Диссертация (1155105)
Текст из файла
Федеральное государственное автономное образовательное учреждениевысшего образования«Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта»На правах рукописиЯпарова Анна ВалентиновнаИсследование инфляционных моделей посредствомуравнения Абеля первого рода01.04.02 — Теоретическая физикаДИССЕРТАЦИЯна соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительд. ф.-м. н., профессорЮров Артем ВалериановичКалининград – 20162ОГЛАВЛЕНИЕОглавление . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51Применение уравнения Абеля для анализа космологической инфляции 151.1 Метод суперпотенциала и уравнение Абеля первого рода . . . . . . 151.1.11.1.21.1.31.1.41.1.51.2Решение уравнений движения поля для известного суперпотенциала . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Сведение уравнений движения поля к уравнению Абеля первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Анализ уравнения Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Примеры решений уравнения Абеля . .
. . . . . . . . . . . .Анализ инфляционной динамики с использованием решенияуравнения Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Практическое применение численных решений уравнения Абеля дляанализа инфляции . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Уравнения Абеля для полиномиальных потенциалов . . . . .1.2.2 Эволюция вселенной, заполненной скалярным полем с потенциалами m2 φ2 /2 , λφ4 /4 и m2 φ2 /2 + λφ4 /4 . . . . . . .1.2.31.2.41.2.5Подготовка к численному анализу «сильной» инфляции длятрех полиномиальных потенциалов . . . . . . . . .
. . . . .Начальные условия, достаточные для существования «сильной» инфляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Влияние начального значения скалярного поля и начальногосоотношения между потенциальным и кинетическим членами его энергии на число е-расширений и время инфляции . .182128333435414547491.2.61.322.1Начальные условия для скалярного поля и условие медленного скатывания . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .1.2.7 Влияние медленного скатывания на время инфляции и числое-расширений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.8 Сравнение моделей m2 φ2 /2 , λφ4 /4 и m2 φ2 /2 + λφ4 /4 . .Итоги главы . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16Метод U (φ) , суперпотенциал и уравнение Абеля первого рода дляскалярного поля с экспоненциальным потенциалом . . . . . . . . . .Метод U (φ) и уравнение Абеля первого рода . . . . . . . . . . . . .52555561636332.1.1Метод U (φ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .2.1.22.2Сведение уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеля первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Анализ вселенных, заполненных скалярным полем с экспоненциальным потенциалом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Уравнение Абеля для скалярного поля с экспоненциальнымпотенциалом .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .632.2.22.2.32.2.42.2.52.333.1656969Случай C = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Случай C < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Случай C > 0 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Сшивка решений уравнений Эйнштейна–Фридмана в случаеэкспоненциального потенциала скалярного поля и положительной постоянной интегрирования в решениях уравненияАбеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Итоги главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .Уравнение Кортевега–де Фриза, уравнение Шрёдингера и спектральный индекс в приближении медленного скатывания . . . . . . . . .Иерархия уравнений Кортевега–де Фриза и уравнение для спектрального индекса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 Истоки идеи . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1091121121123.1.23.1.33.2Иерархия уравнений Кортевега–де Фриза . . . . . . . . . . . 115Преобразование Дарбу для решений иерархии уравнений Кортевега–де Фриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 116Применение преобразования Дарбу для построения инфляционныхпотенциалов и спектральных индексов . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.2.1 Сведение уравнения для спектрального индекса к уравнению Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1213.2.23.2.33.2.43.3Преобразование Дарбу и новый потенциал: нулевой спектральный индекс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Преобразование Дарбу и новый потенциал: модель Харрисона–Зельдовича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Преобразование Дарбу и новый потенциал: возмущенная модель Харрисона–Зельдовича . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1323.2.5 Решение Лидси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Итоги главы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 137Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525ВВЕДЕНИЕАктуальность темы. Первые модели, описывающие экспоненциально быстрое расширение вселенной, заполненной сверхплотной материей, были предложены еще в шестидесятых годах прошлого столетия [18, 19, 67], однако и сейчасранняя космологическая инфляция является активно развиваемой идей в современной космологии [77, 78, 72, 103, 52].
Изобилие исследований по данной теме [6, 93, 117, 68, 88, 94, 32, 8, 21, 118, 73, 100] привело в конечном итоге ксозданию сценария хаотической инфляции [23, 91, 89], который на сегодняшнийдень разработан наиболее глубоко и полно. Именно он позволил разрешить многиезатруднения, возникающие в теории горячей вселенной [65], такие как проблемысингулярности, плоскостности, горизонта и другие [25].Одна из простейших моделей хаотической инфляции — это инфляция во вселенной с метрикой Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера (ФЛРУ) [16, 17, 108,122, 83][]dr22222222ds = dt − a (t)+ r (dθ + sin θ dϕ ) ,1 − kr2где t — временная координата, r , θ и ϕ — пространственные координаты, a(t)— масштабный фактор, k = 0, +1, −1 для плоского, замкнутого или открытогопространства соответственно.
Вселенная полагается заполненной единственнымдействительным скалярным полем φ , минимально связанным с гравитацией, которое, в принципе, не должно быть однородным на больших масштабах. Достаточнолишь, чтобы оно было однородным в некоторой малой области порядка планковской длины lP ∼ 10−33 см . Тогда второе из уравнений Эйнштейна–Фридмана8πkȧ2ρ−=,a23M2Pa2(1)ρ̇ + 3H(ρ + p) = 0в этой области может быть записано в видеφ̈ + 3H φ̇ + V ′ (φ) = 0,где точка обозначает производную d/dt , штрих — производную d/dφ , H = ȧ/a— параметр Хаббла, ρ = 1/2φ̇2 + V (φ) — плотность энергии поля, p = 1/2φ̇2 −V (φ) — давление поля, а V (φ) — его потенциал. Здесь и далее везде полага-6ем c = ~ = 1 .
Таким образом, мы получаем систему из двух дифференциальныхуравнений с двумя неизвестными функциями a = a(t) и φ = φ(t) .Сложность решения такой системы, очевидно, зависит от выбора потенциалаV (φ) , который, как правило, берется из какой-либо теории элементарных частиц.Для большей части даже самых простых полиномиальных потенциалов найти аналитические решения невозможно. Помимо этого, часть из потенциалов, для которых аналитические решения существуют, являются нереалистичными. Ситуацияусложняется еще и нелинейностью уравнений и наличием в них вторых производных от неизвестных функций. Таким образом, анализ поведения инфляционнойвселенной оказывается нетривиальной задачей, вследствие чего становится особенно важным развитие методов анализа и численной оценки ее поведения.Существует несколько распространенных подходов к исследованию системы.Первый их них заключается в поиске решения для поля с заданным потенциаломV (φ) .
Второй — в определении так называемого суперпотенциала как функции поля [113, 40, 99, 116, 34, 3, 53, 29, 120, 4, 41], зачастую приравниваемого к плотностиэнергии поля [64, 5, 14, 106, 60]. Еще один подход состоит в том, что скорость изменения поля φ̇ вводят как заданную функцию самого поля φ̇ ≡ U (φ) («методU (φ) ») [106, 48, 45, 49, 46]. Каждый подход позволяет отыскать (хотя бы численно) функции зависимости масштабного фактора и скалярного поля от времени.К счастью, существует весьма удобный инструмент для работы, значительно упрощающий изучение динамики вселенной по сравнению с непосредственным интегрированием исходных уравнений.
Это – уравнение Абеля первого рода.Несмотря на то что изредка оно используется для некоторых частных задач, например, в работах [100, 126], оказывается, что возможности его применения гораздо шире. Хотя оно также нелинейно и имеет аналитические решения для весьмаограниченного числа случаев [102, 20, 127, 44], анализ одного дифференциального уравнения первого порядка выполнить проще, чем анализ системы (1) из двухуравнений. Свести уравнения Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля можнокак с использованием суперпотенциала (см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
