Диссертация (1155105), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Комбинацияметода суперпотенциала и метода U (φ) (глава 2) может быть полезной при поиске аналитических решений космологических уравнений. Наконец, изученная связьмежду уравнением для спектрального индекса спектра возмущений плотности сиерархией уравнений Кортевега–де Фриза и линейным стационарным уравнениемШредингера (глава 3) может быть использована для построения новых инфляционных потенциалов и получения решений космологических уравнений.Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждалисьна Международной научной конференции «Фридмановские чтения» (Пермь, 2013),II Российско-Испанском конгрессе по физике ядра и элементарных частиц на любых расстояниях и космологии (Санкт-Петербург, 2013), Российской школе «Математическое и компьютерное моделирование фундаментальных объектов и явлений» и Международном семинаре «Нелинейные поля в теории гравитации икосмологии» (Казань, 2013).Публикации.
Основное содержание работы изложено в четырех публикациях,список которых приведен в приложении.Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (127 наименований) и приложения, содержит 23 рисунка и 16 таблиц.
Общий объем диссертации — 152 страницы.Содержание работы. Во введении показывается актуальность работы, целии задачи исследования, основные результаты и положения выносимые на защиту,отражена их научная новизна и практическая значимость.Глава 1 посвящена исследованию метода решения уравнений Эйнштейна–Фридмана путем сведения их к уравнению Абеля первого рода и применению метода для анализа космологической инфляции трех полиномиальных потенциаловскалярного поля.В разделе 1.1 главы 1 рассматривается метод суперпотенциала и процедура12редукции уравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абеля, а также исследование некоторых его свойств. В подразделе 1.1.1 приводится метод суперпотенциала и пример его использования. В подразделе 1.1.2 описывается непосредственнопроцедура редукции, и указывается связь между величинами, описывающими эволюцию вселенной (время, масштабный фактор, параметр Хаббла, скалярное поле,его скорость изменения, а также давление и плотность энергии) и решением уравнения Абеля и его независимой переменной.
В подразделе 1.1.3 рассматриваютсянекоторые случаи, в которых возможно получение аналитического решения уравнения Абеля, и обсуждается поведение его решений в соответствии с теоремойПеано о существовании и единственности. Помимо этого подробно изучается особая ситуация, когда потенциал скалярного поля имеет нули. В (подразделе 1.1.4)√указываются два потенциала V (φ) = Λ = const , V (φ) = ch 4 π/3/MP φ ,позволяющих найти аналитическое решение уравнения Абеля и исследуются этирешения. В подразделе 1.1.5 приводится соответствие между значениями решенийуравнения Абеля и этапами эволюции вселенной.Раздел 1.2 посвящен исследованию динамики инфляционной вселенной дляскалярных полей с потенциалами V (φ) = m2 φ2 /2 , V (φ) = λφ4 /4 и V (φ) =m2 φ2 /2 + λφ4 /2 .
В подразделе 1.2.1 составляются уравнения Абеля для каждогопотенциала, и аналитически оцениваются области начальных условий, определяющие различные классы их решений. В подразделе 1.2.2 описывается динамика вселенной с указанными потенциалами. В подразделе 1.2.3 подготавливаются данныедля упрощения численного поиска начальных условий, необходимых и достаточных для существования и инфляции и реализации условия медленного скатывания.В подразделе 1.2.4 приводятся результаты численных исследований, определяющие начальные значения скалярного поля и скорости его изменения, достаточныедля начала «сильной» инфляции.
В подразделе 1.2.5 изучается влияние исходнойвеличины поля и соотношения между потенциальным и кинетическим членами егоплотности энергии на число е-расширений и время инфляции. В подразделе 1.2.6приводятся начальные условия, достаточные для реализации медленного скатывания в ходе динамики поля, они сравниваются с начальными условиями, достаточными для начала «мягкой» и «сильной» инфляции. В подразделе 1.2.7 оцениваетсязначение медленного скатывания для инфляции. В подразделе 1.2.8 между собойсравниваются все результаты, полученные для трех моделей.Раздел 1.3 суммирует важные положения первой главы.Глава 2 посвящена еще одному способу приведения уравнений Эйнштейна–13Фридмана к уравнению Абеля первого рода, основанному на комбинации методасуперпотенциала и метода U (φ) . Также в ней рассматривается еще одно приложение уравнения Абеля к анализу динамики вселенной для экспоненциальногопотенциала скалярного поля, который позволяет получить аналитическое решениеуравнения Абеля и космологических уравнений.В подразделах 2.1.1 и 2.1.2 раздела 2.1 описываются метод U (φ) и пример егоиспользования и редукция уравнений Эйнштейна–Фридмана к уравнению Абелясоответственно.В разделе 2.2 с помощью решений уравнения Абеля производится анализдинамики вселенной, заполненной скалярным полем с экспоненциальным потенциалом.
В подразделе 2.2.1 составляется и аналитически решается соответствующее уравнение Абеля, а также рассматриваются различные классы его решений взависимости от начальных условий. В подразделах 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4 приводятсярешения космологических уравнений, вид которых определяется знаком постоянной интегрирования в решении уоавнения Абеля, и описывается эволюция масштабного фактора и скалярного поля на протяжении всего времени существованиясоответствующей вселенной. В подразделе 2.2.5 производится необходима сшивкарешений в случае положительной постоянной интегрирования и показывается, чторешения сшиваются гладко, а также что в точке сшивки не возникает неустойчивости скалярных возмущений метрики и поля.Раздел 2.3 подводит итоги главы 2.Глава 3 посвящена исследованию связи уравнения для спектрального индексаспектра возмущений плотности в приближении медленного скатывания с иерархией уравнений Кортевега–де Фриза и построению новых инфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов.В подразделе 3.1.1 раздела 3.1 приводятся истоки самой идеи связи между двумя указанными уравнениями.
В подразделе 3.1.2 описывается построениеиерархии уравнений Кортевега–де Фриза. В подразделе 3.1.3 рассматривается преобразование Дарбу для решений из иерархии.В разделе 3.2 преобразование Дарбу применяется для построения новых инфляционных потенциалов и получения решений космологических уравнений. Вподразделе 3.2.1 уравнение, связывающее спектральный индекс и параметр Хаббла в случае вселенной, заполненной единственным действительным скалярнымполем, в приближении медленного скатывания сводится к линейному стационарному уравнению Шредингера. В подразделе 3.2.2 в качестве исходного выбира-14ется нулевой спектральный индекс, после чего над решением соответствующегоуравнения Шредингера дважды производится преобразование Дарбу, а затем длякаждого нового решения определяется спектральный индекс, масштабный фактор,скалярное поле и его потенциал. В подразделе 3.2.3 в качестве исходного выбирается спектральный индекс из модели Харрисона–Зельдовича ns = 1 , после чегонад решением отвечающего ему уравнения Шредингера производится однократное преобразование Дарбу, и находится новое решение космологических уравнений.
В подразделе 3.2.4 те же операции проделываются для возмущенного спектраХаррисона–Зельдовича со спектральным индексом, лежащим в диапазоне, задаваемом наблюдениями: ns ∈ (0, 939 ; 0, 987) . Производится оценка возможностиприближения новых спектральных индексов к единице в условиях медленного скатывания. В подразделе 3.2.5 решение из [87] получается более простым способомс применением редукции уравнения для спектрального индекса к уравнению Шредингера и преобразования Дарбу.Раздел 3.3 представляет основные результаты главы 3.В заключении формулируются главные выводы из работы и перспективыдальнейшего исследования ее тем.В приложении приводится список публикаций автора по теме диссертации.15ГЛАВА 1. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ДЛЯ АНАЛИЗАКОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФЛЯЦИИВ данной главе рассматривается одна из задач инфляционной космологии, входе изучения которой мы приходим к уравнению Абеля первого рода [100, 126].Цель этой главы — показать, что сведение уравнений, описывающих динамику вселенной, к уравнению Абеля оказывается весьма полезным для анализа космологической инфляции.
При этом, хотя полученные уравнения в большинстве случаевне решаются аналитически, их исследование, в том числе, с помощью численныхметодов, может дать ценную информацию о начале инфляции и ее динамике.Первая часть главы посвящена применению метода суперпотенциала в случаепространственно-плоской вселенной, заполненной единственным действительнымскалярным полем.
Во второй части анализируются несколько простых и хорошоизвестных потенциалов [90, 92, 89, 80, 76, 9, 94, 66].1.1. Метод суперпотенциала и уравнение Абеля первого родаМетод суперпотенциала хорошо известен и широко применяется в инфляционной космологии [113, 40, 99, 116, 34, 3, 53, 29, 120, 4, 41].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
