Полоноим далев Ло = 2; тогда а„+ Лх /Ьз =0 ~ Лчь О=~х» = = — а 6»з/Л. х~ границе эллппсоида =о- ~~~ азЬз =Л~=>)Л) = »=г 4. Очевидно, что точка с координатами х„= — а»6з ~~~ азЬз »=г доставляет абсолютный минимум функционалу, а нормали возможны лишь в подпространстве А-Ч~, где д: (хД -~ (х»/6»з). 48. Ютт = ~!хо — Ц, где $ = Лу, у = (Л*Л + М) 'Л*хо, Л— единственное положительное решение уравнения з (ЛоЛ + + ЛХ)Лохоз = 1. 43. 1о — 1(2ен аЬз ш1п. 4,10. Если возможно построение треугольника с длинами сторон т1то, тоть тото и аь соо— углы между сторонами с длинами т1то, тот, и т1ть тот, соответственно, то угол между векторами х, и е = (1, 0) (вершины треугольника А, Хо, е) равен л — соь а угол между хо и е равен от — сох Если построение невозможно, то х~=хо= — е или Х,= — е, хо — — е.
4.11, В остроугольном треугольнике искомыми точками являются основания высот. В прямоугольном и тупоугольном треугольниках треугольник минкмального периметра вырождается в высоту, проведенную к большей стороне. 412. Решение. 1. Формализация: /(х) = ~х — х'~ + ~х — хо~ + ~х — хо~ -«(п1 (х =(х,хз), 1=1,2,3, х=(х,т)), Получплп выпуклую задачу без ограничений. В силу того, что /(х) — +оо при )х~- +оо,.из следствия теоремы Вейерштрасса следует, что решение задачи х существует. 2.
Необходимое условие экстремума: 0 4н д/(х). 3. Возможно одно из двух: а) хчьх', 1=1, 2, 3; б) ~ (х', х~, х'). В случае а) д/[х) =, г, +, з ~ + (х — х ~ (х — х л з =Ц, Ри ~~в ~~ых ж орц юра ~ы в 1Р—,'1= ' х в х', х' и х', равны в сумме нулю. Отсюда вытекает, что из точки х отрезки [х', х~), [х', х'1 и [х', х'1 видны под углом 120'. Если все углы треугольника меньше 120; то такую точку Х легко построить. Ее называют точкой Торичелли. Рассмотрим случай б). Перенумеруем точки х' так, чтобы х = х'. Из необходимого условия получим, что и+ (х — х')/~У вЂ” х'~ + (х — хз)/)Х вЂ” х'! = О, где и ен д~х! при х = О, т. е.
~и~ ~ 1. Итак, сумма двух единичных векторов, направленных из х' в х' и хе, в сумме с вектором, по модулю не превосходящим единицы, равна нулю. Отсюда следует, что угол х'х'х' больше или равен 120'. 4. Вследствие того, что условие 0 е= д/(х) является достаточным условием экстремума, приходим к такому ответу: если все углы треугольника меньше 120', решением задачи является точка Торичелли; если один пз углов треугольника больше или равен 120', решение задачи совпадает с вершиной этого угла.
4ЛЗ. Если точки образуют выпуклый четырехугольник, то искомая точка — это точнй пересечения диагоналей; если четырехугольник не является выпуклым, то искомая точна — вершина с максимальным углом. 4Л4. После формализации з /(х)=~~'~ и;~х — х~[ [т,)0, ~=1, 2,3) 1=1 следует применить необходимое и достаточное условие минимума 0 ен д/(х) (минимум, как нетрудно показать, существует). Расшифровка полученного условия приводит к следующему ответу: пусть существует треугольник с длинами сторон, равными т„тз, т„ и пусть ац — углы этого треугольника,образованные сторонами с длинами т, и т;.
Проведемдуги окружностей, из которых отрезки [х', х~) видны под углами и — ац (соответственно), Если эти дуги пересекаются внутри треугольника, то построенная точка является искомой; если же дуги пересекаются вне треугольника илн если не существует треугольника с длинами сторон т„ т, и ть то решение задачи совпадает с одной из вершин треугольника. 4Л5. Центр многоугольника..
5Л. к ~0 — единственная энстремаль, и Х4в 1осех$г, Я ~„= = — оо (хк — — и), Япих — — + оо. 5.2. сЬ| ен аЬзш(п, Яш„= + оо. 5.3. е' + яи г е— : аЬз ппп, Я,„= + оо. 5.4, зш е + соз 1 ф 1ос ех(г, ошт — — оо (хо = и)~ Отак = + оо. 5.5. Р е ш е н и е.
1. Т, = х' + х', 1 = ах'(Т,). 2. Необходимые условия: а) уравнение Эйлера: У вЂ” х = 0; б) трансверсальность: х(0) =О, х(Т,) = — ах(То). 3. Общее решение уравнения Эйлера: х = С~ сЬ г+ С~ зЬ ~, Допустимые экстремали; х~ — О, а — любое, Х2 = С сЬ г при а = = — (Ь Т,. 940 4, Рассмотрим условия второго порядка. Условие Лежандра /... = 2 ~ 0) выполнено; более того, ннтегрант регулярен. Нехх трудно убедиться также в том, что выполнено усиленное условие Якоби. Проверим определенность квадратичной формы (/ + Р, Имеем Ь| = яЬ «/яЬ Та, Ьа = вЬ (То — «)/вЬ Та. Матрица Ч+ Р имеет вид с 2 стЬ 7е 2/вЬ 7о — 2/вЬ То 2с«+ 2 ей Т Из критерия Сильвестра следует, что матрица формы (/+Р положительно определена при а ) — «Ь Т„неотрицательпо определена прп а = «ЬТ, и не является знакоопределенпой при с«< — «Ь Та.
Ответ. а~ — 1ЬТ„=>х=Ое= аЬяпип, Япип — — 0; а = — '.Ь Т =~, =э СсЬ «~ аЬяпип тСен В, Я„„„=О; с«< — «Ь Те=ьх = — 0 Ф 1осш(п, Ящ~по(хопсЬ«)~Яау+ооУ«« 5,6. х = х = Оф1ос ехтг, Япяп оо' Я пах = + оо. Ук аз а н и е. Воспользоваться теоремой Боголюбова. 5.7. 1п «+ 1 ~ ~ аЬя пип, Яшах = +оо.
5 8 е '4«а/3, х = )/~ .+ 1, 5.9. 21п(«+1). 5,10. — е«/(ез-(-1). 5.11. (1 — «)ев аЬя ш(п Ягпах=+оп 5'12 а«/То ~ ен аЬвш(п, Я =.+ оо. 5.13. (« — «)/4 ен аЬв шах, Ятп«п = — ~. 5.14. — « /4 + ($/Т + То/4) «е= аЬв ш(п~ Я~пах = + «)/12 ев аЬя ш(п, Я „=-(- оо. 5.16. (« — «~)/24 енаЬв.пшх, Яппп = = — оо, 5.17.
х(«) = $«/Т вЂ” единственная экстремаль, $) 0=~ ~хан 1оспип, $<ОФхя1осшах, $=0мхф1осехтг, У$ х— не сильный 1ос ех$г, Я,п = — оо, Я „= + оо, 5.18. х= (2«/3)~'~ — единственная экстремаль, х ~ 1ос ш(п, х — не сильный 1ос ехФг, Я„„„= — оо, Я„, =+ оо. 5.19. х = $«/Т вЂ” единственная экстремаль, $) Т /З~хы1осш(п, $< Т /3=~ хы1осшах, $ =Т /З~ ~хф1осех1г, т'$х — не сильный 1осех1г, Я «и — — — оо, Яш „= =+ оо. 5.20. х=й«/Т вЂ” единственная экстремаль, $.о — Т /3=~ =эх ев 1ос пип, $ < — Т / 3 =>х ев 1ос шах, ~= — Т /3=>х ф 1ос ех1г, т$ х — не сильный экстремум, Я,.п = — оо, Я „= + оо.
5.21. 1п «я аЬвпип, Я„, „=+ оо. 5.22. (1п(«+1))/1п2еваЬяш(п, Яптах — — + оо. 5.23. « — е1п «ев аЬв ш1п, Я „ах = + о>. 5.24. 1+е 3 — « — 1п «+ ев аЬяшах, Я = — оо. 5.2о. 4/« — 1еэ аЬяпип, 2 2 пип Я пах = +оо. 5.26. (1п (3 (« — 1)/(«+1)))/1п (3/2) е= аЬя пип' Яшах = =+ оо.
5.27. е/« — 1п «е= аЬв шах, Я „= — оо. 5.28. х = '1/«-(-1енаЬяш(п, Я„„„=+ оо. Указание. Прн доказательстве минимальности можно воспользоваться тем, что (хх/ =-~ ~Н«2/ 250 5.29. Решение. 1. Е = х/хх. 2. Необходимое условие — уравнение Эйлера (интеграл энергии) х/х' = С. 3. Общее решение уравнения Эйлера: х = (С1х+С,)'. Имеются две допустимые экстремали: х, = (х — 1)', хх = (х — 2)'/4. 4. Вторая зкстремаль окружепа полох~'; поэтому хх доставляет сильный локальный минимум.
На первой зкстремали не выполпено условне Якоби, ибо близкие зкстремали пересекаются прп 1 = 1. Значит, У, ф 1ос ехтг. Из теоремы Боголюбова следует, что Яш|п = оо, Яшах = +оо. 5,30. 21п(~+1) ев аЬвш1й, Яшах =+ оо. 5.31. 1а — ~ ел аЬв пил, Яшах = +оо. 5.32. 1п ~ ен аЬв пип, Яшах = +оо. 5.33. аа ~ аЬв ш(п, Я„„= +оо. 5.34. сЬ |/СЬ 1 ~ аЬв пип, Я,„ах = +по. 5,35. вЬ 21/вЬ 2 е= ы аЬв пил, Яш,х = +оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
