Диссертация (1155105), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Поведение величин, описывающих эволюцию вселенной и скалярного поля, связано с выбором постоянныхVc и κ , задающих вид потенциала (2.17).При Vc = 0 решения уравнений Эйнштейна–Фридмана определяют, в зависимости от знака начальной скорости изменения скалярного поля, замедленно расширяющуюся или ускоренно сжимающуюся вселенную, имеющую сингулярностьтипа «Большой взрыв».При φ̇0 из выражения (2.21) решения уравнений Эйнштейна–Фридмана определяют, в зависимости от знака начальной скорости изменения скалярного поля,ускоренно расширяющуюся или замедленно сжимающуюся вселенную с сингулярностью типа «Большой взрыв».79а) масштабный факторб) скалярное полеРис.

2.3 – Графики зависимости а) масштабного фактора и б) скалярного поля от2времени для начальных условий t0 = 7 M−1P , φ0 = 1 MP , φ̇0 = ±1 MP , a0 = 12при κ φ̇0 > 0 (красные кривые) и t0 = 10 M−1P , φ0 = 1 MP , φ̇0 = ±1 MP , a0 = 1при κ φ̇0 < 0 (синие кривые); масштабный фактор выражен в условных единицах2.2.3.

Случай C < 0Рассмотрим поведение скалярного поля, масштабного фактора и некоторыхдругих величин, характеризующих эволюцию вселенной, в том случае, когда врешении y(x; C) уравнения Абеля (2.19) выбрана отрицательная постоянная интегрирования C < 0 . Этот случай реализуется для Vc < 0 , κ = ±1 , если y0 ∈(−1; 1) , Vc > 0 , κ = +1 , если y0 ∈ (1; 3) , и Vc > 0 , κ = −1 , если y0 ∈(−3; −1) .

Начальное значение для скалярного поля при этом задается формулой√√π√κ M16φ√1 + |C|e P 3 0Vc κ M2 π3 φ0√κβ √ e Pдля Vc > 0,√√π216φκ1 + 1 + |C|e MP 3 0√√πφ̇0 =√κ M16φ√1 + |C|e P 3 0|Vc | κ M2 π3 φ0√√β √ e Pдля Vc < 0,√π216κM3 φ0P1+|C|e−180где φ0 = φ(t0 ) , φ̇0 = (dφ/dt) | t=t0 , и t0 — некоторый момент времени. Таким образом, при заданном потенциале начальное значение скорости изменения поля φ̇0определяется начальным значением поля φ0 и начальным значением для решенияуравнения Абеля y(x0 ) = y0 .

Знак φ̇0 задается параметрами κ и β при Vc > 0и параметром β при Vc < 0 . Иными словами, для положительного потенциалазнак φ̇0 зависит от выбора знака в показателе экспоненты (выбора модели), а дляотрицательного — нет.Также отметим, что для C ̸= 0 нельзя получить явную зависимость скалярного поля от времени, однако возможно записать время как неэлементарнуюфункцию от скалярного поля, а именно, гипергеометрическую функцию2 F 1 (a, b; c; z) ,которая при |z| < 1 представляет собой сходящийся гипергеометрический ряд2 F 1 (a, b; c; z)=1++∞∑n=1n−1∏(a + i)(b + i)i=0n−1∏(c + j)zn.(n − 1)!j=0При z = 1 ряд сходится, если a + b − c < 0 , и расходится, если a + b − c > 0 .Рассмотрим первую возможность выбора κ и ς : κ ς = +1 . Она реализуетсятолько для положительного потенциала Vc > 0 .

Обозначим√ )(16 πφf ≡ |C| exp κMP 3и приведем выражения для времени как функции скалярного поля, скорости изменения скалярного поля, второй производной скалярного поля по времени, параметра Хаббла, масштабного фактора, первой и второй производных масштабногофактора по времени, плотности энергии и давления скалярного поля, а также слабого и сильного энергетического условий:t = t0 − βMP√2 5/4[())](3 9 7|C|1/8 3/43 9 73/4√z 2F 1, ; ; z − z0 2 F 1, ; ; z0 ,4 8 44 8 43π Vc81√√κβVc f 1/8 1 + f√φ̇ = √,2 |C|1/8 1 + √1 + fφ̈ =√κMPH=−βMP(a = a0f0fβȧ = −MP√π Vc f3 |C|1/4√[()]√(1 + 3f ) 1 + 1 + f + 2f,()2√1+ 1+f()√1/8f2+1+f2π Vc√,√3 |C|1/81+ 1+f√)3/8 √√1/4√1+ 1+f√,1 + 1 + f0√√3/82π Vca0 f02+ 1+f√,3 |C|1/8 1 + √1 + ff 1/40(ä =√)1−f +2 1+f4π Vc√√,3M2P |C|1/4 1 + √1 + f f 1/8 1 + √1 + f03/8a0 f0Vc fρ=4|C|1/41/4Vc fp=4|C|1/41/4ρ+p=()2√2+ 1+f√,1+ 1+f(√)f −3−4 1+f√,1+ 1+fVc f 1/4 (1 + f )√,2|C|1/4 1 + 1 + fVc fρ + 3p =|C|1/41/4()√f −1−2 1+f√.1+ 1+fЗдесь a0 = a(t0 ) , f0 = f (φ0 ) , z = 2/(1 +√1 + f ) и z0 = z(f0 ) .82Поведение скалярного поля и масштабного фактора в конечном итоге зависитисключительно от знаков κ и φ̇0 .Остановимся более подробно на случае κ φ̇0 < 0 .

Рассмотрим вначале функцию f при φ → −∞ и φ → +∞ :limf = 0,limf = +∞.φ→−κ ·∞φ→+κ ·∞На открытом луче f ∈ (0; +∞) ни одна из рассматриваемых функций, характеризующих эволюцию вселенной, не имеет особых точек. При этомφ̇ φ̈ < 0,то есть скалярное поле изменяется замедленно, возрастая при φ̇0 > 0 и убываяпри φ̇0 < 0 . Для масштабного фактора верноȧ > 0,ä > 0 при φ ∈ (−∞; φb ),ä < 0 при φ ∈ (φb ; +∞),гдеφb = κMP16√3lnπ(√ )3+2 3,|C|следовательно, вселенная расширяется с замедлением при t < tb и c ускорениемпри t > tb , tb = t(φb ) . Функция времени при φ → −∞ и φ → +∞ ведет себяследующим образом:limφ→−κ ·∞t = +∞,limφ→+κ ·∞t = ts ,где2−5/4 MP |C|1/8√ts = t0 − β √3πVc(2√1 + 1 + f0)3/42F 1(23 9 7√, ; ;4 8 4 1 + 1 + f0).В таблице 2.6 приведены значения некоторых параметров, характеризующихэволюцию вселенной, при φ → −∞ и φ → +∞ .

Скалярное поле за конечноевремя убывает, замедляясь, от +∞ до φ0 (возрастает от −∞ до φ0 ), а затем продолжает убывать (расти), достигая −∞ ( +∞ ) за бесконечное время. Масштабный83Таблица 2.6 – Поведение скорости изменения скалярного поля, параметра Хаббла,масштабного фактора, его первой производной по времени, плотности энергииполя, давления поля, слабого и сильного энергетических условий при φ → −∞ иφ → +∞ для κ φ̇0 < 0tφφ̇Haȧρpρ+pρ + 3pts− φ̇0 · ∞+φ̇0 · ∞+∞0+∞+∞+∞+∞+∞+∞+φ̇0 · ∞00+∞+∞0000фактор сначала возрастает замедленно от нуля до некоторого значенияv√√()3/8 uu1 + 4 + 2 3f0t√√ab = a03+2 31 + 1 + f0за конечное время, а затем продолжает расти ускоренно, достигая +∞ за бесконечное время.

При этом плотность скалярного поля остается все время положительной и убывает от +∞ до нуля, а давление скалярного поля, вначале положительное, меняет знак при(√√ )MP 311 + 8 2.φp=0 = κln16 π|C|Его область значений — открытый луч (pmin ; +∞) , где√31/4 4√ Vc .pmin = −1+ 4Слабое энергетическое условие ρ+p > 0 выполняется на протяжении всего времени эволюции вселенной, а сильное энергетическое условие ρ + 3p > 0 нарушаетсяпри φ < φb для κ = +1 и при φ > φb для κ = −1 .Случай κ φ̇0 > 0 полностью повторяет только что описанный, за исключением того, что теперь в выражении для ts знак « − », следующий за t0 , заменяется на« + », а значит, ts > t0 , то есть функции зависимости скалярного поля и масштабного фактора от времени имеют сингулярность в будущем.

Масштабный факторсначала убывает замедленно от +∞ до значения ab , а затем ускоренно до нуля.При этом скалярное поле меняется ускоренно. Таким образом, решения описываютэволюцию вселенной для κ φ̇0 < 0 , обращенную во времени.Отметим, что поведение масштабного фактора фактически не зависит от выбора модели потенциала (знака κ ), однако этот выбор оказывает влияние на функ-84цию скалярного поля φ(t) : она выпукла вниз при κ = +1 и вверх при κ = −1 .Кроме того, случаи, соответствующие одному и тому же знаку κ , аналогичны приобращении времени в одном из них.Графики зависимости от времени для скалярного поля и масштабного фактора приведены на рисунке 2.4.а) масштабный факторб) скалярное полеРис. 2.4 – Графики зависимости а) масштабного фактора и б) скалярного поля от2времени для начальных условий t0 = −1 M−1P , φ0 = 0 , φ̇0 ≈ ±0,82 MP , a0 = 12при κ φ̇0 > 0 (красные кривые) и t0 = 1 M−1P , φ0 = 0 , φ̇0 = ±0,82 MP , a0 = 1при κ φ̇0 < 0 (синие кривые); масштабный фактор выражен в условныхединицах; Vc = 1Рассмотрим вторую возможность выбора κ и ς : κ ς = −1 .

Она реализуетсятолько для отрицательного потенциала Vc < 0 . Обозначим√ )(16 πf ≡ |C| exp κφMP 3и приведем выражения для времени как функции скалярного поля, скорости изменения скалярного поля, второй производной скалярного поля по времени, параметра Хаббла, масштабного фактора, первой и второй производных масштабногофактора по времени, плотности энергии и давления скалярного поля, а также слабого и сильного энергетического условий:85[()()]MP |C|1/8 3/43 5 73 5 73/4√ √t = t0 − κβz 2F 1, ; ; z − z0 2 F 1, ; ; z0 ,4 8 44 8 42 5/4 3π |Vc |√√β|Vc | f 1/8 1 + f√φ̇ = √,2 |C|1/8 √1 + f − 1[(√)]√ √1/4f(1+3f)1+f−1−2fπ |Vc |κ,φ̈ =)2(√MP 3 |C|1/41+f −1κβH=−MP(a = a0ȧ = −ff0κβMP√√)1/8 √√)√1 + 1 + f0√,1+ 1+f√√2π |Vc | a03 |C|1/8√4π |Vc | a0ä = − 23MP |C|1/4|Vc | fρ=4|C|1/41/4|Vc | f4|C|1/41/4p=(√1+f −22π |Vc | f√√,3 |C|1/81+f −11/81+1 + f01/8f0(√1+f −2)f 1/4√√1 + f0 f − 1 + 2 1 + f√√,1/81/8f0f1+f −11+(√1+f −2√1+f −1(√)2,)√f −3+4 1+f√,1+f −1|Vc | f 1/4 (1 + f )√ρ+p=,2|C|1/4 1 + f − 1,86ρ + 3p =|Vc | f|C|1/41/4()√f −1+2 1+f√.1+f −1√Здесь a0 = a(t0 ) , f0 = f (φ0 ) , z = 2/(1 + 1 + f ) и z0 = z(f0 ) .Поведение скалярного поля и масштабного фактора в конечном итоге зависитисключительно от знаков κ и φ̇0 .Рассмотрим вначале функцию f при φ → −∞ и φ → +∞ :limf = 0,limf = +∞.φ→−κ ·∞φ→+κ ·∞При этомsgn(φ̇) = sgn(φ̇0 ),φ̇ φ̈ < 0 при φ ∈ (−∞; φb ),φ̇ φ̈ > 0 при φ ∈ (φb ; +∞),гдеφb = κMP16√3lnπ(√ )5+2 3,9|C|следовательно, скалярное поле вначале возрастает (убывает) замедленно, а затемускоренно.

Для масштабного фактора верноȧ > 0 при φ ∈ (−∞; φm ),ȧ < 0 при φ ∈ (φm , +∞),ä < 0,где√()MP 33ln,φm = κ16 π|C|следовательно, вселенная вначале расширяется с замедлением при t < tm , а затемсжимается с ускорением при t > tm , tm = t(φm ) . Функция времени при φ → −∞и φ → +∞ ведет себя следующим образом:(1)limt = ts ,limt = ts ,φ→− φ̇0 ·∞φ→+ φ̇0 ·∞(2)87где для κ φ̇0 > 0t(1)s2−5/4 MP |C|1/8  2F 1√= t0 − √3π|Vc | ((−2−5/4 MP |C|1/8(2)√ts = t0 + √3π|Vc |()3 5 7, ; ;1 −4 8 42√1 + 1 + f02√1 + 1 + f0(1))3/4(2F 1)3/42F 1(23 5 7√, ; ;4 8 4 1 + 1 + f0),)23 5 7√, ; ;,4 8 4 1 + 1 + f0(2)а для κ φ̇0 < 0 выражения для ts и ts меняются местами и знак после t0 вкаждом из выражений заменяется на противоположный.В таблице 2.8 приведены значения некоторых параметров, характеризующихэволюцию вселенной, при φ → −∞ и φ → +∞ .

Скалярное поле за конечноеТаблица 2.8 – Поведение скорости изменения скалярногополя, параметра Хаббла,масштабного фактора, его первой производной по времени, плотности энергииполя, давления поля, слабого и сильного энергетических условий при φ → −∞ иφ → +∞tφφ̇Haȧρpρ+pρ + 3p(1)− φ̇0 · ∞+ φ̇0 · ∞+∞0+∞+∞+∞+∞+∞(2)+ φ̇0 · ∞+φ̇0 · ∞−∞0−∞+∞+∞+∞+∞tstsвремя возрастает (убывает), замедляясь, от −∞ ( +∞ ) до φb , а затем продол(2)жает расти (убывать) ускоренно, достигая +∞ ( −∞ ) к моменту времени ts .Масштабный фактор сначала возрастает замедленно от нуля до максимальногозначения√√( )1/831 + 1 + f0am = a0,f03за конечное время, а затем убывает ускоренно, достигая нуля к моменту време(2)ни ts . При этом плотность скалярного поля остается все время положительнойи сначала убывает от +∞ до нуля при φ = φm , а затем возрастает до +∞ .Давление скалярного поля также положительно.

Оно убывает от +∞ до некоторого значения p = pm при φ = φm , а затем вновь возрастает до +∞ . Слабое88энергетическое условие ρ + p > 0 и сильное энергетическое условие ρ + 3p > 0выполняются на протяжении всего времени эволюции вселенной.Таким образом, ни знак κ , ни знак начальной скорости изменения поля невлияет на поведение масштабного фактора. Поведение скалярного поля определяется лишь выбором его начальной скорости изменения.Графики зависимости от времени для скалярного поля и масштабного фактора приведены на рисунке 2.5.а) масштабный факторб) скалярное полеРис. 2.5 – Графики зависимости а) масштабного фактора и б) скалярного поля от2времени для начальных условий t0 = −0,25 M−1P , φ0 = 0 , φ̇0 ≈ ±1,41 MP ,a0 = 1 при κ φ̇0 > 0 (красные кривые) и t0 = 0,25 M−1P , φ0 = 0 ,2φ̇0 = ±1,41 MP , a0 = 1 при κ φ̇0 < 0 (синие кривые); масштабный факторвыражен в условных единицах; Vc = −1Можно заметить, что поскольку существует момент времени t = tm , в который плотность энергии скалярного поля обращается в нуль, эффективный параметр уравнения состояния wef f = p/ρ будет расходится при t → tm , что также89верно и для производной давления по плотности dp/dρ :lim wef f = +∞,t→tmdp= −sgn(κ φ̇0 )∞,t→tm −0 dρlimdp= +sgn(κ φ̇0 )∞.t→tm +0 dρlimНеобходимо проверить решения уравнений Эйнштейна–Фридмана на устойчивостьпо отношению к малым возмущениям метрики и скалярного поля в окрестноститочки t = tm .Ограничимся здесь исследованием скалярных возмущений.

Характеристики

Список файлов диссертации