Диссертация (1155105), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Для удобства выберем C1 = 2 , C2 =0 . Тогда1(1)ψ1 =,2xU (1) = −1 +8.(2x)2Получим теперьиндекс и параметр Хаббла, учитывая,(√новый спектральный)e = 2x и φe=что φ8π/MP φ :(1)ns (φ)= −U(1)1 M2P,(φ) = 1 −π φ2√8πHc φ.H (1) (φ) = (1)=MPψ1 (φ)HcИз (3.8) имеем новый инфляционный потенциал и скорость изменения скалярногополя()M2P 2 12π 2M2P Hc22 2V =Hφ − 1 = 3Hc φ −,4π c M2P4πMPφ̇ = − √ Hc .2πОтсюда находим выражения для скалярного поля φ = φ(t) и масштабного фактораa = a(φ) :MPφ = φ0 − √ Hc (t − t0 ),2π])2π ( 2φ0 − φ2 ,a = a0 exp2MP[где t0 — некоторый момент времени, φ0 = φ(t0 ) , φ0 > 0 , a0 = a(t0 ) .Такое решение описывает вселенную, бесконечную во времени и не имеющую сингулярностей, поскольку очевидно, что все производные скалярного поля имасштабного фактора не имеют особенностей.

Скалярное поле монотонно убыва-131ет, причем бесконечные значения достигаются за бесконечное время. Масштабныйфактор монотонно растет при φ > 0 и монотонно убывает при φ < 0 . Сменарасширения сжатием достигается в момент времени√1 2πtc = t0 +φ0 .Hc M PУчитывая, что()ä4π= 2Hc2φ2 − 1 ,2aMPвселенная испытывает ускоренное расширение при1φ > √ MP ≈ 0,28 MP2 πи замедленное сжатие при1φ < − √ MP ≈ −0,28 MP .2 π√Соответственно, при φ ∈ (0; 1/(2 π) MP ) вселенная расширяется замедленно, а√при φ ∈ (−1/(2 π) MP ; 0) сжимается ускоренно.Проверим, приближается ли спектральный индекс к единице при одновременном выполнении условия медленного скатывания в виде 2V /φ̇2 ≥ 10 .

Этоусловие выполняется при√√1111φ≤−MP ≈ −0,54 MP и φ ≥MP ≈ 0,54 MP .12π12π(1)Спектральный индекс ns (φ) ≤ 1 при любом значении φ , поэтому оцениминтервал для φ , в котором спектральный индекс лежит в наблюдаемом диапазонезначений ns ∈ (0,939; 0,987) : φ ∈ (2,28 MP ; 4,95 MP ) . Этот диапазон входит вобласть значений φ , в которой действует приближение медленного скатывания.Можно также оценить и значение спектральногоиндексав момент выхода из ре(√)(1)жима медленного скатывания ns11/(12π) MP ≈ −0,09 , однако эта оценкавызывает сомнения, поскольку полученное выражение для спектрального индекса работает только при медленном скатывании.

Заметим также, что при φ = 0спектральный индекс расходится, однако это также не существенно по причине,изложенной выше.Итак, посредством ПД удалось получить инфляционный потенциал, которыйобеспечивает инфляцию с естественным выходом, причем в ходе инфляции спек-132тральный индекс может достигать близких к единице значений.3.2.4. Преобразование Дарбу и новый потенциал: возмущенная модельХаррисона–ЗельдовичаРассмотрим теперь случай постоянного спектрального индекса, который немного отличается от единицы в меньшую сторону:1 − ns ≡ µ2 = const.Тогда в уравнении (3.23) имеем U (x) ≡ U (0) (x) ≡ µ2 − 1 , ψ(x) ≡ ψ (0) , и самоуравнение принимает видd2 ψ (0)− µ2 ψ (0) = 0.2dxОно имеет решение(0)ψ1 = C1 e µx + C2 e µx .Это решение не удовлетворяет условиям (3.25), однако может быть использованокак опорная функция ПД.

Поскольку удобный выбор постоянных C1 = C2 =1/2 приводит к результатам, принципиально не отличающимся от полученных вподразделе 3.2.2, примем C1 = 1/2 , C2 = −1/2 . Тогда(0)ψ1 = sh(µx).После ПД получаем функцию1(1)ψ1 =(0)=ψ11,sh(µx)которая является решением уравнения−d2 ψ (1)+ U (1) ψ (1) = −ψ (1) ,2dxгдеU(1)d= U (0) − 2dx((0)1 dψ1(0)ψ1 dx)2µ2=µ −1+ 2.sh (µx)2133e=Найдем теперь(√ новый) спектральный индекс параметр Хаббла, учитывая, что φe=2x , φ8π/MP φ и ns = 1 − µ2 :(1)ns (φ) = −U (1) (φ) = ns −H (1) (φ) =Hc(1)ψ12(1 − ns )(√),2π(1 − ns )sh2φMP(√= Hc sh)2π(1 − ns )φ .MPИз (3.8) имеем новый инфляционный потенциал и скорость изменения скалярного(поляV =M2P32π(√Hc2 (5 + ns ) chMP √φ̇ = − √1 − ns Hc ch8π)8π(1 − ns )7 − nsφ −MP5 + ns(√),)2π(1 − ns )φ .MPОтсюда получаем явные выражения для скалярного поля φ = φ(t) и масштабногофактора a = a(φ) :{ [( √2π(1−n ) )]}sMP1−nsφ0φ= √+ln tg arctg e MPHc (t0 − t) ,42π(1 − ns )(√2)  1−n2π(1 − ns )φ0  chMP()a = a0 √2π(1 − ns )φchMPs,где t0 — некоторый момент времени, φ0 = φ(t0 ) , φ0 > 0 , a0 = a(t0 ) .Такое решение описывает конечную во времени вселенную, имеющую двасингулярности: «Большой Взрыв» в прошлом и «Большой Хруст» в будущем.

Первая сингулярность имеет место при[( √2π(1−n ) )]sπ4φ0MPt(1)−arctge=t−,0s(1 − ns )Hc 2а вторая приt(2)s( √2π(1−n ) )s4φ0arctg e MP.= t0 +(1 − ns )Hc134Скалярное поле в этих точках ведет себя следующим образом:lim φ = +∞,(1)t→ts +0lim φ = −∞.(2)t→ts −0(1)(2)В интервале t ∈ (ts ; ts ) оно монотонно убывает.(2)(1)Масштабный фактор обращается в ноль при t = ts и при t = ts . Приφ > 0 вселенная расширяется, при φ < 0 — сжимается.

Поскольку отношение(√[)]2ä Hc2π(1 − ns )=(1 − ns ) ch2φ −2a2MPположительно при√)(√MP21 + ns+,φ < −√ln1 − ns1 − ns2π(1 − ns )√(√)MP21 + nsφ> √ln+,1 − ns1 − ns2π(1 − ns )при φ > 0 вселенная расширяется сначала ускоренно, затем замедленно, а приφ < 0 сжимается, вначале ускоренно, а потом замедленно.Проверим, приближается ли спектральный индекс к единице при одновременном выполнении условия медленного скатывания в виде 2V /φ̇2 ≥ 10 . Примемns = 0,939 . Тогда это условие выполняется на стадии расширения при√()2MP17 − 11ns17 − 11nsln − 1 ≈ 0,56 MP .φ≥√+11ns − 511ns − 58π(1 − ns )(1)Спектральный индекс ns (φ) не превышает, очевидно, 0,939 при любых φ , ичем больше величина скалярного поля, тем ближе спектральный индекс к этомузначению.

Таким образом, полученный потенциал при условии ns = 0,939 неможет давать спектральный индекс в рамках, отвечающих наблюдениям, однако(1)выбор ns > 0,939 может приводить к спектральному индексу в интервале ns ∈(0,939; 1) в условиях медленного скатывания.Заметим, что, вообще говоря, спектральный индекс расходится при φ = 0 ,однако поскольку выражение для спектрального индекса работает только при медленном скатывании, его нельзя использовать для оценок в окрестности φ = 0 , так135как эта точка не попадает в область выполнения условия медленного скатывания.Итак, посредством ПД был получен еще один инфляционный потенциал,обеспечивающий инфляцию с естественным выходом и генерирующий возмущения плотности энергии в ходе медленного скатывания, спектральный индекс которых, в принципе, может оказываться близким к наблюдаемым значениям.3.2.5.

Решение ЛидсиВ заключение найдем решение уравнения (3.2) вида (3.7), приведенное Лидсив работе [87], используя сведение уравнения (3.2) к ЛСУШ.Вновь применяя подстановкуH(φ) =Hc,ψ(φ)Hc = constи обозначая (8π/M2P )(1 − ns ) = λ2 ( ns < 1 ), получаем из уравнения (3.2) УШ снулевым потенциаломλ2d2 ψ− 2 = − φ.dφ4Его общее решение имеет видψ(φ) = C1 eλφ/2 + C2 e−λφ/2 .При C1 = C2 = 1/(2λ) функция ψ(φ) принимает форму()1λψ(φ) = chφ ,λ2что приводит выражению для параметра ХабблаH(φ) =Hλ(c ) ,λchφ2которое, будучи возведенным в квадрат, в точности совпадает с решением Лидси (3.7).1363.3. Итоги главыТретья глава посвящена исследованию связи уравнения для спектральногоиндекса спектра возмущений плотности энергии в приближении медленного скатывания с уравнениями Кортевга–де Фриза и уравнение Шредингера.В первом разделе рассмотрена часть работы Лидси [87], в которой исследуется связь между уравнение КдФ и уравнением для спектрального индекса.

Такжеэта связь расширена на всю иерархию уравнений КдФ, и показан способ построения решений из этой иерархии с помощью преобразования Дарбу.Во втором разделе посредством преобразования Дарбу получены нескольконовых инфляционных потенциалов, в том числе, обеспечивающих естественныйвыход их инфляции. Помимо этого, найдены соответствующие этим потенциаламвыражения для спектральных индексов спектра плотности энергии в приближениимедленного скатывания, которые, в принципе, могут приближаться к наблюдаемымзначениям в ходе медленного скатывания.В целом, приведенный способ построения инфляционных потенциалов оказывается достаточно перспективным и, при должном выборе исходного спектрального индекса, может давать инфляцию с естественным выходом и спектральныминдексом, попадающим в диапазон, заданный наблюдениями.137ЗАКЛЮЧЕНИЕОсновные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем:– уравнения Эйнштейна–Фридмана для пространственно-плоской вселенной Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера, заполненной единственным действительным скалярным полем φ , могут быть путем несложных математических преобразований сведены к уравнению Абеля первого рода; анализ решений этогоуравнения, аналитических или численных, позволяет выявить тонкую структуру инфляции, вызываемой скалярным полем, оценить роль медленного скатывания в ней, а также определить начальные условия, необходимые и достаточные для ее начала;– исследование инфляции, генерируемой каждым скалярным полем с одним трехполиномиальных потенциалов m2 φ2 /2 , λφ4 /4 , m2 φ2 /2 + λφ4 /4 , показывает, что при «сильной» инфляции условие медленного скатывания возникает вдинамике скалярного поля естественным образом; препятствовать его возникновению может крайняя малость начального соотношения между потенциальным и кинетическим членами плотности энергии поля 2 |V (φ0 )| /φ̇20 ; в частности, для потенциала m2 φ2 /2+λφ/4 и начального значения поля φ0 = 8,05 MPмедленное скатывание не реализуется при 2 |V (φ0 )| /φ̇20 .

Характеристики

Список файлов диссертации