Диссертация (1155105), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Существуют различные подходы к определению суперпотенциала, однако в данной работе мы будемзадавать его как квадрат параметра Хаббла [64, 5, 14, 106, 60], умноженный на константу, зависящую от выбора системы единиц. Таким образом, в пространственноплоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем, суперпотенциал совпадает с плотностью энергии ρ этого поля. Будем такжесчитать, что он зависит только от значения самого поля, то естьW (φ) ≡3M2P 2 1 2H = φ̇ + V (φ).8π2(1.1)Динамика самого поля при этом описывается уравнениямиφ̈ + 3H φ̇ + V ′ = 0,(1.2)k1(1.3)H 2 = φ̇2 + V − 2 ,2aгде φ = φ(t) — скалярное поле, H — параметр Хаббла, V = V (φ) — потенциалскалярного поля, a = a(t) — масштабный фактор, k = 0 для пространственно-16плоской вселенной, k = +1 для открытой вселенной и k = −1 для замкнутойвселенной. Точка здесь и далее обозначает производную d/dt , а штрих — d/dφ .1.1.1.

Решение уравнений движения поля для известного суперпотенциалаРассмотрим уравнения движения поля (1.2), (1.3) вместе с выражением, задающим суперпотенциал (1.1). В случае плоской вселенной в уравнениях движенияk = 0 . Дифференцируя суперпотенциал по времени и используя (1.2), а такжеучитывая, что W (φ) = 3M2P /(8π) H 2 , получаемW ′ = −3H φ̇ ,(1.4)√κ8πH=W,(1.5)MP 3где κ = ±1 и выбирается положительным в случае расширения вселенной и отрицательным в случае сжатия.Из уравнений (1.1), (1.4), (1.5) видно, что производная поля по времени φ̇может быть выражена посредством только лишь суперпотенциала W (φ) и егопроизводной W ′ (φ) :1 MP W ′ (φ)√.(1.6)φ̇ = − √κ 24π W (φ)То же верно и для потенциал поля V (φ) :M2P (W ′ (φ))2V (φ) = W (φ) −.48π W (φ)(1.7)Выбирая W (φ) и решая (1.6), можно получить функцию φ(t) , выражающуюзависимость скалярного поля от времени:∫ √1 MPW (φ)dφ = − √(t − t0 ),(1.8)′W (φ)κ 24πгде t0 — постоянная интегрирования.

Изначально уравнение движения для φ является дифференциальным уравнением второго порядка, следовательно, его общеерешение должно содержать две постоянных интегрирования. Второю постояннуюможно ввести, рассматривая (1.7) как дифференциальное уравнение относительнонеизвестной функции W (φ) при известной V (φ) .

Общее решение этого уравнения будет содержать некоторую постоянную интегрирования C , W (φ; C) . Тогда17если зависимость φ(t; t0 , C) явная, то подставляя ее в уравнение (1.5), находимH(t; t0 , C) . Зная же параметр Хаббла, получаем масштабный фактор∫a(t; t0 , C) = a0 exp H(t; t0 , C) dt.(1.9)Здесь a0 также является постоянной интегрирования.Таким образом, задавая суперпотенциал как функцию скалярного поля, можно отыскать решение уравнений движения скалярного поля (1.2), (1.3), потенциалполя (1.7) и масштабный фактор, то есть решение уравнений Фридманаȧ28π=ρ,2 a3M2P(1.10)ä4π(ρ + 3p) . a =−3M2PРассмотрим простой пример, иллюстрирующий метод.Пример 1 Выберем W (φ) = µ2 φ2 /2 . Тогда потенциал поля имеет видµ2 φ2 M2P µ2µ2 φ2V (φ) =−= −Λ +,224π2M2P µ2где Λ =.24πСкалярное поле, параметр Хаббла и масштабный фактор в этом случае можноявно выразить как функции от времени:√Λφ(t) = φ0 −(t − t0 ),κ()√2κ µΛH(t) = √ √φ0 −(t − t0 ) ,κ3 2 Λ[a(t) = a0 exp2κ µ√ √3 2 Λ(φ0 (t − t0 ) −√Λ(t − t0 )22κ)],где t0 обозначает настоящий момент времени, а φ0 = φ(t0 ) и a0 = a(t0 ) .Особого внимания требует случай W = 0 .

Если полагать, что φ̇2 ≥ 0 , то такое возможно при V (φ) ≤ 0 . Из уравнения (1.5) видно, что этот случай описываетстационарную вселенную, H(t) = 0 и a(t) = a0 = const . Поскольку функция суперпотенциала теперь определена точно, общее решение уравнения (1.2) содержит18только одну постоянную интегрирования и имеет вид∫dφ √= ±(t − t0 ); V (φ) ̸= 0;− 2V (φ)φ(t) = φ = const;V = 0.0Таким образом, подобная модель имеет смысл только для скалярных полей с неположительными потенциалами [62, 63, 74]. Стоит отметить также, что эффективныйпараметр уравнения состоянияp = wef f ρ,(1.11)согласнооказывается бесконечным: wef f1ρ = φ2 + V,21p = φ2 − V,2= p/ρ → ∞ .(1.12)(1.13)1.1.2. Сведение уравнений движения поля к уравнению Абеля первого родаОбратимся теперь к ключевой идее данной главы и покажем связь междууравнениями движения скалярного поля (1.2), (1.3), являющимися прямым следствием уравнений Фридмана (1.10) и выражений (1.12), (1.13), и уравнением Абеляпервого рода (ограничимся здесь и далее случаем W > 0 ).

Для этого мы воспользуемся теоремой, приведенной ниже [126].√Теорема 1 Пусть x = νφ , ν = 4 3π/MP , χ ′ = V ′ (x)/V (x) , σ = ±1 . Тогда для заданного потенциала V (φ) ̸= 0 соответствующий суперпотенциалW = W (x; C) определяется как()1W (x; C) = V (x) 1 + 2,(1.14)y −1где y = y(x; C) ̸= ±1 является общим решением уравнения Абеля первого родаy′ = −)1( 2y − 1 (σ − χ ′ y) .2(1.15)Здесь штрих означает d/dx . Особый случай V (φ) = 0 возможен тогда и только19тогда, когда y(x) = ±1 и суперпотенциал W (x; C) имеет видW = Ceσx .(1.16)Стоит отметить, что при сведении уравнений (1.2), (1.3) к уравнению Абелямы полагаем при всех преобразованиях φ̇ ̸= 0 , так что |y| < +∞ , что означает, что при φ̇ = 0 ( V ̸= 0 , |y| → +∞ ), строго говоря, теорема 1 перестаетвыполняться.Также обратим внимание на следующий момент: плотность энергии, совпадающая по форме с суперпотенциалом, должна быть неотрицательна.

Отсюда следует, что если потенциал V (φ) > 0 , то функция y(x) должна удовлетворять условию |y(x)| > 1 . Если же потенциал V (φ) < 0 , значения функции y(x) , напротив,должны лежать в диапазоне (−1; 1) .Рассмотрим случай отрицательного потенциала более подробно. Если решение y(x) может принадлежать интервалу (−1; 1) , то y(x) , в принципе, можетобращаться в ноль при некотором значении x .

При этом также обращается в нольи суперпотенциал W , а значит и параметр Хаббла. Легко показать, что знак производной параметра Хаббла по времени остается неизменным (по крайней мере,если φ̇ в этот момент отлична от нуля):ä ȧ24π2πḢ = − 2 = − 2 (ρ + p) = − 2 φ̇2 < 0.a aMPMPЭто означает, что если в некоторый момент времени параметр Хаббла обратился вноль, далее он непременно должен изменить знак.

Следовательно, при V < 0 знакпараметра Хаббла должен зависеть от знака y(x) , поэтому√√√18π18πVH=κW =κy,MP 3MP 3y2 − 1то есть, здесь и во всех формулах далее необходимо учитывать знак при извлечении корня из y 2 :√√2√VyV=y.W =y2 − 1y2 − 1Для положительного потенциала W не может обращаться в ноль, а значит и пара-20метр Хаббла должен сохранять знак, то есть√√2√VyVW ==|y|.y2 − 1y2 − 1Укажем здесь сразу же связь между величинами x , y , φ , φ̇ и a , ρ , p дляV ̸= 0 , y ̸= ±1 :√√4 3πφ,x=MP2V (φ)+ 1;φ̇2√σy2V (x)−,при V > 02−1κ|y|yMPφ = √ x, φ̇ =√4 3πσ2V (x),при V < 0.−κ y2 − 1∫xσa(x) = a0 exp −y(ξ)dξ 6y=±(1.17)(1.18)x0√x∫κ −1 |y(ξ)| y 2 (ξ) − 1dξ,t0 − νσy(ξ)2V (ξ)приV > 0,x0t=∫x √ 2y (ξ) − 1κ −1t−νdξ,0σ2V (ξ),при(1.19)V < 0.x0V y2ρ= 2,y −1В особом случае V = 0 , y = ±1 :MPφ = √ x,4 3πV (2 − y 2 )p=.y2 − 1( σx )σ√φ̇ = −2C exp.κ2(1.20)(1.21)Доказать приведенную выше теорему можно с помощью прстых вычисле√ний.

Действительно, воспользуемся заменой переменной x = 4 3π/MP φ . Тогдауравнение (1.7) примет вид()1dW (x) 2V (x) = W (x) −.(1.22)W (x)dxРассмотрим сначала случай V (x) ̸= 0 , а значит y 2 − 1 ̸= 0 . Найдем произ-21водную dW/dx :V ′ y 2 (y 2 − 1) − 2V yy ′W =,(y 2 − 1)2′где штрих обозначает d/dx . Подставляя ее и (1.14) в (1.22), получаем(ОтсюдаV ′ y(y 2 − 1) − 2V y ′V (y 2 − 1))2= 1.V ′ y(y 2 − 1) − 2V y ′= σ.V (y 2 − 1)Выражая y ′ , приходим к уравнению (1.15).Рассмотрим теперь особый случай (1.16). Положим W > 0 , а V = 0 . Тогдаиз (1.22) имеемW ′ − σW = 0,а значит,W = Ceσx .Выражая W из (1.22) и подставляя в (1.14), получимV (x) = W (x)(y 2 − 1).Так как W > 0 , то для того, чтобы выполнялось условие V = 0 , необходимо,чтобы y = ±1 .

И наоборот, из y = ±1 следует, что V = 0 , что приводит суперпотенциал к виду (1.16).1.1.3. Анализ уравнения АбеляРассмотрим уравнение (1.15), полученное в предыдущем подразделе. В общем виде уравнение Абеля первого рода можно записать как [20]y ′ (x) = f3 (x)y 3 (x) + f2 (x)y 2 (x) + f1 (x)y(x) + f0 (x).(1.23)В нашем случае переменные коэффициенты уравнения f0 , f1 , f2 и f3 имеют видσχ′σχ′f0 = , f1 = − , f2 = − , f3 = ,2222(1.24)22то естьf2 = −f0 , f3 = −f1 .Если наложить на коэффициенты уравнения некоторые ограничения, то оно можетбыть упрощено или сведено к уравнению другого типа. Приведем здесь некоторыевозможные случаи [20].1. Пусть функция f1 непрерывна, функции f2 и f3 непрерывно дифференцируемы, f0 ̸= 0 .

Тогда подстановкаy = w(x) q(ξ) −[∫ (w(x) = expf22f1 −3f3)f2,3f3]dx ,ξ(x) =∫(1.25)f3 w2 dxприводит уравнение (1.23) к нормальной формеq ′ = q 3 + I(x),гдеI(x) =df0 +dx()f2f1 f22f23−+3f33f327f32.f3 w3(1.26)2. Пусть u(x) — решение уравнения (1.23). Тогда подстановкаy = u(x) +[∫E(x),z(x)](3f3 u + 2f2 u + f1 )dx(1.27)2E(x) = expприводит его к видуz′ +Φ1+ Φ2 = 0,z(1.28)гдеΦ1 (x) = f3 E 2 ,Φ2 (x) = (3f3 u + f2 )E.Если Φ2 = 0 , то естьf2,3f3то это уравнение может быть проинтегрировано, а следовательно, будет решено и уравнение (1.23).u(x) = −233. Пусть()()f2f22f22df0 = −+f1 −.dx 3f33f39f3Тогда решение уравнения (1.23) можно найти как()−1/2∫f22y = F C − 2 f3 F dx−,3f3где[∫ (F (x) = expf22f1 −3f3)(1.29)]dx ,а C — постоянная интегрирования.4.

Характеристики

Список файлов диссертации