Диссертация (1155105), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2.1 – Решения уравнения (2.18) для начальных условий а) κ ς = +1 :y(1) = 2 , y(1) = −2 (красные кривые), y(1) = 4 , y(1) = −4 (зеленые кривые),y(1) = 1 , y(1) = −1 (черные кривые); б) κ ς = −1 : y(1) = 0,55 (синяя кривая),y(1) = 2 , y(1) = −2 (пурпурные кривые), y(1) = 3 , y(1) = −3 (серые кривые)Следующие три подраздела посвящены подробному рассмотрению решенийуравнений Эйнштейна–Фридмана для каждого класса решений уравнения Абеля (2.18).722.2.2.
Случай C = 0Рассмотрим поведение скалярного поля φ и масштабного фактора a , а также некоторых других величин, характеризующих динамику вселенной, в случае,соответствующем нулевой постоянной интегрирования C = 0 в решении (2.19)уравнения Абеля для экспоненциального потенциала.Исследуем первую возможность выбора κ и ς : κ ς = −1 .
Как уже упоминалось ранее (смотри подраздел 1.1.2), решения y = ±1 являются особым случаеми возможны только для потенциала V = 0 , что соответствует Vc = 0 . Выбираяв качестве начальных условий φ(t0 ) = φ0 , (dφ/dt) |t=t0 = φ̇0 , a(t0 ) = a0 , где t0— некоторый момент времени, мы получаем выражения для скалярного поля, скорости его изменения, второй производной скалярного поля по времени, параметраХаббла, масштабного фактора, первой и второй производных масштабного фактора по времени, плотности энергии и давления скалярного поля, а также слабого исильного энергетического условий:[]√MP2 3πφ = φ0 + κ √ ln 1 + κφ̇0 (t − t0 ) ,MP2 3π][√2 3π(φ − φ0 ) ,φ̇ = φ̇0 exp −κMP[]√√2 3π 23πφ̈ = −κφ̇0 exp −κ(φ − φ0 ) ,MPMP[]√2 3πH = H0 exp −κ(φ − φ0 ) ,MP√[]2πa = a0 exp κ(φ − φ0 ) ,MP 3√][4π(φ − φ0 ) ,ȧ = a0 H0 exp −κMP 3√[]10 π8π2ä = − 2 a0 φ̇0 exp −κ(φ − φ0 ) ,3MPMP 373]√4 3πρ = ρ0 exp −κ(φ − φ0 ) ,MP[[]√4 3πp = p0 exp −κ(φ − φ0 ) ,MP[]√4 3πρ + p = 2ρ0 exp −κ(φ − φ0 ) ,MP[]√4 3πρ + 3p = 4ρ0 exp −κ(φ − φ0 ) .MPЗдесь κ = −1 для y = +1 , κ = +1 для y = −1 и появляется вследствиенеопределенности знака при извлечении корня из обеих частей уравнения( )2dG= G 2 (Φ),dΦполучающегося из (2.9) при подстановке V = 0 .
Постоянные H0 , ρ0 и p0 связаныс φ̇0 следующим образом:2H0 = κMP√πφ̇0 ,3φ̇20.p0 = ρ0 =2Исследуем теперь вселенную, описываемую приведенными выше выражениями. Поведение скалярного поля и масштабного фактора в конечном итоге зависитисключительно от знаков κ и φ̇0 .Если κ φ̇0 > 0 , тоȧ > 0,ä < 0,следовательно, решения описывают вселенную, которая расширяется, замедляясяс течением времени, и имеет сингулярность в прошлом. Действительно, функциязависимости скалярного поля от времени имеет особую точкуMPts = t0 − κ √< t0 .2 3π φ̇0Тогда ее область определения — t ∈ (ts ; +∞) .
Для первой и второй производных74по времени от скалярного поля на всей области определения выполняется условиеφ̇ φ̈ < 0,то есть скалярное поле изменяется замедленно, возрастая при φ̇0 > 0 и убываяпри φ̇0 < 0 . В таблице 2.2 приведены значения некоторых параметров, характеризующих эволюцию вселенной, при φ → −∞ и φ → +∞ . Скалярное полеТаблица 2.2 – Поведение скорости изменения скалярного поля, параметра Хаббла,масштабного фактора, его первой производной по времени, плотности энергииполя, давления поля, слабого и сильного энергетических условий при φ → −∞ иφ → +∞ для κ φ̇0 > 0tφφ̇Haȧρpρ+pρ + 3pts−φ̇0 · ∞+ φ̇0 · ∞+∞0+∞+∞+∞+∞+∞+∞+ φ̇0 · ∞00+∞00000за конечное время убывает, замедляясь, от +∞ до φ0 (возрастает от −∞ до φ0 ),а затем продолжает убывать (расти), достигая −∞ ( +∞ ) за бесконечное время.Масштабный фактор возрастает замедленно от нуля до a0 за конечное время ипродолжает расти, достигая +∞ за бесконечное время.
При этом плотность идавление скалярного поля, оставаясь все время положительными, убывают от +∞до нуля. Соответственно, и слабое энергетическое условие ρ + p > 0 , и сильноеэнергетическое условие ρ + 3p > 0 выполняются на протяжении всего времениэволюции вселенной.Случай κ φ̇ < 0 полностью повторяет предыдущий, за исключением того,что теперь функция зависимости скалярного поля от времени имеет область определения t ∈ (−∞; ts ) и ts > t0 . Масштабный фактор убывает +∞ до нуля,ускоряясь со временем, и скалярное поле также меняется ускоренно. Таким образом, подобные решения описывают такую же эволюцию, как и в предыдущемслучае, но обращенную во времени.Отметим, что знак κ определяет поведение скалярного поля и масштабногофактора во времени, и случаи, соответствующие одному и тому же знаку κ , аналогичны при обращении времени в одном из них.
Кроме того, случаи для различныхзнаков κ отличаются только видом функции φ(t) , описывающей скалярное поле:при κ = −1 эта функция выпукла вниз, а при κ = +1 — вверх.75Графики зависимости от времени для скалярного поля и масштабного фактора приведены на рисунке 2.2.а) масштабный факторб) скалярное полеРис. 2.2 – Графики зависимости а) масштабного фактора и б) скалярного поля от2времени для начальных условий t0 = 10 M−1P , φ0 = 1 MP , φ̇0 = ±1 MP , a0 = 12при κ φ̇0 > 0 (красные кривые) и t0 = 8 M−1P , φ0 = 1 MP , φ̇0 = ±1 MP , a0 = 1при κ φ̇0 < 0 (синие кривые); масштабный фактор выражен в условных единицахРассмотрим вторую возможность в выборе κ и ς : κ ς = +1 .
Решения y =3κ возможны только в случае специфического выбора начального значения дляскорости изменения поля√)(πβκ √2φ0 ,(2.21)φ̇0 =Vc exp κ2MP 3где φ0 = φ(t0 ) , φ̇0 = (dφ/dt) | t=t0 , и t0 — некоторый момент времени. Такимобразом, знак φ̇0 определяется выбором параметра β и знака κ в модельномпотенциале.Приведем выражения для скалярного поля, скорости его изменения, второйпроизводной скалярного поля по времени, параметра Хаббла, масштабного фактора, первой, второй и третьей производных масштабного фактора по времени,плотности энергии и давления скалярного поля, а также слабого и сильного энергетического условий:76MPφ = φ0 − κ2√√[]32πln 1 − κφ̇0 (t − t0 ) ,πMP 3√][2π(φ − φ0 ) ,φ̇ = φ̇0 exp κMP 32φ̈ = κMP√√[]π 24πφ̇ exp κ(φ − φ0 ) ,3 0MP 3[2H = H0 exp κMP√]π(φ − φ0 ) ,3]√2 3πa = a0 exp −κ(φ − φ0 ) ,MP[[4ȧ = a0 H0 exp −κMP√]π(φ − φ0 ) ,3√[]π8π2ä = 2 a0 φ̇20 exp −κ(φ − φ0 ) ,MPMP 316π...a = −κ 3MP√πa0 φ̇30 ,3√][4π(φ − φ0 ) ,ρ = ρ0 exp κMP 3√[]4πp = p0 exp κ(φ − φ0 ) ,MP 3√[]Vc4πρ+p=exp κ(φ − φ0 ) ,4MP 3√[]43π(φ − φ0 ) .ρ + 3p = − Vc exp κ2MP 377Постоянные H0 , ρ0 и p0 связаны с φ0 и φ̇0 следующим образом:√2 3πH0 = − κφ̇0 ,MP√()9 24πρ0 = φ̇0 exp −κφ0 ,2MP 3√()7 24πp0 = − φ̇0 exp −κφ0 .2MP 3Поведение скалярного поля и масштабного фактора в конечном итоге зависитисключительно от знаков κ и φ̇0 .Если κ φ̇0 < 0 , тоȧ > 0,ä > 0,следовательно, решения описывают вселенную, которая расширяется, ускоряясь стечением времени, и имеет сингулярность в прошлом.
Действительно, функциязависимости скалярного поля от времени имеет особую точкуMPts = t0 + κ √< t0 .2 3π φ̇0Тогда ее область определения — t ∈ (ts ; +∞) . Для первой и второй производныхпо времени от скалярного поля на всей области определения выполняется условиеφ̇ φ̈ < 0,то есть скалярное поле изменяется замедленно, возрастая при φ̇0 > 0 и убываяпри φ̇0 < 0 .
В таблице 2.4 приведены значения некоторых параметров, характеризующих эволюцию вселенной, при φ → −∞ и φ → +∞ . Скалярное полеТаблица 2.4 – Поведение скорости изменения скалярного поля, параметра Хаббла,масштабного фактора, его первой производной по времени, плотности энергииполя, давления поля, слабого и сильного энергетических условий при φ → −∞ иφ → +∞ для κ φ̇0 < 0tφφ̇Haȧρpρ+pρ + 3pts−φ̇0 · ∞+ φ̇0 · ∞+∞00+∞−∞+∞−∞+∞+ φ̇0 · ∞00+∞+∞000078за конечное время убывает, замедляясь, от +∞ до φ0 (возрастает от −∞ до φ0 ),а затем продолжает убывать (расти), достигая −∞ ( +∞ ) за бесконечное время. Масштабный фактор возрастает ускоренно от нуля до a0 за конечное времяи продолжает расти, достигая +∞ за бесконечное время.
При этом плотностьскалярного поля остается все время положительной и убывает от +∞ до нуля,а давление — отрицательным, и изменяется от −∞ до нуля. Соответственно, напротяжении всего времени эволюции вселенной слабое энергетическое условиеρ + p > 0 выполняется, а сильное энергетическое условие ρ + 3p > 0 нарушается.Случай κ φ̇0 > 0 полностью повторяет предыдущий, за исключением того,что теперь функция зависимости скалярного поля от времени имеет область определения t ∈ (−∞; ts ) и ts > t0 . Масштабный фактор убывает +∞ до нуля,замедляяся со временем, а скалярное поле меняется ускоренно. Таким образом,подобные решения описывают такую же эволюцию, как и в предыдущем случае,но обращенную во времени.Отметим, что знак κ определяет поведение скалярного поля и масштабногофактора во времени, и случаи, соответствующие одному и тому же знаку κ аналогичны при обращении времени в одном из них.
Кроме того, случаи для различныхзнаков κ отличаются только видом функции φ(t) , описывающей скалярное поле:при κ = +1 эта функция выпукла вниз, а при κ = −1 — вверх.Графики зависимости от времени для скалярного поля и масштабного фактора приведены на рисунке 2.3.Итак, решения уравнения Абеля (2.19) с нулевой постоянной интегрированияприводят к двум возможностям: κ ς = −1 и κ ς = +1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
