Диссертация (1155105), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Однако y ′ расходится при x → xs в случае достаточно больших y0 . Если y(x) , ограничена сверху, то при x > xm , y(x) монотонно убывает,однако не пересекает прямую y = 1 , следовательноlim y(x) = 1.x→+∞Перейдем к условию x < 0 , y0 > 1 . Согласно уравнению (1.42), производная функции y(x) будет отрицательна, то есть эта функция убывает с ростом x .Это означает, что при убывании x решение уравнения возрастает, причем |y ′ (x)|также увеличивается. Тогда, начиная с некоторого x∗ < x0 , можно будет вновьиспользовать (1.45) и получить функцию y(x) вида (1.46), расходящуюся в точке(2)xs < 0 , определяемой также выражением (1.47).Выяснить, как ведет себя решение уравнения (1.42) при x = 0 , возмож-38но, если упростить уравнение в окрестности этой точки.
Действительно, так какx = 0 является его особой точкой, то согласно теореме Пеано о существовании иединственности при y0 > 1 решение y(x) может пересекать прямую y = 1 , ноe,определенно не может обращаться в ноль. Значит, начиная с некоторого малого xe) = ye , уравнение (1.42) можно представить в виде [126]y(x(y 2 − 1)yy =.x′Решая его, находим, что в окрестности нуля y(x) должна вести себя как1y(x) = √,1 − Cx2ye2 − 1C= 2 2 ,e yex(1.48)то естьlim y(x) = 1.x→±0Легко заметить, что все нечетные производные y(x) в точке x = 0 обращаются в ноль , а все четные положительны. Таким образом, эта точка являетсяминимумом функции y(x) .Что касается случаев x > 0 , y0 < −1 и x < 0 , y0 < −1 , то посколькууравнение симметрично относительно замены x → −x , y → −y , то его решенияпри y(x0 ) = y0 < −1 симметричны решениям с y(−x0 ) = |y0 | относительноначала координат.
Примеры графиков для численных решений уравнения (1.42)при различных начальных условиях приведены на рисунке (1.3).Обратимся теперь к уравнению (1.43). Поведение его решений в зависимостиот начальных условий принципиально ничем не отличается от поведения решенийуравнения (1.42), соответствующего квадратичному потенциалу. Однако теперь длятого чтобы они были конечны, функция y(x) должна пересекать прямую y1 =x/4 . Таким образом, если при x0 > 0 , y0 > 1 выполняется условие y0 ≤ x0 /4 ,то y(x) будет иметь одну особую точку при x < 0 ; если[(√)]24√1x0 16x0 + 156x0 + 3072πy0 ≥+x20 + 48 sinarctg+при x0 ≤ 6,12 63x0 (36 − x20 )6[(√)]1x0 1 √ 26x40 + 156x20 + 3072+arctgпри x0 ≥ 6,x0 + 48 cosy0 ≥12 63x0 (x20 − 36)то y(x) будет иметь две особые точки: при x > 0 и при x < 0 ; если же y0лежит в интервале между x0 /4 и приведенными выше значениями, то функция39а) одна особая точкаб) две особых точкиРис. 1.3 – Решения уравнения (1.42) для начальных условий: а) y(10) = 3(красная кривая), y(−10) = −3 (синяя кривая); б) y(5) = 6 (красная кривая),y(−5) = −6 (синяя кривая); y(1) = 1 и y(1) = −1 (черные кривые)y(x) может иметь как одну, так и две особые точки в зависимости от скорости еероста.
Графики возможных случаев приведены на рисунке (1.4).Исследование уравнения (1.44) оказывается несколько сложнее. Как и двадругих уравнения (1.42), (1.43), оно не изменяется при замене x → −x , y → −y ,то есть его решения, отвечающие начальным условиям y(x0 ) = y0 и y(−x0 ) =−y0 будут симметричны относительно начала координат, поэтому ограничимсяслучаем y0 > 1 .При x < 0 , y0 > 1 производная y ′ (x) < 0 , следовательно, при убывании xфункция y(x) будет расти, как и |y ′ (x)| .
При этом скорость изменения функцииy1 (x) =x(96π + x2 )4(48π + x2 )всегда положительна и не превышает 1/2 . Тогда, начиная с некоторого x∗ < 0 ,y(x∗ ) = y ∗ , в уравнении (1.44) можно пренебречь постоянными слагаемыми вскобках, и оно примет вид2(24π + x2 ) 3y =y .x(96π + x2 )′(1.49)40а) одна особая точкаб) две особых точкиРис. 1.4 – Решения уравнения (1.43) для начальных условий: а) y(24) = 6(красная кривая), y(−24) = −6 (синяя кривая); б) y(10) = 2,7 (красная кривая),y(−10) = −2,7 (синяя кривая); y(1) = 1 и y(1) = −1 (черные кривые)Его решениеy∗,y(x) = √1 − C ln (x2 (96π + x2 )))]([(1.50)C = −(y ∗ )2 ln (x∗ )2 96π + (x∗ )2имеет особенность в точкеv√u()u1t(2)xs = − −48π + (48π)2 + (x∗ )2 (96π + (x∗ )2 ) exp(y ∗ )2и не может быть продолжено за нее.При x > 0 , y0 > 1 производная y ′ (x) может обратиться в ноль, только еслив некоторой точке xm решение уравнения пересекает функцию y1 (x) : y(xm ) =y1 (xm ) .
Поскольку y ′′ (xm ) > 0 , то xm может быть только точкой максимума, а таккак y1 (x) монотонно растущая функция, то этот максимум будет единственным, иlim y(x) = 1.x→+∞По аналогии с рассуждениями, примененными к уравнению (1.42), можнопоказать, что решение y(x) будет ограничено сверху при x > 0 , если y0 ≤ y1 (x0 ) .41Так как y1′ (x) ≤ 1/2 , то очевидно, что если y ′ (x0 ) ≥ 1/2 , что отвечает условию√1 96πx0 + x30 + x60 + (192π + 64)x40 + (9216π 2 + 6144π)x20 + 147456π 2y0 ≥,848π + x20(1.51)то y(x) будет возрастать неограниченно, как и y ′ (x) , значит, начиная с некоторогоx∗ , y(x∗ ) = y ∗ , уравнение (1.44) можно упростить и записать в виде (1.49). Егорешение имеет вид (1.50) и оно расходится приv√u()u1t−48π + (48π)2 + (x∗ )2 (96π + (x∗ )2 ) expx(1).s =(y ∗ )2Если же y0 лежит в интервале от y1 (x0 ) до (1.51), то функция y(x) при x > 0может быть как конечной, так и расходящейся в зависимости от того, насколькобыстро она растет.В окрестности x = 0 можно записать приближенное уравнение, которое будет совпадать с таковым для случая (1.42).
Таким образом, x = 0 является точкойминимума решения y(x) , иlim y(x) = 1.x→±0Графики, отражающие возможное поведение решений уравнения (1.44) приведены на рисунке (1.5).Теперь, имея представление о поведении решений уравнений (1.42)–(1.44),мы можем выяснить, как протекает эволюция вселенной, заполненной полями ссоответствующими потенциалами.1.2.2. Эволюция вселенной, заполненной скалярным полем с потенциаламиm2 φ2 /2 , λφ4 /4 и m2 φ2 /2 + λφ4 /4В подразделе 1.1.5 была установлена связь между этапами эволюции вселенной и величиной решения уравнения Абеля (1.15). Поскольку решения всех трехуравнений (1.42)–(1.44) ведут себя похожим образом, очевидно, что и динамикавселенных, заполненных одним из скалярных полей с соответствующим потенциалом, будет иметь общие черты.Прежде чем обратиться к исследованию поведения вселенной, определимся свыбором знаков κ , σ и функции y(x) .
Будем полагать, что что время t > t0 > 0 и42а) одна особая точкаб) две особых точкиРис. 1.5 – Решения уравнения (1.44) для начальных условий: а) y(10) = 3(красная кривая), y(−10) = −3 (синяя кривая); б) y(3) = 2 (красная кривая),y(−3) = −2 (синяя кривая); y(1) = 1 и y(1) = −1 (черные кривые)растет, масштабным фактор a > 0 и увеличивается со временем. Это означает, чтопараметр Хаббла должен быть больше нуля, то есть κ = 1 . Тогда согласно (1.17)скалярное поле убывает, если σy > 0 и возрастает, если σy < 0 .
Из (1.18), (1.19)следует, что поведение масштабного фактора и времени в таком случае не зависитот знака σy , поэтому для простоты мы можем выбрать σ = 1 , y ≥ 1 , и в этомслучае φ̇ < 0 , а значит, φ < φ0 , и следует рассматривать решение уравненияАбеля в области x < x0 .Согласно анализу, проведенному в предыдущем подразделе, если даже реше(1)(1)ние y(x) имеет особую точку xs при x > 0 , то xs > x0 , то есть y(x) конечно√в области x ∈ [0; x0 ] .
В случае y0 ≥ 3 в начальный момент времени вселеннаярасширяется ускоренно, иными словами, она находится в состоянии инфляции.При уменьшении скалярного поля (что отвечает уменьшению x ) y(x) может либомонотонно убывать, либо сначала возрастать, достигая максимума, а затем убывать√до y(0) = 1 . Когда y(x) становится меньше 3 инфляция прекращается, и далее√вселенная расширяется замедленно. При y < 2 давление скалярного поля становится положительным. Скорость изменения скалярного поля при этом все время43остается отрицательной, и в точке x = 0lim φ̇ = const < 0,x→0то есть за конечное время поле становится равным нулю и продолжает убывать.(2)Легко показать, что функция y достигает сингулярности в xs < 0 за конечное время.
Для простоты будем рассматривать случай потенциала m2 φ2 /2 .(2)Действительно, в окрестности xs можно полагать y 2 − 1 ≈ y 2 . Используя()ре(2)шение вида (1.47) для приближенного уравнения, и полагая V (x) ≈ V xsввыражении для времени (1.19), имеемt(2)s∗≈ t +√ν2V∫x∗−1()∗y(ξ)dξ ≈ t + √(2)xs x(2)sν2V∫x∗−1()(2)xs x(2)s√y∗1 + (y ∗ )2 ln(∗ )2dξ,xξгде t∗ = t(x∗ ) , x∗ < 0 .
Этот интеграл вычислить точно невозможно, однако онпредставляет собой площадь под кривой y(ξ) , для которой существует обратнаяфункция ξ(y) , поэтому, переходя от интегрирования по ξ к интегрированию поy , получаем(())−11ν,t(2)≈ t∗ + √ ( ) x∗ 1 − exps2 (y ∗ )2(2)2V xsчто является конечной величиной. Из выражения для масштабного фактора (1.18)(2)сразу же следут, что масштабный фактор также конечен при x = xx .Проанализируем теперь поведение поля в точке x = xs . Как уже упоминалось в подразделе 1.1.2, при |y| → +∞ , φ̇ = 0 теорема 1 о сведении уравненийдвижения поля к уравнению Абеля первого рода перестает выполняться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
