Диссертация (1155105), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

[126]), так и комбинируя метод суперпотенциала и метод U (φ) , причем оба метода дают абсолютно идентичныеуравнения.В различных инфляционных моделях одной из главных проблем остаетсяпроблема естественного выхода из инфляции без «тонкой настройки» для реалистичных потенциалов [36, 98, 47, 62, 48, 123, 95, 10]. Как показано, в частности, вработе [11], естественное завершение инфляции без «тонкой настройки» возмож-7но, однако не ясно, следуют ли потенциалы, соответствующие этим решениям, изнекоторой теории элементарных частиц, например, какой-либо теории поля илитеории струн.Часто предполагается, что инфляция завершается, после того как перестает выполняться условие медленного скатывания (потенциальный член плотностиэнергии поля перестает намного превышать кинетический).

Однако имеется множество примеров инфляции, протекающей без медленного скатывания [2, 36, 98,59, 86, 37, 107, 41, 11, 124]. В целом, значение медленного скатывания для инфляции оказывается не совсем прозрачным. В то же время даже численные илиприближенные решения соответствующих уравнений Абеля предоставляют ценную информацию о существовании инфляции и ее протекании, а также позволяютвыяснить связь между инфляцией и медленным скатыванием и определить, происходит ли выход из инфляции для заданного потенциала.

Таким образом, изучениеи развитие предлагаемой методики анализа динамики вселенной с помощью уравнения Абеля является весьма актуальным.Помимо оценки поведения вселенной для уже известных потенциалов скалярных полей также существует задача конструирования новых потенциалов, которые бы определяли эволюцию вселенной в соответствии с данными наблюдений.Одним из мощных инструментов для этих целей оказывается преобразование Дарбу [54, 26, 11, 125, 28].Некоторые уравнения космологии вполне естественно приводятся к линейному стационарному уравнению Шредингера [12], например, одно из уравненийЭйнштейна–Фридмана в форме4πä= − 2 (ρ + 3p)a3MPили уравнение, связывающее спектральный индекс спектра возмущений плотностис параметром Хаббла и его производными:H ′′H ′28π4− 8 2 = − 2 (1 − ns ).HHMPПрименение преобразования Дарбу к решениям уравнения Шредингера позволяетгенерировать новые решения космологических уравнений, и, в случае последнего уравнения, получать также инфляционные потенциалы и соответствующие имспектральные индексы.

При должном выборе начальных решений в преобразовании Дарбу может оказаться возможным получать вселенные с желаемыми харак-8теристиками.Итак, как развитие методик анализа уже имеющихся решений космологических уравнений, так и поиска новых решений являются достаточно серьезными иважными задачами.Основные задачи. Диссертационная работа направлена на исследование, развитие и практическое применение метода изучения динамики вселенной, заполненной скалярным полем, с помощью сведения системы уравнения движения поля иуравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Аблея первого рода. Помимо этогопредлагается и используется новый способ построения инфляционных потенциалов с помощью преобразования Дарбу. Основные задачи состоят в следующем:– исследование и оценка перспектив метода сведения уравнений Эйнштейна–Фридмана для пространственно-плоской вселенной с метрикой ФЛРУ, заполненной единственным действительным скалярным полем, минимально связанным с гравитацией, к уравнению Абеля первого рода; развитие этой методики,которое включает в нее не только подход, основанный на использовании суперпотенциала, но и подход, основанный на комбинировании суперпотенциалаи метода U (φ) ;– практическое применение численных решений уравнений Абеля, соответствующих трем полиномиальным потенциалам скалярного поля вида m2 φ2 /2 ,λφ4 /4 и m2 φ2 /2 + λφ4 /4 , для анализа динамики вселенной;– оценка начальных условий, налагаемых на скалярное поле, скорость его изменения и соотношение между потенциальным и кинетическим членами егоплотности энергии, необходимых и достаточных для начала инфляции; сравнение результатов для трех моделей;– оценка роли условия медленного скатывания в космологической инфляции дляуказанных выше полиномиальных потенциалов;– определение условий, при которых происходит естественный выход из инфляции, и проверка исследуемых потенциалов на наличие естественного выхода;– применение аналитических решений уравнения Абеля для анализа динамикивселенной, заполненной скалярным полем с экспоненциальным потенциалом;проверка полученных решений на устойчивость скалярных возмущений метрики и поля в окрестности точек, в которых расходится производная давленияполя по его плотности энергии;9– исследование соответствия между уравнением, связывающим спектральныйиндекс спектра возмущений плотности энергии и параметр Хаббла в приближении медленного скатывания, с уравнение Кортевега–де Фриза, раскрытогов [87], и развитие этого соответствия на всю иерархию уравнений Кортевега–де Фриза;– построение новых инфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов путем сведения уравнения для спектрального индекса клинейному стационарному уравнению Шредингера.Основные результаты и положения, выносимые на защиту, состоят в следующем:– с помощью уравнения Абеля первого рода проведен полный анализ динамикивселенной, заполненной скалярным полем с полиномиальным потенциалом,на инфляционной стадии ее эволюции; рассмотрены три потенциала: квадратичный потенциал, потенциал четвертой степени и их линейная комбинация;– найдены начальные условия, налагаемые на скалярное поле, скорость его изменения и соотношение между потенциальным и кинетическим членами егоэнергии, необходимые и достаточные для возникновения инфляции и реализации условия медленного скатывания;– точно установлена роль медленного скатывания для инфляции, порождаемойскалярным полем с полиномиальным потенциалом, а именно, условие медленного скатывания неизменно возникает в ходе динамики вселенной, если в нейпротекает так называемая «сильная» инфляция;– выявлена тонкая структура инфляции и показано, что естественный выход изинфляции обязателен для полиномиальных потенциалов; он происходит после окончания действия условия медленного скатывания, равно как и начатьсяинфляция может до реализации этого условия;– с помощью уравнения Абеля получены аналитические общие решения уравнений Эйнштейна–Фридманад для вселенной, заполненной скалярным полемкак с положительным, так и отрицательным экспоненциальным потенциалом;полностью описано поведение масштабного фактора и скалярного поля на протяжении всего времени существования вселенной для каждого решения;10– доказана устойчивость скалярных возмущений метрики и поля для полученных решений в окрестности точек, в которых расходится производная давления поля по его плотности энергии;– изучено соответствие между уравнением Кортевега–де Фриза и уравнением,связывающем спектральный индекс спектра возмущений плотности энергиискалярного поля в приближении медленного скатывания; соответствие расширено на всю иерархию уравнений Кортевега–де Фриза;– представлен метод сведения уравнения для спектрального индекса в приближении медленного скатывания к линейному стационарному уравнению Шредингера;– посредством преобразования Дарбу построены новые потенциалы скалярногополя и соответствующие им спектральные индексы, а также выражения длямасштабного фактора и скалярного поля, в том числе, обеспечивающие естественный выход из инфляции.Научная новизна.

Впервые выполнен подробный анализ эволюции вселенной, заполненной скалярным полем с полиномиальным потенциалом, при помощиуравнения Абеля первого рода. Выявлена тонкая структура инфляции, а именно,инфляция начинается до того как вселенная входит в режим медленного скатывания, и заканчивается уже после выхода из него. Доказано, что условие медленного скатывания реализуется в ходе динамики поля естественным образом, еслиначальное отношение потенциального члена плотности энергии поля к кинетическому не слишком мало.

Установлено, что большая часть е-расширений и времениинфляции приходится на фазу медленного скатывания. Аналитически показан переход от режима инфляции к режиму осцилляции поля. Впервые общее решениеуравнений Эйнштейна–Фридмана в плоской вселенной, заполненной единственным действительным скалярным полем с положительным и отрицательным экспоненциальными потенциалами, найдено с помощью уравнения Абеля. Выявленыточки, в которых расходится отношение давления к плотности ( w -сингулярность)и/или производная давления по плотности. Показано, что решение устойчиво относительно малых возмущений метрики и самого поля в этих точках.Продемонстрировано, что получение решений космологических уравненийметодом преобразования Дарбу может существенно упростить решение проблемыестественного выхода из инфляционной стадии эволюции Вселенной. Найдены новые инфляционные потенциалы, обладающие упомянутым свойством.

Анализ ре-11шений показал, что значение спектрального индекса в период выполнения условиямедленного скатывания может приближаться к наблюдаемым значениям.Научная и практическая ценность. Основные результаты диссертации могутиметь значение для изучения космологических моделей, описывающих инфляцию(глава 1). Основное достоинство метода сведения уравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля 1-го рода, состоит в том, что он облегчает исследованиеинфляционных моделей с единственным скалярным полем и позволяет достаточно просто определить, в частности, будет ли в некоторой модели реализовыватьсяинфляция, при каких условиях, происходит ли выход из инфляции.

Характеристики

Список файлов диссертации