Диссертация (1155105), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Также выполнен полный анализ этого решения, включаяанализ на устойчивость к малым возмущениям метрики и самого поля в «подозрительных» точках, в которых расходится эффективный параметр уравнения состояния и/или производная давления скалярного поля по его плотности.112ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА–ДЕ ФРИЗА, УРАВНЕНИЕШРЁДИНГЕРА И СПЕКТРАЛЬНЫЙ ИНДЕКС ВПРИБЛИЖЕНИИ МЕДЛЕННОГО СКАТЫВАНИЯНастоящая глава посвящена исследованию связи уравнения для спектрального индекса спектра возмущений плотности энергии во вселенной, заполненнойдействительным скалярным полем, в приближении медленного скатывания с уравнением Кортевега–де Фриза (КдФ) и линейным стационарным уравнением Шредингера (ЛСУШ). Идея этой связи обобщается на всю иерархию уравнений КдФ.Также здесь предлагается простой способ, который позволяет строить классыинфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов, сводяуравнение для спектрального индекса к ЛСУШ и применяя преобразование Дарбу(ПД) к решениям уравнения Шредингера (УШ).Помимо этого, мы получаем решение (3.7) посредством ПД.3.1.
Иерархия уравнений Кортевега–де Фриза и уравнение дляспектрального индексаВ данном разделе рассматривается иерархия уравнений КдФ и связь междууравнением для спектрального индекса в приближении медленного скатывания иуравнением КдФ расширяется на всю иерархию. В первом подразделе описываются истоки идеи.
Второй подраздел посвящен описанию иерархии КдФ, а третий —применению преобразованию Дарбу к иерархии.3.1.1. Истоки идеиВ работе [87] Дж. Лидси указывает, что одномерное уравнение КдФ [81]ut + u3x +3uux = 0,u0(3.1)где u = u(x, t) , x и t — пространственная и временная координаты соответственно, u0 — произвольная постоянная, а нижние индексы x и t означают ∂/∂xи ∂/∂t , возникает во множестве физических задач (пример в космологии [109],обзор см. в [114]).113Мы особенно заинтересованы в рассмотрении класса космологических моделей инфляции, в которых роль инфлатона играет единственное действительноескалярное поле φ , минимально связанное с гравитацией.
Также важно, чтобы дляэтого поля существовала возможность реализации условия медленного скатывания. Такое поле генерирует масштабно-инвариантный спектральный индекс nsспектра возмущений плотности [84, 97]. Следуя Лидси, запишем уравнение дляпараметра Хаббла и спектрального индекса в низшем порядке приближения медленного скатыванияH ′′H ′28π4− 8 2 = − 2 (1 − ns ),(3.2)HHMPгде H = H(φ) и штрих обозначает d/dφ . Легко показать, что с помощью подстановкиH 2 (φ) = 4H02 F ′ (φ)(3.3)уравнение (3.2) может быть переписано в терминах оператора производной Шварца [75]( ′′ )2F ′′′Fλ2S [F (φ)] ≡ ′ −,(3.4)=−FF′2где λ2 ≡ (8π/M2P )(1 − ns ) .Отметим, что оператор производной Шварца инвариантен относительно полной группы дробно-линейного преобразования, так что, если для уравнения (3.4)возможно найти частное решение F , то можно записать и его общее решениеF (φ) =aF + b,cF + d(3.5)где a , b , c , d — произвольные постоянные.
Когда F удовлетворяет уравнениюF′=λ2− F 2,4(3.6)где λ — постоянная величина, то H 2 из выражения (3.3) в свою очередь являетсярешением уравнения( )′ ( )′′′( )′3−λ2 H 2 + H 2 + 2 H 2 H 2 = 0,H0которое в точности совпадает с уравнением КдФ (3.1) для u(x, t) = H 2 (φ) , еслиφ = x − λ2 t :3−λ2 u′ + u′′′ + uu′ = 0.u0114Также как и Лидси в [87], примем λ2 > 0 , поскольку такой выбор отвечаетданным наблюдений ns ∈ (0, 939 ; 0, 987) [115]. Уравнение (3.4) имеет частноерешение F (φ) = eλφ .
Его общее решение определяется формулой (3.5). Для тогочтобы (3.5) было также решением уравнения (3.6), постоянные a , b , c , d должныудовлетворять условиям1ad = −bc = ,212aλ==.cdaОтсюда получаем два решения для (3.2):H02 λ2()H (φ) =2 λchφ22иH 2 (φ) = −H02 λ2()λsh2φ2дляcd > 0дляcd < 0.(3.7)Здесь подразумевается c = |d| . Заметим, что (3.7) в точности совпадает с функцией, описывающей несингулярный солитон КдФ.
При этом скалярное поле φиграет роль волновой координаты в двумерном пространстве {x, t} , скорость солитона определяется отклонением спектрально индекса от его значения в спектреХаррисона–Зельдовича ns = 1 . Амплитуда солитона оказывается связана с плотностью энергии во вселенной.Зная теперь выражение для параметра Хаббла H(φ) , можно восстановитьпотенциал инфлатона, пользуясь уравнениями Эйнштейна–Фридмана в форме Гамильтона–Якоби8πM2P ′ 2V,H =H −12π3M2P2M2P ′φ̇ = −H .4π(3.8)Плотность энергии связана с параметром Хаббла какρ(φ) =3M2P 2H (φ).8πПриведенные выше соображения можно использовать для исследования простейшей модели циклической вселенной [87]. В самом деле, существует дуальность между быстрым ускоренным расширением вселенной и ее замедленнымсжатием, вызываемым скалярным полем с отрицательным потенциалом [79].
В115eэтом случае масштабный фактор ea(φ) и параметр Хаббла H(φ)дуальной сжимающейся вселенной связаны с масштабным фактором a(φ) и параметром ХабблаH(φ) расширяющейся вселенной какea(φ) = H(φ),eH(φ)= a(φ).Для циклической модели, дуальной решению (3.7), скорость солитона определяется спектральным индексом, однако его амплитуда будет пропорциональна масштабному фактору.3.1.2. Иерархия уравнений Кортевега–де ФризаРассмотрим иерархию уравнений КдФ [15, 24]vt −∂Ln+1 [v] = 0,∂x(3.9)где Ln+1 [v] — оператор Ленарда, который определяется как [55])(1 ∂3∂∂Ln+1 [v] = −− 2v− vx Ln [v] , L0 [v] = 2.∂x2 ∂x3∂xДля n = 0 имеем L1 [v] = −v , а для n = 1 — L2 [v] = −vxx + 3v 2 , что соответствует первому уравнению в иерархии КдФvt − 6vvx + v3x = 0.Подстановкаv=−u,2u0u0 = const(3.10)(3.11)приводит (3.10) к виду (3.1).Уравнения иерархии (3.9) можно представить в виде условия совместностипары Лакса [22, 24, 27] ψxx = (v − ϑ)ψ,(3.12) ψt = aψx − bψ,где v = v(x, t) , a = a(x, t) , b = b(x, t) , ϑ = const .
Действительно, учитывая, что116ψxxt = ψtxx , система (3.12) разрешима относительно ψ(x, t) , еслиb=1ax2и v удовлетворяет уравнению1vt + a3x − 2ax v + 2 ϑax − avx = 0.2(3.13)Пусть a(x, t) имеет формуaN =N∑ϑi si (x, t),sN = const.i=0Все уравнения (3.9) можно вывести из (3.13), используя подходящие N и si , гдеsi в общем случае i ̸= N — это нелинейная комбинация функции v и ее частныхпроизводных по пространственной координате x . Например, N = 1 , s0 = 2v ,s1 = 4 задают первое уравнение (3.10) в иерархии, а N = 2 , s0 = 3v 2 − vxx ,s1 = 4v , s2 = 8 определяют второе уравнение1vt − 15v 2 vx + 5vv3x + 10vx vxx − v5x = 0,2(3.14)которое после подстановки (3.11) принимает вид15 u25uux1ut −u−u−5u−u5x = 0.x3xxx4 u202 u0u02(3.15)3.1.3. Преобразование Дарбу для решений иерархии уравненийКортевега–де ФризаКак упоминалось в подразделе 3.1.2, уравнения из иерархии КдФ можно записать в виде условия совместности пары Лакса (3.12).
Первое уравнение в этойпаре имеет вид ЛСУШ по переменной x . Это означает, что к нему можно применить ПД [26]. Рассмотрим две системы уравнений ψxx = (v − ϑ1 ) ψ,(3.16)a(x;ϑ)x1 ψt = a(x; ϑ1 )ψx −ψ2117и ξxx = (v − ϑ2 ) ξ, ξt = a(x; ϑ2 )ξx − ax (x; ϑ2 ) ξ2Условие совместности у этих систем одно и то же: функция v(x, t) должна бытьрешением уравнения из иерархии КдФ [27], причем положение уравнения в иерархии зависит от a(x; ϑ) . ПД решения ψ(x, t) первого уравнения имеет вид ψ (1) (x, t) = ψx − ζψ,ξx, ζ = , ζ x = v − ζ 2 − ϑ2 .ξ v (1) = v − 2ζxФункция ψ (1) — решение системы) (1)( (1)(1)ψ=v−ϑ1 ψ ,(1)a (x; ϑ1 ) (1) ψ (1) = a(1) (x; ϑ1 )ψx(1) − xψ ,2где a(1) — нелинейная комбинация v (1) и ее производных по пространственнойпеременной x . Поскольку v (1) является решением всех уравнений из иерархииКдФ, с помощью ПД можно конструировать решения уравнений иерархии.Например, рассмотрим первое уравнение в иерархии ( N = 1 ), на котороедалее будем ссылаться как на КдФ-1.
Начиная с его тривиального решения v = 0 ,имеем a1 = 4ϑ = const , и система уравнений (3.16) для ψ1 принимает форму ψ1xx − k 2 ψ1 = 0,ϑ = −k 2 . ψ1t = −4k 2 ψ1x ,Частное решение этой системы( ())ψ1 = ch k x − 4k 2 t ,так что(1)v12k 2=− 2ch (k (x − 4k 2 t))118является решением уравнения (3.10), и(1)u1=(1)−2u0 v14u0 k 2= 2ch (k (x − 4k 2 t))является решение уравнения (3.1).(1)Для удобства будем использовать далее обозначение u1 ≡ u1 (φ) . Пустьu1 = u1 (φ) , φ = x − 4k 2 t . Тогдаu1x = u′1 ,u1t = −4k 2 u′1 ,где штрих обозначает производную d/dφ .
Отсюда u1 (φ) удовлетворяет уравнению3−4k 2 u′1 + u′′′u1 u′1 = 0.(3.17)1 +u0С учетом выражений(1)v1 = v − 2ζ1x = 2(ζ12 − k 2 ),ζ1 = k th(kφ),получаем, что функцияu1 = 4u0 (k 2 − y 2 ),y ′ = k2 − y2,является решением (3.17).Примем теперь N = 2 . Соответствующее уравнение будем обозначать КдФ2. Вновь возьмем тривиальное решение КдФ-2 v = 0 . Тогда a2 = 8ϑ2 = const , исистема уравнений для ψ2 (x, t) принимает вид ψ2xx − k 2 ψ2 = 0,ϑ = −k 2 . ψ2t = 8k 2 ψ2x ,Частное решение этой системы( ())ψ2 = ch k x + 8k 4 t ,так что(1)v2 (x, t) = −2k 2ch2 (k (x + 8k 4 t))119является решением уравнения (3.14), и(1)u2=(1)−2u0 v24k 2 u0= 2ch (k (x + 8k 4 t))является решением уравнения (3.15).(1)Используем далее обозначение u2 ≡ u2 .
Пусть u2 = u2 (φ) , φ = x + 8k 4 t .Тогдаu2x = u′2 ,u2t = 8k 4 u′2 .Таким образом, u2 (φ) удовлетворяет уравнению8k 4 u′2 −15 u22 ′ 5 u2 ′′′u′2 ′′ 1 ′′′′′u−u−5u − u = 0.2 u20 2 2 u0 2u0 2 2 2(3.18)Учитывая, что(1)v2 = v − 2ζ2x = 2(ζ22 − k 2 ),ζ2 = k th(kφ),получаем функциюu2 = 4u0 (k 2 − y 2 ),y ′ = k2 − y2,которая является решением уравнения (3.18).Легко заметить, что если функция y(φ) — решение уравнения y ′ = k 2 − y 2 ,то функция u(φ) = 4u0 (k 2 − y 2 ) , где φ = x + f (k)t — это решение уравнений (3.17), (3.18), а f (k) определяется положением соответствующего уравненияв иерархии КдФ.
Отсюда следует, что если u(φ) удовлетворяет уравнению (3.17),то она также является решением (3.18).Основной интерес в данном исследовании представляют солитонные решения, поэтому наложим на u(φ) следующие ограничения:|u| , |u′ | , |u′′ | → 0 при|φ| → ∞.(3.19)После первого интегрирования уравнения (3.17) получаем3 u2u =−+ 4uk 2 ,2 u0′′(3.20)так что если функция u(φ) — решение (3.20), то она также и решение (3.17), (3.18).120Умножая (3.20) на u′ (φ) и интегрируя уравнение, имеемu31 ′ 2(u ) +− 2k 2 u2 = E,22u0E = const.(3.21)Требование (3.19) подразумевает выбор постоянной интегрирования E = 0 . Вэтом случае (3.21) можно записать в видеu = 4u0 (k 2 − y 2 ),где y(φ) — решение уравненияy ′ = k2 − y2или y ′ = y 2 − k 2 .Однако, если функция y(φ) является решением этих уравнений, то она такжедолжна удовлетворять уравнению( ′′ )2y ′′′y−= −2k 2 ,′′yyкоторое прямо следует из (3.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
