В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи) (1155771), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(~, х, х, р) + Х „(~, х, х, р) = О с:» .~=в х = у, у = Ф(1, х, у, и), (1) Ф(1, х, у, р) = Х ° ' (~, х, у, р) ( Х (~, х, у, р)— — Х. (~,х,у,р) — Х ° (~,х,у,р)у). Так можно сделать в некоторой окрестности графика экстремали х при р, достаточно близких к р, вследствие выполнимости усиленного условия Лежандра. По теоремам из теории дифференциальных уравнений (локальной теореме существования, теоремам о непрерывной и непрерывно дифференцируемой зависимости от начальных данных и параметров) найдется е «О такое, что для любых Л, р таких, что ! Л! <: е, ! р — р ! с е, решение х(, Л, к) уравпеппя Эйлера (1) с начальными даппьгап х(~~, Л, р) = х(~~), х(~~, Л, р) = х(Г~) + Л будет определено на К, М при 1~, близком к 1з, 1~ ( 1з. И4 Положим У(тд ~д Р) = (У1(тд) д Р)д ° ° ° д Уддд(тд Ад Р))д (~»р)=~У (е ( х ) (»р)) Из усиленного условия Якоби выводится (проверить зто!), что найдется такое 6 = О, что если только т ~ К, М, ~ф — х(т) ~ ( 6, ~т)- ~)(т)! = 6, то существуют единственные 3, Х(т, $, Ч), р, = р(т, $, «)) такие, что х(т, Х(т, $, т)), р(т, $, т))) = $, У(Г, дд(т, $, Я), Р(т $, д))) д) и при зтом функции Х и р обладают нужной гладкостью.
Зтим заканчивается построение поля. Функция и (т, В, т)) = †, х (~, Х (т, В, Ч), р (т, В, Ч))~ -. называется функцией наклона поля х(, Х, р). Б) Я-функция и ее дифференциал. Положим Ю(т,$, т)) = ~ ~,(Е,х(~,Х, р), х(Е,Х,р)) Й, Х = Х(т, $, т)), р = р(т, $, т)), Имеем по определению 8 (т, $, т)) + (р (т, $, 11), т)) = ~ Л (~, х (~, Х, р), х (~, Х р)р)Й, х = х(т, $, д)), р = р(т, 3, т~). Дифференцируя по $ и применяя выкладки, подобные проведенным в предыдущем пункте, получим дд (д, д д) Г дд (~, д, д) д~ ' дд - ' (д, ~, ~д, ~, ~), дд (д, ~ ~)) д. , †" †"'à †' "-' Л, " =~ (т,$ (т $ )) р(т,$ Ч)) Аналогично, ' ' = ~(~, $, (, $, )),) (~, $, )))— — Ь .
(т, ~, и (т, $, т~), р, (т, 5, т~)) и (т, $, т)), Наконец, дЯ(т,$, ч) д Р("~ $) Ч) В) Основная формула Вейерштрасса. Пусть а=(а,, ..., а ), у,(1)= ~Ь(г, х(г), х(г))Ыг. 1о Тогда, если у,(й,) =а;, х(Е,) =х,, 1=1, ..., т, у=О, 1, то (~11 х1) ~) ~ (~о) хоФ ')) ~ ~~~ (~7 х (~)ф у (~)) и, следовательно, 5' (х( ° )) — У(х( ° )) = с, = ~ 3' (й, х (Е), у (Г), и (~, х (1), у (Е)), х (Е)) Й, где х(~,) =х(~,) -х„) =О, 1, у; (8) = ~ ~ (г, х (г), х (г)) аЪ, у~ (8,) = а;, о Ф 3' (1, х, у, и, х) = Ь (1, х, х, и (~, х, у))— 1=1,...,т, х, х, п(1,х, у)), х, х)>. - — Е (1, х, и, р (1, х, у)) — (х — и) Ь. (1, И~,х, х, р)=Ай х,х)+<у,1К Г) Достаточное условие в теореме 1 п.
6.2.1 немедленно следует из квазирегулярностп интегранта. Теорема 2 доказывается подобно теореме 2 и. 5.51. 10.3.4. Задача со старшими производными. Докажем достаточность в теореме'1 и. 7.2,1. 196 А) Построение центрального поля. Расписывая уравнение Эйлера — Пуассона и используя усиленное условие Лежандра, сводим его к уравнению 2п-го порядка, разрешенному относительно старшей производной. Это дает возможность построить и-параметрическое семейство хИ, Х) = х(8, Х,, ..., Х„) функций, удовлетворяющих уравнению Эйлера — Пуассона и краевым условиям х("(~„Х) =х(")(~,), Ь=О,1, ..., — 1, х (~~, Х) = х( ~ (8о) + Х(, „+„й = и, ..., 2п — 1, Продифференцируем функцию Х- хИ, Х) по Х в точке Х = О и обозначим Рассмотрим матрицу Н(~) = Тогда из условий (1) получим, что Н (йо) = О, Н (Ю~) — 1.
Из усиленного условия Якоби следует, что (ю при Ео, близком к й,, Юо ( Ео, матрица Н(Е) невыро,"кдена 7Й~ (Е„8,). Это дает возможность найти зкстремаль, для которой х'"'(т, Х) =$„В=О, 1, ..., и — 1, причем по (т, $), $=(Ь, ..., $ ), где ~$,— х(е(т)! (6, величина 1 =К(т, $) определяется однозначно. На атом заканчивается построение поля.
Остается положить ~л и(т, Я) = — „х(Ю, Х(т, $)) ((=,. Б) Яфункция и ее дифференциал. Положим Я(т, $) = ) /(г,х(/, Х(т, $»,х(1,Х(т, $»,... ..., х~ ~ (/, Х (т, $») йг. Дифференцируя под знаком интеграла, приходим к фор- мулам Рй (т1 $)ф Й = 01 1~ ° 1 и 1г — Н(т, $), где Рк(тЛ = Н = /„~~> (т, $, и (т, $» — —, ~„~~+ц (т, $, и (т, $» ~~=, + ...
„/ ~~л — й + ( — 1)" ~ —,/) ~„<„~(/, $, и(т, $» и-1 — Н (т, $) = / (т, $, и (т, $» — ~~, Рд (т, $) $р,. В) О с н о в н а я ф о р и у л а В е й е р ш т р а с с а. Она приобретает вид ~(.(.» ~(-х( ° »=У~(~,х(/),.(,),... со °, '" "(~),и(/,хИ),...,х'" "(/)), х'"'(~)) й, где Я' (/, х, и, х) = / (/, х,х) — / (/, х, и) — (х — и) ~'„< ~(/, х, и), х = (хО, хо "., х.— ). Г) Достаточное условие.
В теореме 1 н. 721 оно немедленно следует из квазирегулярности инте- гранта. ~> Теорема 2 доказывается, как и теорема 2 и. 5.5.1. 10.3.5. Об одной теореме существования. Оптимальное управление предоставляет новые возможности для псслеИ8 дования классических задач, Продемонстрируем это на примере простейшей задачи ю У(х( )) = ~Т (й,х,х)й-э-М; х(й~) =х, х(й ) =х со (з) с дополнительным ограничением !х! ( А. Т е о р е м а, Пусть в (з) интезрант Е определен и нет»рерывен в В'"+', квазирегулярен в В"+'ХВ". Тогда, если существует допустимая функция, то решение задачи (з) существует (решением будет функция, удовлетворя,ющая условию Липшица с константой А).
<~ Пусть (х„( ))„~, — минимизирующая последовательность. Из условий х„(8,) =х„!х! ~А вытекает компактность (х„(.)) ~, в пространстве С(И„8,1, В"). Значит, можно считать, что х (.) равномерно сходится к х( ). При этом х( ) абсолютно непрерывна. Используя то, что Х, — выпуклая по х функция, и слабую сходимость х„( ° ) к х( ), легко выводится, что 5' (х( ° ))(11ш У (х„( ° )), т.
е. что х( ) — решение задачи. ~> Эта простая теорема зачастую позволяет полностью исследовать простейшую задачу классического вариацнонного исчисления, минуя теорию достаточпых условий, Поясним это. В и. 5.5 было рассказано, что с теоретической точки зренпя можно считать интегрант квазирегуаярным. Если интегрант квазирегулярен, то можно Маложить «прпнудительное» ограничение !х! (А. Тогда ао теореме существования решение задачи (з) (при достаточно большом А) существует.
Значит, можно применять принцип максимума Понтрягина. Как правило, этот принцип выделяет конечное число решений х,(, А), ... ..., х,(, А). Среди них отбираем то, для которого функционал У минимален. Пусть х~(, А) и будет этим решением. Далее следует изучить поведение величины фА) = У(х,(, А)).
Если «р(А) — — при А — +, то Я„,„= — . Если же ф ограничена снизу, то следует рассмотреть 1ппх,(, А) =х( ) (такпе пределы обычно существу- А -++ао тот), и мы приходим к решению задачи. Зтпм приемом мы пользуемся прп решении задач.
199 то 10.44. ~ (ху — ух) й -~- епр; о ~х~~~1, ~ у~ ~~1, х(0) = х(Т,), у(О) = у(Т,), о 10.45. ( (ху — ух) Й -э епр; о ~х~+ ~у ~(1, х(0) = х(Т,), у(0) = у(Т,), то 10.46. ~ —,-+1пХ; х~)0, х(0) =О, х(Т,) = $ (аэродинамическая задача Ньютона).- 10.47. ) хЧ1-~-еир; ~х~~~1, х(0) =0 о (найти допустимые экстремали). 1 1 11.11.
~ай-»-ех1г; ~хй = 1, х(0) = О. о о 1 1 11!2. ) х'01 ехгг; ) х01=1, х)О)=х)1)=0. о о 1 1 11.12. ) хЧ1 ехег; ) Гх11= 1, х)0)=0. о о 1 1 11 Л4. ~ х»й — »- ех1г; ~ 1х й = 1, х (0) = х (1) = О. о о 2 1 11.15. ~ х2й — )-ех1г; ~ ~хй = О, х(0) = 1, о о 1 1 1 11Л 6. ) х2й -~- ех1г; ) х й = ) гх сИ = О, х (0) = 1. о о о 1 1 2 1е 11Л7. ~ хой — э ех$г; ~хй = ~ ~хй=О, х(1) = 1. о о о 1 1 1 11.18. ) хой-»-ех|г; ) хй = ~ ~хй=О, .о о о х (О) = О, х (1) = 1. т т 11.19. ) хой-э.ехСг; ) хй = 1, х(0) = 3.
о о т т 11.20. х'й-»- ех1г; х й = —, х(Т) = 1. 1 о о 11.21. ~ хой-эех1г; ~ хв1п Ей=1, х(0) = О. о о !122. ) АКОГ ехег; ) хегп121=1, х)0)=х)х)=О. о о 1!.23. ~ х'й -»- еъ~г; о х(0) = О. 206 ~хоп 1й=1, ~хсозйй=О, о о ) 'ггх'-)-2х)нг еггг', х)1) = хге) = О. 24/2 2 (хо — х' — 2х) й — 2х' (0) — х' —.
— )- ех1г, о т, ) )х-'4- х)31 ехгг; х)т) = 4, в т )Г)х2'4 хе)3Г егег; х)Т) 2, о то 11.30. 11,31. 11.32. 11.33. 1134. ) )х'-~- Х)ЫГ егег; )х!(1, х)Те) = ф, о т 1133. )1)х2'-~х)ОГ егхг; )х((1, х)Т)=2. т 11.36. ~ (х2 + х2) й -э ехГг; х (О) = О, х (Т,) = $. о 207 11.24. хЧ~ — О. ех1г; х соя ~ й = —., о о х я1п ~ й = — 2, х (0) = О. о 1 1 11.23. ) х'31 егег; ) хеЪ 1, х гО) = О. о о 1 1 11.26.
) хЧГ еггг; ) хе~31 = 1, х ГО) = х г1) = О, о о 6-2 11.27. ) (~+ 1) хой + 2х(0) [х(е — 1) + Ц-~ ех1г. о 11.23. ) Г'хЧà — 2х)1) ~- х'12) ехгг. 1 11.29. (~х2+ 2х) Й-4- ех$г; х(1) = О. е т 11.37. ~ (хо + х') й — э. ех4г; х(0) =О, х(Т) = $. о то 11,38. ~ (х'+ хо) й-+езЛг; ~ х[(1, х(0) = О, х(Т,) = ф, о т 11.39. ) (х'+ х') й-» ел1г; ~х ~(1, х(0) = О, х(Т) = $. о 11.40. ~!х' — хг4! ехгг, $х((1, х!01=0, о 42 2 11.41, ) (хо — х') й -э е 4Ог; х (0) = О, х о 1!.42. 1 !хе — х'1с!г ехгг; о /х!<1 х!01 — х( ') — О то 11.42.
2 !хе — х' — 4хе!пг!4! ег!г; х (0) = О, х (Т ) = ф. о 11.44. (Р) ~ (х' — х') й-~ех$г; ~х ~:=:1, х(0) = О. о то 11.45. ) (хо — х') й-э- ех1г; ~ х ~ ~ ~1, х (0) = х(ТО) = О. о 1 1 11 46. 1Г х~4! ехгг! ~ х~Ы! = 1. о о 1 1 1 11.47. ) хой-О-ек1г; ') хой = 1, ) хй= К о о о 1 1 11.48.
) хой -4- ех$г; ~ хой = 1, х (0) = О. о о 1~ à —., 11.49. й-4 ех1г; х(1) = 1 (х~О). о 208 11Л15. 11.116. 11Л17. 11Л18. 11Л 19. 11Л20. 11.121. 1 1 1 4 х'дг еггг; 4 хгдг =1, 4 хдг= О, о о о х (О) = х (1), х (О) = х (1). т Т вЂ” э ех$г; хЧ~ = 4, о х (0) = О, х(0) = 1, х (Т) = — 1. т Т-э ех1г; ') хЧ~ = 1, х(0) = х(0) = О, х(Т) = 1 о т Т вЂ” э ех1г; ~хЧг= 1, о х (0) = х (0) = х (Т) = О, х (Т) = 1. т Т-+ е~1г ~хЧ1 = 4, о х(0) = х(0) = О, х(Т) = 1, х(Т) = 2.
1 х111 еггг; '4 х'де= 4, х101= х101= хг11= О. о 4 х(1)4-е~|г; ~х"-й = 12, х(0) = х(0) = х(1) = О. о 11.122. 11Л23. 11Л24. 11Л25. ~ х241~-+ е~1г; х (0) = х (0) = х (0) = О, х (1) = 1 о 1 ) хЧŠ—. ех~г; х(0) = х(0) = х(0), х(1) = 1. о 1 Г хЧг -+. е~1г; о х (0) = х (0) = х (0) = О, х (1) = 1. 1 хЧг -э ех1г; о х (О) = х (0) = х (О) = х (1) = О, х (1) = 1, 11 126. ) х'й -э ел1г,' о х (0) = х (О) = х (0) = х (1) = х (1) = О, х (1) = 1.
11,127. хой -~ ел(г; о х (0) = х (0) = х (0) = х (1) = х (1) = О, х (1) = 2. 11.128. (Р) Пусть х( ) абсолютно непрерывна, х( ) оа о= Е,((0, 1) ) и х(0) = 0; тогда имеет место точное неравенство Й< 1 хЧ1 где Х вЂ” минимальный корень уравнения 5' (2)'0 = О, У, — функция Бесселя (19, с, 437).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
