Диссертация (1155105), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для3e 2x0 /3 + 1y0 > 2x /3e 0 −1(C < −1)(1)(2)решение имеет три точки разрыва второго рода: xs = −arccth(−C) , xs = 0 и(3)xs = arccth(−C) . Область значений при x > 0 — y ∈ (ymin ; +∞) , при x < 0— y ∈ (−C; +∞) , где ymin является точкой пересечения решения уравнения сфункцией y1 = 3 cth(x/3) . Дляy=e 2x0 /3 + 3e 2x0 /3 − 1(C = 1)решение опять же имеет одну точку разрыва второго рода xs = 0 , однако этоособое решение: при x > 0 — y ∈ (1; +∞) , а при x < 0 — y ≡ −1 . Для3e 2x0 /3 + 1y0 = 2x /3e 0 −1(C = −1)решение имеет одну точку разрыва второго рода x = 0 и является особым, поскольку при x > 0 в отличие от прочих решений область значений функции —y ∈ (3; +∞) , а при x < 0 — y ≡ 1 .Если x0 < 0 , то y0 может быть выбрано из указанных выше областей значений при x < 0 .
Выбор y0 < cth(x0 /3) дает решения, симметричные решениямдля y0 > cth(x0 /3) относительно начала координат. Помимо особых решенийy ≡ 1 и y ≡ −1 существует еще одно особое решение для y0 = cth(x0 /3) :(x)y = cth.3На рисунке 1.2 изображены представители семейств интегральных кривых,соответствующих различным начальным условиям (и соответственно, постоянныминтегрирования C ).Таким образом, для потенциала V (x) = A1 ch(x/3) оказалось возможнымнайти аналитическое решение уравнения Абеля и исследовать его, однако получитьаналитическую зависимость φ(t) нельзя, по крайней мере, в классе элементарных32б) ε = −1а) ε = 1Рис. 1.2 – Решения уравнения (1.36) для начальных условий: а) y(1) = cth(1)(красная кривая), y(1) = 4,5 (синяя кривая), y(1) = 7 (зеленая кривая),y(1) = 7,5 (пурпурная кривая), y(1) = (e2/3 + 3)/(e2/3 − 1) (серая кривая),y(1) = (3e2/3 + 1)/(e2/3 − 1) (черная кривая); б) y(−1) = cth(−1) (краснаякривая), y(−1) = −4,5 (синяя кривая), y(= 1) = −7 (зеленая кривая),y(−1) = −4,5 (пурпурная кривая), y(−1) = (e−2/3 + 3)/(e−2/3 − 1) (сераякривая) и y(−1) = (3e−2/3 + 1)/(e−2/3 − 1) (черная кривая)функций.Рассмотрим теперь случай применения подстановки (1.27).
Нам известны двачастных решения уравнения (1.15): y = 1 и y = −1 . Пусть u(x) = ε = ±1 . Тогдаy =ε+E,zгдеE = |V | e−σεx ,а z удовлетворяет уравнению (1.28), в котором1 ( 2 )′ −2σεxΦ1 =V e,4()1 −σεx|V | V ′Φ2 = e3ε− σ |V | .2VТакое уравнение может быть решено точно, если Φ2 = 0 , что соответствует потенциалу вида (1.35).
Это возвращает на к предыдущему случаю.Можно с уверенностью утверждать, что точное, и тем более в элементарных33функциях, решение уравнения (1.15) возможно только для весьма ограниченногокласса потенциалов [20, 44]. Однако даже если точное решение найти невозможно,анализ приближенного решения может предоставить весьма ценную информациюо возможности процесса космологической инфляции и его протекании. Подобномуанализу посвящен следующий подраздел.1.1.5. Анализ инфляционной динамики с использованием решенияуравнения АбеляПрежде чем установить связь между решением уравнения (1.15) и динамикой вселенной, необходимо определиться с понятием инфляции. Мы будем называть инфляцией ускоренное расширение вселенной вне зависимости от величиныускорения.
Таким образом, условие, определяющее наличие инфляции, имеет видä(t)> 0.a(t)(1.37)Однако стоит различать «мягкую» и «сильную» инфляцию. Под «сильной» инфляцией мы подразумеваем такое расширение, при котором масштабный факторувеличивается не менее чем в e100 раз за время порядка или менее 1,9 · 108 M−1P .«Мягкая» инфляция в таком случае означает, что масштабный фактор растет медленнее и слабее [82, 43].Принято считать, что «сильная» инфляция имеет место, если скалярное поленаходится в состоянии медленного скатывания [89, 80, 25]2V (φ)≫ 1,φ̇2(1.38)то есть кинетический член плотности энергии скалярного поля φ̇2 /2 намногоменьше ее потенциального члена V (φ) .
Здесь и далее мы будем полагать, чтозапись « ≫ 1 » означает « ≥ 10 ».Свяжем теперь решение (1.15) y(x) с условиями (1.37) и (1.38). Согласноуравненям Фридмана (1.10), условие (1.37) эквивалентно условию ρ + 3p < 0 .Пользуясь соотношениями (1.20), получаем, что для начала «мягкой» инфляции√достаточно, чтобы функция |y| превышала 3 где-либо на своей области определения. Для того же, чтобы выполнялось условие медленного скатывания, из (1.17)√следует, что |y| должно превышать 11 . Что касается слабого энергетического34условия ρ + p > 0 , ему соответствуют значения |y| > 1 при V > 0 и |y| < 1при V < 0 . Отметим также, что давление скалярного поля p положительно, если√|y| < 2 . В таблице (1.1) собраны приведенные выше соответствия [126].Таблица 1.1 – Соответствие между значениями y и этапами эволюции вселеннойДиапазон y√I: 11 < y < ∞√√II: 3 < y < 11√√III: 2 < y < 3√IV: y < 2Медленное скатываниеρ + 3p < 0p<0дададанетдаданетнетданетнетнетТаким образом, исследуя поведение решения уравнения (1.15), можно определить, наступит ли инфляции в ходе динамики поля при заданных начальныхусловиях для поля φ0 и скорости его изменения φ̇0 , будет ли это «сильная» или«мягкая» инфляция, а также является ли выполнение условия медленного скатывания необходимым и достаточным для возникновения «сильной» инфляции.Следующий раздел посвящен анализу трех хорошо известных в космологииполиномиальных потенциалов [90, 92, 89, 80, 76, 9, 94, 66]:m2 φ2V (φ) =,2λφ4,V (φ) =4m2 φ2 λφ4V (φ) =+,22где согласно [25] выбрано λ = 10−14 , m2 = λM2P .(1.39)(1.40)(1.41)1.2.
Практическое применение численных решений уравнения Абеля дляанализа инфляцииВ данном разделе составляются уравнения Абеля для трех полиномиальныхпотенциалов инфлатона: второй степени, четвертой степени и их линейной комбинации. Эти уравнения могут быть решены только численно.Прежде чем приступить непосредственно к анализу динамики скалярного по-35ля, мы анализируем, по возможности не прибегая к численным методам, поведениерешений уравнений Абеля для различных классов начальных условий. Затем, используя их численные решения, мы находим начальные условия, необходимые идостаточные для реализации медленного скатывания и существования «сильной»инфляции. В заключение раздела приводится сравнение результатов для всех потенциалов.1.2.1.
Уравнения Абеля для полиномиальных потенциаловАнализ инфляции во вселенной, заполненной скалярным полем с потенциалом (1.39), (1.40) или (1.41), начнем с составления соответствующих уравненийАбеля по теореме 1. После подстановкиxφ = √ MP4 3πпотенциалы принимают следующий вид:V (x) =λx2 4M ,96π Pλx4M4P ,V (x) =29216π()λ 21 2V (x) =x 1+x M4P .96π96πТогда уравнения Абеля для этих потенциалов приобретают форму()()12y,y′ = − y2 − 1 σ −2x())1( 24y′y =− y −1 σ−,2x())4(48π + x2 )1( 2′y .y =− y −1 σ−2x(96π + x2 )(1.42)(1.43)(1.44)Ни одно из приведенных выше уравнений не может быть решено точно, однако возможно исследовать уравнения и определить поведение их решений длязаданных классов начальных условий.Рассмотрим вначале уравнение (1.42). В подразделе 1.1.3 уже упоминалось,что решения уравнений с σ = 1 и σ = −1 симметричны относительно оси x36при замене y на −y и y(x0 ) = y0 на y(x0 ) = −y0 , так что можно ограничитьсятолько случаем σ = 1 .Уравнение имеет две стационарные точки y = 1 и y = −1 , поэтому всеего решения y(x; x0 , y0 ) в зависимости от выбранных начальных условий будутпринадлежать одной из трех областей: E1 = (−∞; −1) , E2 = (−1; 1) и E3 =(1; +∞) (далее для краткости будем ссылаться на функцию y(x; x0 , y0 ) как наy(x) ).
Помимо этого, наличествует особая точка уравнения x = 0 , вследствиечего в этой точке интегральные кривые могут пересекать прямые y = 1 и y = −1 .Избегая пока этой точки, изучим поведение решений в областях x > 0 и x < 0 .Начнем с условия x > 0 , y0 > 1 . Заметим сразу, что помимо стационарныхточек y = 1 и y = −1 производная y ′ может обращаться в ноль, только еслирешение уравнения y(x) пересекается с прямой y1 (x) = x/2 . Поэтому, если начальные условия y(x0 ) = y0 таковы, что эти функции никогда не пересекаются, тоy(x) будет неограниченно( возрастать. Например,если y0 > x0 /2 и y ′ (x0 ) ≥ 1/2)√(что соответствует y0 ≥ x0 + x20 + 16 /4 ), то решение y(x) растет быстрее,чем прямая y1 = x/2 .
При этом y ′ (x) увеличивается,в )то время как y1′ = 1/2 по(√стоянна. Разумеется, при x0 /2 < y0 < x0 + x20 + 16 /4 неограниченный ростy(x) также возможен, если y ′ достаточно быстрорастущая функция.Покажем теперь, что если решение уравнения (1.42) неограниченно возраста(1)ет, то оно имеет особую точку xs > x0 . Действительно, пусть начиная с некоторого x∗ , y ∗ = y(x∗ ) таково, что y ∗ ≫ x∗ /2 и y ∗ ≫ 1 . В этом случае в уравненииможно пренебречь единицами. Тогда оно принимает видy3y =,x′(1.45)и его можно решить точно:y∗y(x) = √1 + (y ∗ )2 lnОтсюда получаем, что(∗x(1)s ≈ x exp(∗ )2.(1.46)xx)1.2 (y ∗ )2(1.47)Таким образом, чем больше y0 при заданном x0 , тем ближе к x0 оказывается(1)(1)xs . Как видно из решения в окрестности x = xs , функцию нельзя продолжитьвправо за сингулярность, так как при этом она бы стала комплексной.37Обратимся теперь к случаю, когда начальные условия таковы, что функцияне имеет особенностей.
Тогда при x > 0 она непрерывна [20] и бесконечно дифференцируема, что следует непосредственно из вида уравнения (1.42). Покажем,что y(x) может иметь только один максимум y(xm ) = ym в области x > 0 .Действительно, в этой области, согласно теореме Пеано о существовании и единственности [20], y(x) не пересекает прямую y = 1 . Следовательно, первая производная y ′ (x) обращается в ноль, только если решение y(x) пересекается с прямойy1 = x/2 в некоторой точке xm , так что ym = xm /2 . Вторая производная при этомравна)ym ( 2y ′′ (xm ) = − 2 ym− 1 < 0,xmзначит, x = xm в самом деле является точкой максимума, и притом, единственной, так как при x > xm далее y ′ < 0 и y(x) убывает, а прямая y1 (x) = x/2продолжает расти.Если y(x) не имеет особенностей, то она обязательно пересекается с прямойy1 = x/2 .
При y0 < x0 /2 производная функции отрицательна, то есть она убываетв некоторой окрестности x0 . Прямая y1 = x/2 — монотонно растущая функция,а значит, она обязательно будет иметь с y(x) только одну точку пересечения xm ,причем xm < x0 . Если же y0 > x0 /2 , но y ′ < 1/2 , то функция y(x) растетмедленнее, чем y1 = x/2 , и они в конечном счете пересекутся.Рассмотрим теперь поведение решения уравнения (1.42) при x → +∞ . Легкопоказать, что y(x) не имеет наклонных асимптот при x > 0 . Наличие наклоннойасимптоты требует существования предела lim y ′ (x) , равного угловому коэффиx→+∞циенту асимптоты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
