Диссертация (1155105), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Оно возрастает отpc = −Vc= −ρcC 1/4до нуля. Слабое энергетическое условие ρ + p > 0 нарушается при φ = φc .Сильное энергетическое условие ρ + 3p > 0 нарушается на протяжении всеговремени t ∈ (tc ; +∞) .Случай κ φ̇0 > 0 полностью повторяет предыдущий, за исключением того, что теперь областью определения функции φ(t) является открытый луч t ∈(−∞; tc ) , и выражение для t = tc получается заменой знака после t0 в соответствующей формуле при κ φ̇0 < 0 ; скалярное поле вначале изменяется замедленно, а затем ускоренно, а масштабный фактор убывает замедленно. В целом,такие решения представляют эволюцию вселенной, соответствующую κ φ̇0 < 0 ,но обращенную во времени.97Таким образом, поведение масштабного фактора фактически не зависит отвыбора модели потенциала (знака κ ), однако этот выбор оказывает влияние нафункцию скалярного поля: ее значения не должны превышать φc при κ = +1 ,и наоборот, не могут быть меньше φc при κ = −1 .
Выбор знака для начальнойскорости изменения поля φ̇0 определяет, будут ли поле и масштабный факторрасти или убывать со временем.Рассмотрим второй возможный вариант выбора κ и ς : κ ς = −1 . Этот случай, в зависимости от знака y0 , определяет решение с областью допустимых значений y ∈ (−∞; −1) или y ∈ (1; +∞) . Обозначим√ )(16 πf ≡ C exp κφ ,MP 3и приведем выражения для времени как функции скалярного поля, скорости изменения скалярного поля, второй производной скалярного поля по времени, параметра Хаббла, масштабного фактора, первой и второй производных масштабногофактора по времени, плотности энергии и давления скалярного поля, а также слабого и сильного энергетического условий:[(()])3 9 113 9 11MP C 1/8 3/83/8√ √z 2 F1t = t0 − β, ; ; z − z0 2 F1, ; ; z0 ,8 8 88 8 825/4 3π Vc√√κ β Vc f 1/8 1 − f√φ̇ = − √,2 C 1/8 1 − √1 − fκφ̈ =MPH=−√βMP(a = a0ff0π Vc f3 C 1/4√1/4) ][(√(1 − 3f ) 1 − 1 − f 2f,)2(√1− 1−f)√2− 1−f2π Vc f√,√3 C 1/81− 1−f√)1/8 √1/8(√1 + 1 − f0√,1+ 1−f98βȧ = −MP√√√Vc a02π3 C 1/81+√1 − f0 2 −1/8f0√1−ff 1/4,√()√√4π Vc a0 1 + 1 − f0 1 + f − 2 1 − f√ä =,√1/83M2P C 1/41/8f0f1− 1−fVc fρ=4C 1/4p=−1/4Vc f4C 1/4(√2− 1−f√1− 1−f1/4()2,)√3+f −4 1−f√,1− 1−fVc f 1/4 (1 − f )√ρ+p=,2C 1/4 1 − 1 − fVc fρ + 3p = − 1/4C1/4()√1+f −2 1−f√.1− 1−f√Здесь a0 = a(t0 ) , f0 = f (φ0 ) , z = (1 − 1 − f )/2 и z0 = z(f0 ) .Поведение скалярного поля и масштабного фактора в конечном итоге зависитисключительно от знаков κ и φ̇0 .Остановимся подробно на случае κ φ̇0 >0.
Рассмотрим вначале функцию f =√f (φ) . Поскольку она входит в решение уравнения Абеля y(x) в виде 1/ 1 − f ,область значений этой функции определяется областью определения y(x) : f ∈(0; 1) при φ ∈ (−∞; φc ) для κ = +1 и при φ ∈ (φc ; +∞) для κ = −1 . Еепределы при φ → −κ · ∞ и φ → φc − κ · 0lim f = 0,φ→−κ ∞limφ→φc −κ ·0f = 1.На интервале f ∈ (0; 1) ни одна из приведенных выше функций, характеризую-99щих эволюцию вселенной, не имеет особых точек. При этомsgn(φ̇) = sgn(φ̇0 ),φ̇φ̈ < 0,следовательно, скалярное поле изменяется замедленно. Для масштабного фактораверноȧ > 0,ä < 0 при φ ∈ (−∞; φb ), (κ = +1) или φ ∈ (φb ; +∞), (κ = −1),ä > 0, при φ ∈ (φb ; φc ), (κ = +1) или φ ∈ (φc ; φb ), (κ = −1),гдеφb = κMP16√( √)32 3−3,lnπCследовательно, вселенная вначале расширяется с замедлением, а затем с ускорением.
Функция времени при φ → −κ · ∞ и φ → φc − κ · 0 ведет себя следующимобразом:lim t = ts ,φ→−κ ∞limφ→φc −κ ·0t = tc ,где2−5/4 MP C 1/8√ts = t0 − √3πVctc = t0 +1−√1 − f02)3/82F 1()√3 9 11 1 − 1 − f0,, ; ;8 8 82( )()MP C 1 3/83 9 11 1√√, ; ;−2F 128 8 8 23πVc()3/8 ()√√3 9 11 1 − 1 − f0 1 − 1 − f0, ; ;.−2F 128 8 82−5/42(1/8В таблице 2.12 приведены значения некоторых параметров, характеризующих эволюцию вселенной, при φ → −κ ∞ и φ → φc − κ · 0 . Скалярное поле возрастает(убывает), замедляясь, от значения −∞ ( +∞ ) до φc за конечное время.
Мас-100Таблица 2.12 – Поведение скорости изменения скалярного поля, параметраХаббла, масштабного фактора, его первой производной по времени, плотностиэнергии поля, давления поля, слабого и сильного энергетических условий приφ → −∞ и φ → φc − 0 для κ φ̇0 >0tφφ̇Haȧρpρ+pρ + 3pts− φ̇0 · ∞+φ̇0 · ∞+∞0+∞+∞+∞+∞+∞tcφc0Hcacȧcρc−ρc0−2ρcштабный фактор вначале возрастает замедленно от нуля до значения( √)1/8 v√u2 3−31+1 − f0ut√ab = a0√ ,f01+ 4−2 3а затем ускоренно до значенияac =a0√1/8f01+√1 − f0 ,причем, первая производная масштабного фактора по времени конечна при φ = φc√√√2π Vc a02ȧ(φc ) ≡ ȧc =1 + 1 − f0 .MP 3 C 1/8 f 1/80При этом плотность скалярного поля остается все время положительной и убываетот +∞ доVcρc = 1/4 .CДавление скалярного поля вначале положительно и убывает от +∞ до нуля при( √)√MP 38 2 − 11ln,φp=0 =16 πCа затем продолжает убывать, достигаяpc = −Vc= −ρcC 1/4при φ = φc .
Слабое энергетическое условие ρ + p > 0 нарушается при φ = φc .Сильное энергетическое условие ρ + 3p > 0 выполняется при φ ∈ (−∞; φb ) дляκ = +1 и при φ ∈ (φb ; +∞) для κ = −1 и нарушается при φ ∈ (φb ; φc ) дляκ = +1 и при φ ∈ (φc ; φb ) для κ = −1 .101Таким образом, поведение масштабного фактора фактически не зависит отвыбора модели потенциала (знака κ ), однако этот выбор оказывает влияние скалярное поле: его значения не должны превышать φc при κ = +1 , и наоборот, немогут быть меньше φc при κ = −1 . Кроме того, функция зависимости скалярногополя от времени выпукла вверх для κ = +1 и вниз для κ = −1 . Выбор знака дляначальной скорости изменения поля φ̇0 определяет, будут ли поле и масштабныйфактор расти или убывать со временем.Решения уравнений Эйнштейна–Фридмана, соответствующие решениям Абеля с положительной постоянной интегрирования для случаев κ ς = +1 и κ ς = −1при заданном значении κ составляют одно целое.
Как уже упоминалось ранее вэтом подразделе, момент времени t = tc является точкой экстремума для функциизависимости скалярного поля времени, причем после перехода через эту точку дляописания поведения вселенной необходимо использовать новое решение уравнения Абеля, которое можно выбрать единственным образом. Сшивке решений длявсех параметров, описывающих эволюцию вселенной, посвящен следующий подраздел.2.2.5. Сшивка решений уравнений Эйнштейна–Фридмана в случаеэкспоненциального потенциала скалярного поля и положительнойпостоянной интегрирования в решениях уравнения АбеляРассмотрим в подробностях сшивку решений уравнений Эйнштейна–Фридмана, записанных в терминах решения уравнения Абеля (2.18), в точке x = xs( φ = φc , t = tc ), в которой решение уравнения Абеля y(x; C) расходится, и закоторую оно не может быть продолжено.Покажем вначале, что функция y(x; C) для продолжения за t = tc можетбыть выбрана единственным образом.
Действительно, положение особой точкиx = xs определяется исключительно значением постоянной C , а каждая постоянная интегрирования задает единственную интегральную кривую. Таким образом,при заданном κ и C будет существовать только одно решение y(x; C) > 0 итолько одно решение y(x; C) < 0 , имеющих особенность при x = xs . Одно изних соответствует выбору ς = +1 , а другое ς = −1 .Теперь докажем, что как для экспоненциального, так и для любого потенциала, бесконечно-дифференцируемого в точке φ = φc , все производные скалярного102поля по времени будут конечны и непрерывны. Для этого воспользуемся представлением√φ̇ = β 2V sh η.Вторая производная имеет видφ̈ =dφ̇φ̇ = βνdφ(′V√sh η +2V√)2V ch η η ′ φ̇.Здесь и далее в этом подразделе штрих обозначает d/dx .
Учитывая, чтоφ̇lim √= lim β sh η = 0,φ→φcη→02VV ′ (φc )β′(V sh η − V ch η) = β √lim η φ̇ = lim √φ→φcη→02V2V (φc )′и V (φc ) ̸= 0 , так как иначе y(xs ) должна была бы равняться ±1 или 0 , а нестремится к ±∞ , получаемφ̈ = ν (V ch η sh η − V ′ )иlim φ̈ = −νV ′ (φc )φ→φc√√Поскольку при умножении 1/ 2V на φ̇ множитель 2V всегда будет сокращаться, очевидно, что производная любого порядка от скалярного поля по времени может быть записана в виде суммы двух функций:sh ηF1 (V, V ′ , V ′′ , . . . , V (n) ; sh η ch η)иη ′ φ̇F2 (V, V ′ , V ′′ , .
. . , V (m) ; sh η ch η),где n и m обозначают порядок производной, а функция V , все ее производные,sh η и ch η всегда будут находится в числителе. Если потенциал бесконечно дифференцируем, тоlim sh ηF1 (φ) = 0,φ→φcа в η ′ φ̇F2 (φ) не обращаются в ноль только те слагаемые, в которые не входитмножитель sh η и производные потенциала, равные нулю при φ = φc . Такимобразом, ни одна производная скалярного поля по времени не зависит от знака103η(x) , а следовательно, и от знака y(x) , и не будет иметь разрыв в точке φ = φc .Покажем теперь, что, по крайней мере для скалярного поля с экспоненциальным потенциалом, все производные масштабного фактора по времени конечны вточке φ = φc и не имеют в ней разрывов. Будем указывать в обозначении всех величин, относящихся к случаю κ ς = +1 , верхний индекс « + », а к случаю случаеκ ς = −1 верхний индекс « − ».
Рассмотрим выражения√√√√1/81/8κβV1−fκβV1−fffcc−√√φ̇+ = √ 1/8 √,φ̇=−,√√1/8C2C21+ 1−f1− 1−f2+ȧ+ = −β ȧ+0√1−ff 1/4где1ȧ+0 =MPȧ−0 =1MP2−ȧ− = −β ȧ−0,√√√1−ff 1/4,√( + )3/82π Vc a+0 f0√,3 C 1/8 1 + √1 − f +2π3√−Vc a0C 1/8√0√1 + 1 − f0−.( − )1/8f0Найдем первые производные по времени от ȧ+ и ȧ− :√√+++dfVdäȧ3π1+f+21−fdȧc√φ̇+ =φ̇+ = 0,ä+ =dφdf dφMP 2 C 1/8 f 1/8 1 + √1 − fdȧ− − dä− df −ȧ−−ä =φ̇ =φ̇ = 0dφdf dφMP√√3π Vc 1 + f − 2 1 − f√.2 C 1/8 f 1/8 1 − √1 − fТаким образом, поскольку выражение для n -й производной масштабного факторапо времени может быть записано в видеa(n)dn a da(n−1) df= n =φ̇ ,dtdf dφ√множитель 1/ 1 − f , непременно возникающий при взятии производной по f ,√будет всегда сокращаться с множителем 1 − f , содержащимся в φ̇ , а знаменатель dn a/dtn всегда будет конечным при f → 1 .
Заметим также, что ȧ+ и ȧ−√отличаются только знаком перед1 − f , что верно и для φ̇+ и φ̇− . С учетомтого что ненулевой вклад в пределе f → 1 − 0 будут давать только те слагаемые,√в который входит производная по f от 1 − f , умноженная на φ̇ , все такие сла-104гаемые будут иметь одинаковый знак и для dn a+ /dtn и для dn a− /dtn , а значит,производная от масштабного фактора по времени любого порядка не будет иметьразрывов в φ = φc при корректном выборе начальных условий t+ , t− , a+ и a− .Определимся с выбором начальных условий для функции зависимости t(φ) .Поскольку скалярное поле в точке t = tc имеет единственный экстремум, то естьне превышает значение φc или не становится меньше него в течение всего времени своей эволюции, вполне естественно и удобно выбрать в качестве начальныхусловий для скалярного поля одно и то же значение( +)( )− −φ+0 t0 = φ0 t0 = φ0 .Это сразу же будет означать, что f0+ = f0− = f0 , то есть для решений, соответствующих κ ς = +1 и κ ς = −1 , выбирается одно и то же значение x0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
