Диссертация (1155105), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1.10 – Зависимость а) числа е-расширений Einf и б) времени инфляции tinfот y0 при различных значениях x0 для потенциала λφ4 /4Таблица 1.2 – Сравнение числа е-расширений и времени инфляции для различныхx0 при постоянных y0y0Pinf (x0 =400)Pinf (x0 =200)tinf (x0 =400)tinf (x0 =200)Pinf (x0 =600)Pinf (x0 =200)tinf (x0 =600)tinf (x0 =200)103,9411,190258,8401,30152203,9401,190148,8341,30138303,9391,190108,8311,30132Таблица 1.3 – Сравнение числа е-расширений и времени инфляции для различныхy0 при постоянных x0x0Pinf (y0 =20)Pinf (y0 =10)tinf (y0 =20)tinf (y0 =10)Pinf (y0 =30)Pinf (y0 =10)tinf (y0 =30)tinf (y0 =10)2001,00111,000151,00151,000214001,00051,000061,00071,000086001,00041,000041,00051,0000551x0 = 120Einftinf ⋅10−8, MP−1x0 = 120x0 = 100x0 = 100x0 = 90x0 = 90x0 = 80x0 = 80y0а) число е-расширенийy0б) время инфляцииРис.
1.11 – Зависимость а) числа е-расширений Einf и б) времени инфляции tinfот y0 при различных значениях x0 для потенциала m2 φ2 /2 + λφ4 /4число е-расширений возрастает весьма слабо, однако немного быстрее, чем время инфляции. Отметим также, что увеличение y0 ослабляет зависимость от x0 , аувеличение x0 ослабляет зависимость от y0 .Воспользуемся теперь соотношениями (1.17), для того чтобы установить, каким образом изменение начального значения скалярного поля и начального соотношения между его потенциальными и кинетическими членами воздействуетна число е-расширений и время инфляции. Начальное значение поля φ0 прямопропорционально x0 .
Таким образом, поскольку увеличение x0 приводит к значительному росту числа е-расширений и времени инфляции, то можно сделатьвывод, что начальное значение скалярного поля φ0 существенно изменяет Einf иtinf .Прямой связи между y0 и φ0 нет, однако y0 явно зависит от начальногосоотношения между потенциальным V0 = V (φ0 ) и кинетическим K0 = φ̇20 /2членами плотности энергии поля: 2V (φ0 )/φ̇20 . Выражая его из (1.17), получаемV02V (φ0 )== y02 − 1.2K0φ̇0Поскольку изменение y0 почти не влияет на Einf и tinf при y0 & 1 , то и V0 /K052практически не воздействует ни на число е-расширений, ни на время инфляциипри V0 /K0 , достаточно отличающемся от нуля, причем, чем больше начальноезначение поля (а значит и V0 ), тем слабее выражается это воздействие. При этом,если φ̇0 настолько велико, что y0 приближается к единице, то Einf , и tinf быстроспадают. Однако надо учитывать, что чем больше выбранное значение x0 (оно жеφ0 ), тем меньшее y0 является достаточным для возникновения инфляции.
Поэтому влияние начального значение скорости изменения поля и начального соотношение между потенциальным и кинетическим членами его плотности энергии навозможность инфляции ослабевает при росте начального значения поля.1.2.6. Начальные условия для скалярного поля и условие медленногоскатыванияРассмотрим начальные условия, необходимые и достаточные для реализацииусловия медленного скатывания. В терминах уравнения Абеля с учетом (1.17) оно√определяется как y ≥ 11 . Очевидно, для «мягкой» инфляции выполнение этогоусловия необязательно.
В то же время оказывается, что для «сильной» инфляциионо возникает естественным образом в ходе динамики поля вне зависимости отначального соотношения V0 /K0 , причем, чем больше φ0 , тем менее важным становится это соотношение. Например, в случае потенциала (1.41), для x0 = 100(что соответствует φ0 = 8,05 MP ) условие медленного скатывания не реализуетсяв ходе эволюции поля при V0 /K0 . 10−18 , а для x0 = 200 ( φ0 = 16,1 MP ) ужепри V0 /K0 . 10−21 .На рисунке 1.12 приведены графики зависимости минимальных y0 , достаточных для возникновения условия медленного скатывания, от x0 . Рисунок 1.13показывает их в сочетании с графиками, изображенными на рисунке 1.7.Можно заметить, что, хотя для появления условия медленного скатывания входе динамики φ достаточными начальными условиями являются в случае потенциала (1.41) φ0 = 0,6 MP и φ̇0 = −2,0 · 10−8 M2P , «сильная» инфляция будетпроисходить только при значениях φ0 на порядок больших (что верно и для двухдругих потенциалов).53y0y0x0а) m2 φ2 /2x0б) λφ4 /4y0x0в) m2 φ2 /2 + λφ4 /4Рис.
1.12 – Минимальные начальные значения y0 для заданных x0 , достаточныедля возникновения условия медленного скатывания в ходе динамики скалярногополя54111133а) m2 φ2 /2б) λφ4 /4113в) m2 φ2 /2 + λφ4 /4Рис. 1.13 – Минимальные начальные значения y0 для заданных x0 , достаточныедля возникновения медленного скатывания в сравнении с начальнымизначениями, достаточными для реализации «мягкой» инфляции551.2.7. Влияние медленного скатывания на время инфляции и числое-расширенийОценим теперь какие доли е-расширений Esr и времени инфляции tsr приходятся на период выполнения условия медленного скатывания.
Для этого воспользуемся графиками, изображенными на рисунках 1.14, 1.15.Они показывают, что большая часть «сильной» инфляции, а именно, порядка98,5% е-расширений (в модели m2 φ2 /2 + λφ4 /4 и 99,3% и 97,6% в моделяхm2 φ2 /2 и λφ4 /4 соответственно) происходит в области действия медленного скатывания.
Что касается времени инфляции, то его доля составляет примерно 82% ,95% и 70% для потенциалов (1.41), (1.39) и (1.40) соответственно.С ростом начального значения поля φ0 при неизменном начальном соотношении между потенциальным и кинетическими членами плотности энергии V0 /K0процентная доля числа е-расширений и времени инфляции, приходящаяся на область действия условия медленного скатывания, растет, причем для е-расширенийона растет быстрее. При увеличении начального соотношения между потенциальным и кинетическим членами доля е-расширений и времени инфляции, относящаяся к в периоду выполнения условия медленного скатывания, также возрастает, номалозначительно (рисунки 1.16, 1.17).1.2.8.
Сравнение моделей m2 φ2 /2 , λφ4 /4 и m2 φ2 /2 + λφ4 /4В завершение данного раздела проведем сравнение моделей (1.39), (1.40)и (1.41). В соответствии с данными, приведенными в таблице 1.4, модели с потенциалами λφ4 /4 и m2 φ2 /2 + λφ4 /4 накладывают более высокие ограниченияна минимальное начальное значение скалярного поля, достаточное для возникновения инфляции, чем m2 φ2 /2 . Это обусловлено тем фактом, что в последнемслучае при φ ≫ 1 скалярное поле изменяется значительно медленнее, чем в двухдругих.Согласно сведениям, изложенным в подразделе 1.2.7, в модели m2 φ2 /2 настадию медленного скатывания приходится значительно большая часть инфляционной фазы.
Отсюда следует, что, хотя во всех трех моделях число е-расширенийодинаково, Einf = 100 , начальное значение поля, достаточное для инфляции, в56Esr100%Einf ⋅Esr100%Einf ⋅x0x0а) m2 φ2 /2б) λφ4 /4Esr100%Einf ⋅x0в) m2 φ2 /2 + λφ4 /4Рис. 1.14 – График зависимости процентного соотношения числа е-расширений,приходящихся на область действия условия медленного скатывания и на всюобласть инфляции, от x0 при постоянном y0 = 0,00157tsr100%tinf ⋅tsr100%tinf ⋅x0x0а) m2 φ2 /2б) λφ4 /4tsr100%tinf ⋅x0в) m2 φ2 /2 + λφ4 /4Рис. 1.15 – График зависимости процентного соотношения времени инфляции,приходящегося на область действия условия медленного скатывания и всюобласть инфляции, от x0 при постоянном y0 = 0,00158y0 = 1.25125Esr100%Einf ⋅Esr100%Einf ⋅y0 = 1.25125y0 = 1.001y0 = 1.001x0x0а) m2 φ2 /2б) λφ4 /4Esr100%Einf ⋅y0 = 1.25125y0 = 1.001x0в) m2 φ2 /2 + λφ4 /4Рис.
1.16 – Графики зависимости процентного соотношения числа е-расширений,приходящихся на область действия приближения медленного скатывания, от x0при y0 = 0, 001 и y0 = 1,2512559tsrtinf ⋅100%tsrtinf ⋅100%y0 = 1.25125y0 = 1.25125y0 = 1.001y0 = 1.001x0x0а) m2 φ2 /2б) λφ4 /4tsrtinf ⋅100%y0 = 1.25125y0 = 1.001x0в) m2 φ2 /2 + λφ4 /4Рис. 1.17 – Графики зависимости процентного соотношения времени инфляции,приходящегося на область действия приближения медленного скатывания, от x0при y0 = 0, 001 и y0 = 1,2512560Таблица 1.4 – Сравнение результатов для моделей m2 φ2 /2 + λφ4 /4 , m2 φ2 /2 иλφ4 /4 при λ = 10−14 , m2 = λM2PV (φ)V (x)m2 φ2 λφ4+24()λ 21 2x 1+x M4P96π96πm2 φ22λφ44λ 2 4x MP96πλx4 M4P29216πМинимальные φ0 и φ̇0 , достаточные для инфляцииx062,548,869,2y016,57321,61516,694φ 0 , MP5,34,05,6φ̇0 , M2P−1,2 · 10−7−1,8 · 10−8−1,3 · 10−7Einf100,0100,0100,0tinf , M−1P1,1 · 1082,2 · 1081,1 · 108Минимальные φ0 и φ̇0 , необходимые длявыполнения условия медленного скатыванияx07,36,212,8y03,3433,3613,339φ 0 , MP0,60,51,0φ̇0 , M2P−2,0 · 10−8−1,6 · 10−8−2,4 · 10−8случае квадратичного потенциала оказывается наименьшим, в то время как продолжительность инфляции наибольшей.Модели λφ4 /4 и m2 φ2 /2 + λφ4 /4 весьма схожи, однако во втором случае настадию медленного скатывания приходится больший процент числа е-расширений,а минимальное начальное значение φ0 меньше.Что касается начального значения скорости изменения поля φ̇0 , вполне естественно, что меньшим значениям φ0 соответствуют меньшие φ̇0 , так как малостьсоотношения V0 /K0 благоприятна для инфляции.611.3.
Итоги главыВ данной главе показано, что связь, существующая между уравнениями движения скалярного поля в пространственно-плоской метрике ФЛРУ (1.2), (1.3) иуравнением Абеля первого рода (1.15), может быть успешно использована для анализа эволюции вселенной, заполненной таким полем. Этот подход был применен ктрем моделям скалярного поля с полиномиальными потенциалами m2 φ2 /2 , λφ4 /4и m2 φ2 /2 + λφ4 /4 . В результате исследования соответствующих им уравненийАбеля установлено, что:– условие медленного скатывания в данных моделях возникает естественнымобразом в ходе динамики скалярного поля; необходимым критерием отсутствия этого условия является малость начального соотношения между потенциальным и кинетическим членами плотности энергии поля V0 /K0 , причемувеличение начального значения поля приводит к ослаблению влияния отношения V0 /K0 ; например, при φ0 = 8,5 MP , условие медленного скатыванияне реализуется при V0 /K0 . 10−18 ;– число е-расширений Einf и время инфляции tinf возрастают с увеличением начального значения поля φ0 и/или начального соотношения V0 /K0 , хотявремя инфляции изменяется значительно медленнее; тем не менее, основноевлияние на эти параметры оказывает начальное значение скалярного поля;– увеличение |φ̇0 | при постоянном φ0 приводит к уменьшению числа е-расширений и продолжительности инфляции, однако при достаточно большихзначениях φ0 такое изменение пренебрежимо мало; влияние φ̇0 становитсязаметным, когда V0 /K0 приближается к нулю;– отношение V0 /K0 слабо влияет на течение инфляции, пока V0 /K0 достаточно отличается от нуля; таким образом, если φ0 велико, ограничение на φ̇0ослабевает, и с ростом φ0 инфляция будет возможна при все больших |φ̇0 | ;– условие V /K > 2 является необходимым и достаточным для начала как минимум «слабой» инфляции, в то время как для естественного выхода из неетребуется выполнение условия V /K < 2 ; таким образом, инфляция начинается задолго до фазы медленного скатывания и оканчивается через некотороевремя после ее завершения;62– тем не менее, бо́льшая доля числа е-расширений и времени инфляции приходится на период действия условия медленного скатывания (порядка 98% ерасширений и 82% времени в зависимости от модели); увеличение начальногозначения поля или соотношения V0 /K0 приводит к росту этой доли, причембольшее влияние оказывает именно начальное значение поля.Полученные результаты хорошо согласуются с исследованиями рассматриваемых моделей, проведенными ранее иными способами [25], что подтверждаетценность метода сведения уравнений движения поля к уравнению Абеля и указывает на его потенциал для исследования скалярных полей с более сложнымипотенциалами.63ГЛАВА 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
