Диссертация (1155105), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В этомслучае также()lim(2)x→xs +0φ̈ = −2V ′ x(2)>0sдля всех трех потенциалов, то есть φs = ν −1 xs является минимумом функцииφ(t) , и при дальнейшем увеличении t поле возрастает.Очевидно, что вне сингулярных точек решений уравнения Абеля y(x) попрежнему можно пользоваться связью между φ , φ̇ , a , t и x , y . Заметим, что,для того чтобы производная φ̇ стала положительной, можно изменить либо знакσ либо знак y , однако ранее мы отметили, что такие замены одинаковы образом(2)(2)44влияют на форму уравнения (1.15), поэтому далее будем пользоваться сменой знакаσ , полагая всегда y ≥ 1 .Несмотря на то что при φ̇ ̸= 0 можно описывать динамику вселенной с помощью решений уравнения Абеля, возникает проблема начальных условий для этогоуравнения.
Действительно, единственные условия, которые мы можем налагать наэто решение следующие: оно должно удовлетворять уравнениюy′ = −)1( 2y − 1 (−1 − χ′ y) ,2(1.52)иlim(2)y(x) = +∞.x→xs +0Разумеется, если бы уравнение (1.15) имело бы точное решение для рассматриваемых потенциалов, то никаких сложностей с заданием начальных условийy(x0 ) = y0 не возникло бы, однако в нашем случае можно задавать начальныеусловия приближенно следующим образом: запишем значение φ̇ в малой окрест(2)ности t = ts()()(2)φ̇(t) ≈ −2V x(2)t−t.ssЕсли окрестность достаточно мала, то можно считать, что()()(2)(2)φ̇ t > ts ≈ −φ̇ t < ts .При этомφ(t) ≈φ(2)s− 2V(x(2)s)(t−t(2)s)2,(2)где опять же можно выбрать t < ts . Подставляя эти значения в выражения дляx и y из (1.17), получаем приближенные начальные условия y(x0 ) = y0 .
Тогда(2)решение уравнения (1.52) будет расходится в окрестности точки xs .Оценим теперь поведение этого решения при x > 0 . Рассуждая так же как ив предыдущем подразделе, легко показать, что оно обязательно будет стремиться(3)к бесконечности при некотором конечном xs > 0 . Тогда уже()lim φ̈ = −2V x(3)< 0,s(3)x→xs −0и φs = ν −1 xs является максимумом функции φ(t) .
Меняя опять знак σ и задавая вновь приближенные начальные условия, опять получим решение уравненияАбеля с двумя особенностями при x > 0 и x < 0 . Таким образом, изначаль(3)(3)45но убывающая функция φ(t) , достигнув единожды минимума, входит в стадиюосцилляций около положения равновесия, что полностью соответствует анализууравнений (1.2), (1.3) в работах [89, 76, 25].При осцилляциях скалярного поля вселенная продолжает расширяться, ускоряясь, когда поле приближается к своему экстремуму, и замедляясь, когда полестремиться к нулю.
При этом, хотя эффективный параметр уравнения состоянияwef f = −1 в каждой точке экстремума поля, dp/dρ расходится в этих точках.Однако, как показано в [56], эти величины нельзя интерпретировать как скоростьраспространения сигнала в скалярном поле, следовательно, равенство единице (чтоозначает равенство скорости света) или расходимость не приводят к нарушениюпричинности.1.2.3. Подготовка к численному анализу «сильной» инфляции для трехполиномиальных потенциаловОбратимся к численному исследованию «сильной инфляции» для потенциалов (1.39), (1.40), (1.41). Положим, что начальное значение поля φ0 > 0 , начальнаяскорость изменения поля φ̇0 < 0 , время t > 0 и отсчитывается от t0 = 0 , и будем рассматривать только положительные решения уравнений (1.42), (1.43), (1.44).Тогда в этих уравнениях необходимо считать σ = 1 .Поскольку далее мы будем иметь дело исключительно с численными решениями, то ограничимся случаем решений, конечных при x > 0 .
Таким решениямсоответствует вполне определенный класс начальных условий. К сожалению, точно определить зависимость y0 (x0 ) , начиная с которых y(x) будет расходиться вобласти x > 0 , не представляется возможным. В подразделе 1.2.1 для каждогопотенциала приведены ограничения на начальные условия, однозначно обеспечивающие решение с особенностью, однако более точную оценку можно получить,решая уравнения численно.
С этой целью использовалась стандартная процедура«dsolve» системы компьютерной алгебры Maple 15. В качестве метода решениябыл выбран метод рядов Тейлора («taylorseries») [38]. Кривые зависимости максимально возможного y0 , при котором решение еще конечно, от x0 приведены нарисунке 1.6.Как уже упоминалось в подразделе 1.1.5, когда вселенная расширяется уско√ренно, решение уравнения Абеля (1.15) должно превышать 3 . Поскольку ска-46Рис. 1.6 – Максимальные начальные значения y0 для заданных x0 , при которомрешения уравнений Абеля для потенциалов m2 φ2 /2 (синяя кривая), λφ4 /2(зеленая кривая), m2 φ2 /2 + λφ4 /4 (красная кривая), еще конечнылярное поле φ убывает, то убывает и x , следовательно, решение y(x) должно√удовлетворять условию y > 3 где-либо на отрезке x ≤ x0 . Такое возможно непри всяких начальных условиях (x0 ; y0 ) .
Точно получить зависимость y0 (x0 ) , для√которых функция y(x) конечна и превышает 3 левее точки x = x0 , опять же,нельзя, однако можно получить ее график с помощью численных методов. Припостроении графиков был выбран шаг hx = 0,1 по x0 и hy = 0,001 по y0 . Этиграфики для всех трех потенциалов приведены на рисунке 1.7.Легко заметить, что минимальное y0 , необходимое для выполнения условия√√y > 3 при x ≤ x0 , быстро убывает.
Однако y > 3 не обязательно означает,что имеет место «сильная» инфляция. Поэтому необходимо определить, какие начальные условия (x0 ; y0 ) являются достаточными для ее возникновения. Заметим,что при x < 2,7 для потенциала m2 φ2 /2 + λφ4 /4 ( x < 2,6 для m2 φ2 /2 и x < 5,9для λφ4 /4 ) не существует конечных решений соответствующих уравнений Абе√ля, которые превышали бы 3 , следовательно, эти области нужно исключить припоиске требуемых начальных условий.47Рис. 1.7 – Минимальные начальные значения y0 для заданных x0 , при которомрешения уравнений Абеля для потенциалов m2 φ2 /2 (синяя кривая), λφ4 /2√(зеленая кривая), m2 φ2 /2 + λφ4 /4 (красная кривая), конечны и превышают 3при x ≤ x01.2.4.
Начальные условия, достаточные для существования «сильной»инфляцииВначале напомним, что подразумевается под «сильной» инфляцией. Будемопределять ее как ускоренное расширение вселенной, при котором за время−35tinf = tf − ti . 1,9 · 108 M−1сP ∼ 10число е-расширений Einf окажется не менее 100 :( )afEinf = ln≥ 100,ai(1.53)(1.54)где ai = a(ti ) — значение масштабного фактора в момент времени ti ; af = a(tf )— значение масштабного фактора в момент времени tf ; ti = t0 = 0 , если y0 ≥√√√3 и ti = t(xi ) > t0 , если y(xi ) = 3 , xi < x0 ; tf = t(xf ) , y(xf ) = 3 ,xf < xi . Для нахождения числа е-расширений и времени инфляции воспользуемсяформулами (1.18) и (1.19), выполняя интегрирование численно.При поиске начальных значений (x0 ; y0 ) , достаточных для существования48«сильной» инфляции, был выбран шаг hx = 0,1 по x0 и hy = 0,001 по y0 .Результаты расчетов показывают, что «сильная» инфляция не возникает естественным образом в ходе эфолюции поля с потенциалом (1.41) до значения x0 = 65,2и соответствующего ему y0 = 16,573 , что отвечает начальным условиям для поляφ0 = 5,3 MP и скорости его изменения φ̇0 = −1,2 · 10−7 M2P .
В случае потенциала (1.39) эти величины имееют значения φ0 = 4,0 MP и φ̇0 = −1,8 · 10−8 M2P , апри потенциале (1.40) — φ0 = 5,6 MP и φ̇0 = −1,3 · 10−7 M2P .Исследование начальных условий выявляет следующий факт: с увеличениемx0 достаточное для существования инфляции y0 быстро убывает, что отражено нарисунке 1.8.а) m2 φ2 /2б) λφ4 /4в) m2 φ2 /2 + λφ4 /4Рис. 1.8 – Минимальные начальные значения y0 для заданных x0 , достаточныедля возникновения «сильной» инфляции491.2.5.
Влияние начального значения скалярного поля и начальногосоотношения между потенциальным и кинетическим членами егоэнергии на число е-расширений и время инфляцииРассмотрим теперь связь числа е-расширений и времени инфляции с начальными условиями (x0 ; y0 ) , задаваемыми для решения уравнения Абеля (1.15).На рисунках (1.9), (1.10) и (1.11) изображены зависимости числа е-расширенийEinf и времени инфляции tinf от y0 при различных x0 для полей с потенциалами (1.39), (1.40) и (1.41) соответственно.Einfx0 = 120tinf ⋅10−8, MP−1x0 = 120x0 = 100x0 = 100x0 = 90x0 = 90x0 = 80x0 = 80y0y0а) число е-расширенийб) время инфляцииРис.
1.9 – Зависимость а) числа е-расширений Einf и б) времени инфляции tinfот y0 при различных значениях x0 для поля с потенциалом m2 φ2 /2Согласно графикам, при y0 & 1 зависимость и Einf , и tinf от y0 выраженаслабо, в то время как зависимость от x0 проявляется значительно сильнее.В таблице 1.2 приведены отношения числа е-расширений и времени инфляции при увеличении x0 в два или в три раза при неизменных y0 , а в таблице 1.3 ихже отношения при увеличении y0 в два и в три раза при неизменных x0 (модельm2 φ2 /2+λφ4 /4 ). Таблица 1.2 показывает, что при увеличении x0 в 2 и 3 раза прификсированном y0 число е-расширений возрастает быстрее, чем время инфляции.По данным в таблице 1.3 можно заметить, что с ростом y0 при фиксированном x050x0 = 120Einfx0 = 120tinf ⋅10−8, MP−1x0 = 100x0 = 100x0 = 90x0 = 90x0 = 80x0 = 80y0а) число е-расширенийy0б) время инфляцииРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
