Диссертация (1155105), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Тогда из−t+c = tc = tc следует, что3/8√2−5/4 MP C 1/8  1 + 1 − f0  3 9 11 1 + 1 − f0 −+√ t0 = t0 + β √ 2F 1  , ; ;−28 8 823πVc√ 1 − 1 − f0  3 9 11 1 − 1 − f0 −F 2 1 , ; ;.28 8 823/8√√Для того чтобы масштабный фактор и его производные по времени не претерпевали разрыв при t = tc , необходимо выполнение условия−a+c = ac = ac ,a−a+ f0√ 0 √0= 1/8f01 + 1 − f03/8√√то есть+a−0 = a01+√√1 + 1 − f0 ,f01 − f0.(2.32)Таким образом, решения уравнений Эйнштейна–Фридмана, соответствующие на-105чальным условиям( )+a+ t+0 = a0 ,( )φ+ t+0 = φ0 ,( )−a− t−0 = a0 ,( )φ− t−0 = φ0 ,√√1/8dφ+ 1 − f0κ β Vc f 0,t=t+0 = √ 1/8 √√dt2C1 + 1 − f0√√1/8κ β Vc f01 − f0dφ− t=t−0 = − √ 1/8 √√dt2C1 − 1 − f0гладко сшиваются в точке t = tc ( φ = φc ).

Связь между t+ , t− и a+ , a− приведена выше.Графики сшитых решений для скалярного поля и масштабного фактора приведены на рисунке 2.6.а) масштабный факторб) скалярное полеРис. 2.6 – Графики зависимости а) масштабного фактора и б) скалярного поля от+−1+2времени для начальных условий t+0 = −0,5 MP , φ0 = 0 , φ̇0 ≈ ±0.5 MP , a0 = 1+−12при κ φ̇0 > 0 (красные кривые) и t+0 = 0,5 MP , φ0 = 0 , φ̇0 ≈ ±0,5 MP , a0 = 1при κ φ̇0 < 0 (синие кривые); зеленые и желтые кривые представляютпродолжения, полученные в результате сшивки решений, для красных и синихкривых соответственно; масштабный фактор выражен в условных единицах;Vc = 1Заметим, что несмотря на то что и плотность энергии поля ρ и его давление p бесконечно дифференцируемы по времени в точке t = tc , и эффективныйпараметр уравнения состояния wef f = p/ρ в этой точке конечен и равен −1 ,106производная dp/dρ в ней расходится, причемdp= −∞,t→tc −0 dρlimdp= +∞.t→tc +0 dρlimВ этом нет ничего необычного, поскольку в любой точке экстремума функцииполя будет наблюдаться подобное поведение производной давления поля по егоплотности энергии.

Однако, как уже упоминалось ранее, в работе [56] показано,что эту величину нельзя отождествлять со скоростью передачи информации прираспространении сигналов в поле. Реальная скорость не превышает скорости светадаже в окрестности минимума или максимума скалярного поля. Таким образом,принцип причинности не нарушается.Интерес представляет поведение малых возмущений метрики и скалярногополя в окрестности точки t = tc . Ограничимся здесь скалярными возмущениями.Их можно описать с помощью калибровочно-инвариантного потенциала Φ(t, x) ,задающего возмущение фоновой метрики ФЛРУ, и калибровочно-инвариантноговозмущения скалярного поля δφ(t, x) , определяющего отклонения от фоновогоскалярного поля φ(t) .

Функции Φ и δφ с точностью до первого порядка малостиудовлетворяют уравнениям (2.22). Как и прежде, воспользовавшись выражениями (2.24)–(2.26), приходим к уравнению (2.27). Рассмотрим поведение его решений в окрестности точки η = ηc , отвечающей времени t = tc . Сначала обратимсяк решениям для фоновой метрики, соответствующим κ ς = −1 . Выразим соотношение θ′′ /θ (здесь и далее в этом подразделе штрих означает производную поконформному времени η ) через функцию f и разложим его в ряд в окрестностиf (ηc ) = 1()√2′′64π Vc a0 1 + 1 − f0θ1≈.(2.33)21/4θ3MP C 1/41−ff0Теперь разложим в ряд f в окрестности η = ηc1/43M2P C 1/4f0() (ηc − η)2f (η) = 1 −√64π Vc 2a2 1 + 1 − f00(2.34)107и подставим это разложение в (2.33)θ ′′2≈.θ(ηc − η)2Приближенное уравнение для амплитуды uk имеет простой вид и может бытьрешено точноuk = C1 k cos(kη) + C2 k sin(kη) +C1 sin(kη) + C2 cos(kη),ηc − ηгде C1 и C2 — произвольные постоянные интегрирования.

Воспользуемся (2.23),соотношением φ ′ = aφ̇ и выражениями для φ̇− и a− из предыдущего подраздела (необходимо заменить в них f на (2.34)), а также учтем, что нас интересуетповедение малых флуктуаций в расширяющейся вселенной, а значит, необходимовыбрать β = −1 , и найдем амплитуду Φk функции Φ = Φk (η)eikx . В точке η = ηcона имеет предел√4π Vc1/8lim Φk = κaf(C1 sin(kηc ) − C2 cos(kηc )) .00η→ ηc −0MP 3 C 1/8Второе из уравнений (2.22) дает выражение для амплитуды δφk калибровочноинвариантных возмущений скалярного поля δφ = δφk (η)eikx . Его предел при η =ηc)(M2P 24 Vc −k (C1 sin(kηc ) − C2 cos(kηc )) .a +lim δφk = −η→ ηc −03 C 1/4 c4πacТаким образом, малые скалярные флуктуации метрики и поля не возрастают приприближении к η = ηc для решений уравнений Эйнштейна–Фридмана, отвечающих решениям уравнения Абеля (2.19) с κ ς = −1 .Рассмотрим теперь решения уравнений Фридмана для расширяющейся вселенной ( β = −1 ), соответствующие решениям уравнения Абеля (2.19) с κ ς = +1 .Учитывая, что для сшивки решений в точке η = ηc должно выполнятся условие (2.32), получим точно такие же значения пределов, как и при κ ς = −1 .Оценим теперь поведение малых скалярных возмущений поля и метрики вдали от точки η = ηc ( t = tc ) в приближении коротковолновых и длинноволновых возмущений.

Если в уравнении (2.27) полагаем k 2 ≫ θ′′ /θ (коротковолновые108флуктуации), то получаем [100][( ∫)( ∫)]dtdtΦ w φ̇ C1 sin k+ C2 cos keikx ,aa[( ∫)( ∫)]dtdtM2P kδφ wC1 sin k− C2 cos keikx ,4π aaaа если k 2 ≪ θ′′ /θ (длинноволновые флуктуации), то()∫HΦ w= A 1 −adt ,a)( ∫1adt ,δφ w Aφ̇0a(2.35)где C1 , C2 и A — произвольные постоянные интегрирования.При t < tc абсолютное значение φ̇ убывает со временем, а масштабныйфактор растет, следовательно, амплитуды коротковолновых флуктуаций однозначно убывают. Для длинноволновых флуктуаций можно переписать выражения (2.35)в терминах функции f :√1−fΦwA4√MP 3 √δφ w= −κ1−f,8π6−и при f0 < f < 1 эти величины изменяются незначительно.Для t > tc абсолютное значение φ̇ вначале возрастает, а затем убывает донуля при t → +∞ , достигая максимального значения√Vc| φ̇max | ≈ 0,38 1/8 ,Cпри этом масштабный фактор постоянно растет, значит, амплитуды коротковолновых возмущений со временем меняются слабо и при бесконечном времени стремятся к нулю.В терминах f длинноволновые возмущения имеют вид√2− 1−fΦwA,4√MP 3 √δφ w= −κ1−f8π109и при 0 < f < f0 претерпевают изменения порядка единицы.Таким образом, расходимость производной давления поля по его плотностипри t = tc не приводит к неустойчивости решений Эйнштейна–Фридмана относительно малых возмущений метрики и скалярного поля.2.3.

Итоги главыВ данной главе предлагается еще один способ сведения уравнений Эйнштейна–Фридмана и уравнения движения для скалярного поля к уравнению Абеля первого рода, сходный с предложенным в работе [70]. Этот способ основан преждевсего на представлении скорости изменения скалярного поля φ̇ как функции самого поля φ̇ = U (φ) . В результате мы получаем в точности то же самое уравнениеАбеля, которое рассматривается в главе 1.

При этом сохраняется также и формавсех связей между величинами, описывающими динамику вселенной, решениемуравнения y(x) и независимой переменной x .Далее уравнение Абеля применяется для исследования эволюции вселенной,заполненной единственным действительным скалярным полем с экспоненциальным потенциалом√[]π4V (φ) = Vc exp κφ ,MP 3выбранным так, чтобы можно было получить аналитическое выражение для общего решения уравнения, причем для Vc > 0 можно выбирать начальные условиядля уравнения Абеля в диапазоне y0 ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞) , а для Vc < 0 вдиапазона y0 ∈ (−1; 1) , Vc = 0 соответствует y0 = ±1 .Экспоненциальный потенциал порождает три класса таких решений в зависимости от выбора знака постоянной интегрирования C .

Параметр κ = ±1 , определяющий знак в показателе экспоненты, и знак начальной скорости измененияполя φ̇0 оказывают влияние на поведение функции φ(t) и масштабного фактора(кроме как при C < 0 , y0 ∈ (−1; 1) ). Абсолютное значение начальной скоростиизменения поля |φ̇0 | при этом может быть однозначно получено из начальногозначения y(x0 ) = y0 для при y0 ̸= ±1 .Приведем здесь кратко описание эволюции вселенной для всех возможныхвариантов выбора C , y0 и κ φ̇0 :– C = 0 , y0 = ±1 , κ φ̇0 > 0 ; решения соответствуют частному случаю нуле-110вого потенциала Vc = 0 , и, соответственно, произвольному выбору |φ̇0 |; ониописывают замедленно расширяющуюся вселенную с сингулярностью типа«Большой Взрыв» в прошлом и без сингулярностей в будущем.

Скалярное поле замедленно изменяется в интервале φ ∈ (−∞; +∞) , возрастая при φ̇0 > 0и убывая при φ̇ < 0 ; случай κ φ̇0 < 0 описывает эволюцию этой же вселенной, обращенную во времени;– C = 0 , y0 = ±3 , κ φ̇0 < 0 ; решения описывают ускоренно расширяющуюсявселенную с сингулярностью типа «Большой Взрыв» в прошлом и без сингулярностей в будущем; скалярное поле замедленно изменяется в интервалеφ ∈ (−∞; +∞) , возрастая при φ̇0 > 0 и убывая при φ̇0 < 0 ; случай κ φ̇0 > 0описывает эволюцию этой же вселенной, обращенную во времени;– C < 0 , y0 ∈ (−1; 1) ; решения описывают вселенную, вначале расширяющуюся замедленно, а затем сжимающуюся ускоренно, с сингулярностью типа «Большой Взрыв» в прошлом и «Большой Хруст» в будущем; скалярное поле изменяется вначале замедленно, а затем ускоренно в интервале отφ ∈ (−∞; +∞) , возрастая при φ̇0 > 0 и убывая при φ̇0 < 0 ; в моментвремени, когда масштабный фактор достигает максимального значения, имеется также w -сингулярность, и расходится dp/dρ , однако решение остаетсяустойчивым относительно малых скалярных флуктуаций метрики и поля;– C < 0 , y0 ∈ (−3; −1) ( κ = −1 ) или y0 ∈ (1; 3) ( κ = +1 ), κ φ̇0 < 0 ;решения описывают вселенную, вначале расширяющуюся замедленно, а затемускоренно, с сингулярностью типа «Большой Взрыв» в прошлом; скалярноеполе изменяется замедленно в интервале φ ∈ (−∞; +∞) , возрастая при φ̇0 >0 и убывая при φ̇0 < 0 ; случай κ φ̇0 > 0 описывает эволюцию этой жевселенной, обращенную во времени;– C > 0 , y0 ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞) ( κ = +1 ) или y0 ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞)( κ = −1 ), κ φ̇0 < 0 ; решение описывает вселенную, вначале расширяющуюся замедленно, а затем ускоренно, имеющую сингулярность типа «БольшойВзрыв» в прошлом и не имеющую сингулярностей в будущем; скалярное полеизменяется в интервале φ ∈ (−∞; φc ) для κ = +1 и φ ∈ (φc ; +∞) дляκ = −1 ; при этом функция φ(t) имеет максимум или минимум φ(tc ) = φc ;для φ̇0 > 0 поле возрастает замедленно при t < tc , убывая после, вначале ускоренно, а затем замедленно; для φ̇0 < 0 поле убывает замедленнопри t < tc , возрастая после, вначале ускоренно, а затем замедленно; случай111κ φ̇0 > 0 описывает эволюцию этой же вселенной, обращенную во времени;при t = tc производная dp/dρ расходится, однако решение остается устойчивым относительно малых скалярных флуктуаций метрики и поля.Таким образом, с помощью уравнения Абеля найдено общее решение уравнений Эйнштейна–Фридмана в плоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем с положительным и отрицательным экспоненциальными потенциалами.

Характеристики

Список файлов диссертации