Диссертация (1155105), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

МЕТОД U (φ) , СУПЕРПОТЕНЦИАЛ И УРАВНЕНИЕ АБЕЛЯПЕРВОГО РОДА ДЛЯ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ СЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМГлава посвящена применению еще одного метода сведения уравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля первого рода.В первой части главы приводится сам метод, в котором суперпотенциал искорость изменения скалярного поля задаются как функции поля. Во второй частимы составляем уравнение Абеля для поля с экспоненциальным потенциалом, послечего анализируем вселенные, описываемые его решениями.2.1.

Метод U (φ) и уравнение Абеля первого родаВ данном разделе рассматривается еще один подход, посредством которогоуравнения Эйнштейна–Фридмана в плоской вселенной ФЛРУ, заполненной действительным скалярным полем, могут быть сведены к уравнению Абеля первогорода. Этот подход использует метод U (φ) ,суть которого заключается в заданиискорости изменения скалярного поля как функции, зависящей от величины самогополя [106, 48, 45, 49, 46]φ̇ = U (φ).В сочетании с ним также используется метод суперпотенциала, подробно описанный в предыдущей главе.2.1.1. Метод U (φ)Опишем здесь вкратце метод U (φ) . Для начала напомним вид уравненийЭйнштейна–Фридмана в рассматриваемом случае пространственно-плоской вселенной8πH2 =ρ,(2.1)3M2Pρ̇ + 3H(ρ + p) = 0,(2.2)где ρ = φ̇2 /2 + V (φ) и p = φ̇2 /2 − V (φ) соответственно представляют плотностьэнергии и давление скалярного поля φ . Будем полагать теперь, что скорость из-64менения скалярного поля φ̇ может быть представлена в виде некоторой функциисамого поляφ̇ = U (φ).(2.3)Тогда суперпотенциал, введенный выражением (1.1), примет видW (ϕ) = ρ =1 2U (φ) + V (ϕ).2(2.4)Подставляя (2.4) в уравнения (2.1), (2.2) и полагая U (φ) ̸= 0 , имеем дифференциальное уравнение для суперпотенциала√24π √W ′ = −κWU(2.5)MPи алгебраическое выражение для потенциала поля1V = W − U 2,2(2.6)где κ = ±1 и возникает вследствие неопределенности знака при извлечении корняиз обеих частей (2.1), а штрих означает d/dφ .Задавая функцию U (φ) и интегрируя уравнение (2.3), можно получить зависимость φ(t) в явном или неявном виде:∫dφt − t0 =,U (φ)где t0 — постоянная интегрирования.

Затем из (2.5) можно выразить суперпотенциал√ (∫)√6πU (φ)dφ + C ,κ W =−MP(∫)26πW (φ; C) = 2U (φ)dφ + C ,MPгде C —постоянная интегрирования. Отсюда(∫)4πU (φ)dφ + C ,H(t; t0 , C) = − 2MPφ = φ(t; t0 ).Уравнение (2.6) тогда задает потенциал поля, а масштабный фактор a(t; t0 , C)можно определить из (2.1) и (2.4). Приведем пример использования метода U (φ)для конкретного U (φ) .Пример 2 Выберем U (φ) = −Uc e−φ/φc , где Uc > 0 и φc > 0 — постоянные65соответствующей размерности. Скалярное поле, параметр Хаббла, масштабныйфактор и потенциал поля в этом случае можно выразить явно:[]Ucφ0 /φcφ(t) = φc ln e− (t − t0 ) ,φc4πφc Uc2 (t0 − t)H(t) = 2,MP φc e φ0 /φc − Uc (t − t0 )] 4πφ22c{[[]}M4πφUPcca(t) = a0 e φ0 /φc − (t − t0 )exp−φ0 + Uc e−φ0 /φc (t − t0 ) ,2φcMPV (φ) =(6π/M2P)Uc2 φ2c(−φ0 /φce−φ/φc−e)2+ Uc2 e−2φ/φc ,где t0 обозначает некоторый момент времени, а φ0 = φ(t0 ) и a0 = a(t0 ) .2.1.2.

Сведение уравнений Эйнштейна-Фридмана к уравнению Абеляпервого родаПокажем теперь, что в том случае, когда скорость изменения скального полязадается как функция самого поля U (φ) , можно свести уравнения (2.1), (2.2) куравнению Абеля первого рода вида (1.15), и при этом сохраняется прежняя связьмежду решением уравнения Абеля y и независимой переменной x и скалярнымполем φ и скоростью его изменения φ̇ .Пусть U (φ) является производной некоторой функции g(φ)φ̇ ≡ U (φ) = g ′ (φ).∫Тогдаg(φ; C) =U (φ)dφ + C,где C — постоянная интегрирования, которую мы далее для краткости опускаем.Теперь можно выразить суперпотенциал W (φ) и потенциал поля V (φ) , а такжепараметр Хаббла H(φ) через g(φ) :W =6π 2g ,M2P(2.7)66V =6π 2 1 ′ 2g − (g )M2P2H=−(2.8)4πg.M2PВыполним преобразованияMPg = √ G(φ),6πMPφ=√Φ,12πблагодаря чему выражения (2.7), (2.8) принимают более простой видW (Φ) = G 2 (Φ),V (Φ) = G 2 (Φ) − (G ′ (Φ)) ,2где штрих означает d/dΦ .

Выполняя подстановкуα = ±1,V (Φ) = αv 2 (Φ),(2.9)мы получаем возможность представить функцию G и ее производную G ′ как G = v ch η,при α = +1 G ′ = v sh ηи G = v sh η, G ′ = v ch ηприα = −1,где η = η(Φ) — некоторая функция от переменной Φ . Вычисляя производнуюпо Φ от первого выражения, приравнивая ее ко второму и учитывая, что η ̸= 0непосредственно следует из условия U ̸= 0 , имеем следующее уравнение:v′cth η + η ′ = 1vv′th η + η ′ = 1vприα = +1,(2.10)приα = −1.67Обозначим v ′ /v = θ , cth η = y α . Тогдаη ′ = −y ′ sh2 ηпри α = +1,η ′ = y ′ ch2 ηпри α = −1,и1,при α = +1,y2 − 11ch2 η = − 2,при α = −1.y −1Подставляя эти выражения в соответсвующие уравнения из (2.10) и помня, чтоy 2 = cth2 η > 1 при α = +1 и y 2 = th2 η < 1 при α = −1 для действительныхконечных значений η , получимsh2 η =y ′ = −(y 2 − 1)(1 − θy).После замены переменной Φ = x/2 уравнение выше принимает вид1y ′ = − (y 2 − 1)(1 − θy),2(2.11)где штрих означает d/dx .

Оно полностью совпадает с (1.15), за исключением того факта, что на месте σ = ±1 в (2.11) здесь стоит единица. Однако замена вуравнении y → −y эквивалентна выбору σ = −1 . Здесь это отвечает изменению√знака η(x) . Что касается θ = 2 (dv/dx) /v , поскольку v = β αV , где β = ±1 ,то θ = (dV /dx) /V = χ ′ .Покажем, что приведенные преобразования сохраняют соотношения (1.17)между величинами x , y и φ , φ̇ .

Действительно,√4 3πφ = νφ,x = 2Φ =MP( )2dg2V +22Gg2V12πdφy 2 = cth2α η+1=⇒===()M2P (dg/dφ)2φ̇2dg 2(dG/dΦ)2dφ√2V (φ)=⇒ y = ±+ 1,φ̇268√y2V β,√2−1|y|y2√d Vy dg=φ̇ =2 2β=√dφ dxy2 − 12Vβ,y2 − 1приα > 0,(2.12)приВыражение для параметра Хаббла в этом случае принимает вид√√β8πV−|y|, при α > 0,3y2 − 1 MPH=√√8πVβy, при α < 0.− MP3y2 − 1α < 0.(2.13)Сравнение знаков φ̇ из (1.17) и (2.12), а также H из (1.5) и (2.13) при различныхзначениях κ , β , и y при σ = 1 показывает, что β = −κ .Приведем также формулы для масштабного фактора a(x) , плотности энергииполя ρ(x) и его давления p(x) , выраженных через x и y :)(∫1 xy(ξ)dξ ,(2.14)a = a0 exp −6 x0V y2ρ= 2,y −1(2.15)V (2 − y 2 ).(2.16)y2 − 1Таким образом, преобразования в данном подразделе сводят уравнения уравнения Эйнштейна–Фридмана для плоской вселенной ФЛРУ, заполненной единственным действительным скалярным полем, к точно такому же уравнению Абеляпервого рода, как то, что было получено из уравнений движения скалярного поляв подразделе 1.1.2.

При этом сохраняются все соотношения между независимойпеременной x и решением уравнения Абеля y(x) и скалярным полем φ и скоростью его изменения φ̇ .p=692.2. Анализ вселенных, заполненных скалярным полем сэкспоненциальным потенциаломВ данном разделе мы составляем уравнение Абеля для вселенной, заполненной единственным скалярным полем с экспоненциальным потенциалом [96, 69,35, 42, 105, 101, 59, 85, 51, 50, 110, 111, 121, 61, 119, 31, 104, 112, 58, 57, 39, 33].Форма уравнения позволяет записать его точное общее решение в элементарныхфункциях. С помощью этого решения далее мы составляем выражения для скалярного поля, масштабного фактора, параметра Хаббла, а также для их первых двухпроизводных по времени и анализируем поведение вселенных, получающихся приразличных классах начальных условий для уравнения Абеля.2.2.1.

Уравнение Абеля для скалярного поля с экспоненциальнымпотенциаломИсследуем решение уравнения Абеля (2.11) для случая скалярного поля сэкспоненциальным потенциалом видаV (φ) = Vc e κφ/φc ,(2.17)где κ = ±1 , а Vc и φc — постоянные соответствующей размерности, причем√φc > 0 . Для удобства положим φc = 3MP /(4 3π) = 3ν −1 . Тогда при заменепеременной φ = ν −1 x потенциал (2.17) принимает видV (x) = Vc e κx/3 ,и уравнение Абеля (2.11) имеет форму(1κ )y ′ = − (y 2 − 1) 1 − y .23(2.18)Его общее решение может быть найдено в элементарных функциях:y(x) = κ + √где ς = ±1 ,C=e−4κ x0 /32ς1 − Ce 4κx/3,(y0 − κ )2 − 4.(y0 − κ )2(2.19)70В зависимости от знака постоянной C все решения разделяются на три класса:1.

C = 0 ; условие выполняется приκ = +1, y0 = −1, y0 = +3,κ = −1, y0 = +1, y0 = −3;решения являются постоянными:κκκκ= +1,= +1,= −1,= −1,ςςςς= +1,= −1,= +1,= −1,yyyy= +3,= −1,= +1,= −3;2. C < 0 ; условие выполняется приκ = +1, y0 ∈ (−1; 1) ∪ (1; 3),κ = −1, y0 ∈ (−3; −1) ∪ (−1; 1);решения не имеют особенностей; функция y(x) монотонно возрастает илиубывает в зависимости от значений κ и ς :κ = +1, ς = +1, y = +1 + √2,1 + |C|e 4x/32κ = +1, ς = −1, y = +1 − √,1 + |C|e 4x/32,κ = −1, ς = +1, y = −1 + √1 + |C|e−4x/32κ = −1, ς = −1, y = −1 − √,1 + |C|e−4x/3y(x) ∈ (1; 3)для ∀x,y(x) ∈ (−1; 1)для ∀x,y(x) ∈ (−1; 1)для ∀x,y(x) ∈ (−3; −1) для ∀x;3.

C > 0 ; условие выполняется приκ = +1, y0 ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞),κ = −1, y0 ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞);решения имеют одну особенность в точке[]3κ(y0 − κ )2xs = x0 +ln;4(y0 − κ )2 − 4(2.20)функция y(x) монотонно возрастает или убывает в зависимости от значений71κ и ς:κ = +1, ς = +1, y = +1 + √2,1 − Ce 4x/32κ = +1, ς = −1, y = +1 − √,1 − Ce 4x/32κ = −1, ς = +1, y = −1 + √,1 − Ce−4x/32κ = −1, ς = −1, y = −1 − √,1 − Ce−4x/3y(x) ∈ (3; +∞)при x < xs ,y(x) ∈ (−∞; −1) при x < xs ,y(x) ∈ (1; +∞)при x > xs ,y(x) ∈ (−∞; −3) при x > xs .На рисунке 2.1 изображены все возможные классы интегральных кривых.Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации