Диссертация (1155105), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Согласно [100],таковые могут быть описаны с помощью калибровочно-инвариантного потенциала Φ(t, x) , задающего возмущение фоновой метрики ФЛРУ и калибровочно-инвариантного возмущения скалярного поля δφ(t, x) , определяющего отклонения отфонового скалярного поля φ(t) . Здесь x = (x1 , x2 , x3 ) — трехмерный вектор.Функции Φ и δφ с точностью до первого порядка малости удовлетворяютуравнениям())4π (∆Φ − 3H Φ′ − H ′ + 2H 2 φ = 2 φ ′ δφ ′ + a2 V, φ δφ ,MP4πΦ′ + H = 2 φ ′ δφ,MP())4π (Φ′′ + 3H Φ′ + H ′ + 2H 2 Φ = 2 φ ′ δφ ′ − a2 V, φ δφ ,MP(2.22)где штрих обозначает производную по конформному времени d/dη , dη = a−1 dt ,∆ — трехмерный оператор Лапласа для пространственных координат, H = a′ /a .Используя замену переменнойφ′Φ=u(2.23)aи вводя функциюHθ=,(2.24)aφ ′можно привести эти уравнения к видуu′′ − ∆u −θ ′′u = 0.θ(2.25)90Будем искать его решение в виде плоских волнu(η, x) = uk (η)eikx ,(2.26)где k = (k 1 , k 2 , k 3 ) — трехмерный волновой вектор.

Тогда uk (η) должна бытьрешением волнового уравненияu′′k −θ ′′uk = −k 2 uk .θ(2.27)Рассмотрим поведение uk в окрестности точки η = ηm , соответствующей времениt = tm . Выразим соотношение θ′′ /θ через функцию f и разложим его в ряд вокрестности f (ηm ) = 3θ ′′2 · 31/4 π |Vc | 2≈a (f − 7) .θM2P |C|1/4 mТеперь разложим в ряд f в окрестности η = ηm√√16 2 · 35/8 |Vc |f (η) = 3 + κ βam (η − ηm ),MP|C|1/8(2.28)(2.29)и подставим это разложение в (2.33)θ ′′≈ −A2 + 2 · 31/2 κ βA3 (η − ηm ),θгде√√2 2 · 31/8 π |Vc |A=am .M|C|1/8Таким образом, приближенное уравнение для амплитуды uk возможно решитьточно, хотя и не в элементарных функциях:[])21/3 · 31/6 (uk = C1 Ai6κ βA3 (η − ηm ) − 31/2 (k 2 + A2 ) +26A[])1/31/6 (2 ·3+ C2 Bi6κ βA3 (η − ηm ) − 31/2 (k 2 + A2 ) , (2.30)26Aгде C1 и C2 — произвольные постоянные интегрирования, и Ai , Bi — функцииЭйри. Эти функции осциллируют около нуля при отрицательных значениях аргумента [12], что, с учетом малости (η − ηm ) , как раз является нашим случаем.Тогда из (2.23), соотношения φ ′ = aφ̇ и конечности a и φ̇ при f = 3 следует,91что амплитуда Φk функции Φ = Φk (η)eikx не может возрастать значительно вокрестности точки η = ηm .Второе из уравнений (2.22) дает выражение для амплитуды δφk калибровочно-инвариантных возмущений скалярного поля δφ = δφk (η)eikx .

Посколькудля отрицательных аргументов производные функций Эйри также осциллируютоколо нуля, φ̈ принимает конечное значение при f = 3 , и ȧ обращается в ноль,амплитуда флуктуаций скалярного поля также слабо изменяется в окрестности η =ηm .Таким образом, несмотря на то что эффективный параметр уравнения состояния wef f и производная давления скалярного поля по его плотности dp/dρрасходятся при t = tm , малые скалярные флуктуации метрики и поля остаютсятаковыми даже вблизи этой точки.Итак, при выборе отрицательной постоянной интегрирования C < 0 в решении уравнения Абеля (2.19) мы получаем два принципиально отличающихсяслучая в зависимости от выбранного знака потенциала.Если потенциал положителен, то решения уравнений Эйнштейна–Фридманаопределяют, в зависимости от знака начальной скорости изменения поля, либо вначале замедленно, а затем ускоренно расширяющуюся вселенную, либо вначале замедленно, а затем ускоренно сжимающуюся вселенную, имеющую сингулярностьтипа «Большой взрыв».Если потенциал отрицателен, то решения уравнений Эйнштейна–Фридманаопределяют вселенную с конечным временем жизни, вначале замедленно расширяющуюся, а затем ускоренно сжимающуюся, и имеющую две сингулярности типа«Большой взрыв».2.2.4.

Случай C > 0Рассмотрим поведение скалярного поля, масштабного фактора и некоторыхдругих величин, характеризующих эволюцию вселенной, при положительной постоянной интегрирования в решении (2.19) уравнения Абеля. Поскольку при этомобласть допустимых значений y лежит в интервале y ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞)( κ = +1 ) или y ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞) ( κ = −1 ), это возможно толоко в случаеположительного потенциала Vc > 0 . Начальное значение для скалярного поля при92этом задается формулой√√π√κ M16φ√Vc κ M2 π3 φ01−Ce P 3 0√κβ √ e P√√π2κ M163 φ0P1+ 1−Ce√√πφ̇0 =√16κφ√MVc κ M2 π3 φ01−Ce P 3 0P√−κ β √ e√√π2κ M16φ1− 1−Ce P 3 0дляκ ς = +1,дляκ ς = −1.где φ0 = φ(t0 ) , φ̇0 = (dφ/dt) | t=t0 , и t0 — некоторый момент времени.

Таким образом, при заданном потенциале начальное значение скорости изменения поля φ̇0определяется начальным значением поля φ0 и начальным значением для решенияуравнения Абеля y(x0 ) = y0 . Знак φ̇0 задается двумя параметрами κ и β .Отметим, что этот случай принципиально отличается от ранее рассмотренныхв данном подразделе, так как любое решение уравнения Абеля при C > 0 имеетодну особую точку x = xs , соответствующую некоторому√][(y0 − κ )2MP 3.lnφc = φ0 + κ16 π(y0 − κ )2 − 4Мы уже упоминали (подраздел 1.2.2), что в этой точке нельзя пользоваться формулами, связывающими x , y , φ и φ̇ , но во всех остальных точках по прежнемудля описания эволюции вселенной можно использовать уравнения Абеля.

Скорость изменения поля при φ = φc обращается в ноль, но уже вторая производнаяскалярного поля по времени отлична от нуля и√π4′V (φc ),lim φ̈ = −2V (φc ) = κφ→φcMP 3то есть φ̇ должна изменить знак в момент времени t = tc , tc = t(φc ) , иными словами, функция скалярного поля обладает единственным макисмумом илиминимумом φ = φc . В терминах решений уравнения Абеля это означает, чтодля скалярного поля, масштабного фактора и других величин, описывающих вселенную, при t > tc , нужно выбрать решение y(x) с иным знаком, чем то, чтоиспользовалось при t < tc , но имеющее особенность в той же точке x = xs .Необходимо пояснить, почему изменение знака φ̇ должно производится только с помощью выбора новой функции y(x) , хотя имеется еще один параметрβ = ±1 , управляющий знаком φ̇ . Рассмотрим поведение третьей производной93φ по времени при φ → φc[]√√√()...Vφ = βν2V V ′ ch η sh2 η − 2V V ′′ sh η +ch2 η + sh2 η (V ch η sh η − V ′ ) ,2√√...8 2πφlim = κ βV (φc ) V (φc ).(2.31)φ→φcM2P...Как видно из (2.31), для заданного κ знак φ (tc ) не зависит от знака η(x) , который совпадает с таковым у y(x) , однако замена β на −β при переходе черезточку t = tc приводит к разрыву в третьей производной, а также всех следующихпроизводных нечетного порядка.Более подробно сшивка решений в точке φ = φc будет рассмотрена далее,после описания возможных вариантов поведения скалярного поля и масштабногофактора, зависящих от выбора параметра κ , ς и начальной скорости измененияполя φ̇0 .Вначале обратимся к случаю κ ς = +1 , который, в зависимости от знакаy0 , определяет решения с областью допустимых значений y ∈ (−∞; −3) илиy ∈ (3; +∞) .

Обозначим√ )(16 πf ≡ C exp κφMP 3и приведем выражения для времени как функции скалярного поля, скорости изменения скалярного поля, второй производной скалярного поля по времени, параметра Хаббла, масштабного фактора, первой и второй производных масштабногофактора по времени, плотности энергии и давления скалярного поля, а также слабого и сильного энергетического условий:[()()]3 9 113 9 11MP C 1/8 3/83/8√ √z 2 F1, ; ; z − z0 2 F1, ; ; z0 ,t = t0 − β8 8 88 8 825/4 3π Vc√√κ β Vc f 1/8 1 − f√φ̇ = √,2 C 1/8 1 + √1 − f94φ̈ = −κMP√βH=−MP(a = a0f0fβȧ = −MPπ Vc f3 C 1/4√√[()]√(3f − 1) 1 + 1 − f + 2f,()2√1+ 1−f()√2+ 1−f2π Vc f√,√3 C 1/81+ 1−f)3/8 √√1/41/8√1+ 1−f√,1 + 1 − f0√√3/82π Vca0 f02+ 1−f√,3 C 1/8 1 + √1 − ff 1/40√3/8a0 f04π Vc1+f +2 1−f√√ä =,3M2P C 1/4 1 + √1 − f f 1/8 1 + √1 − f0Vc fρ=4C 1/4p=−1/4Vc f4C 1/4()2√2+ 1−f√,1+ 1−f1/4(√)f +3+4 1−f√,1+ 1−fVc f 1/4 (1 − f )√ρ+p=,2C 1/4 1 + 1 − fVc fρ + 3p = − 1/4C1/4()√f +1+2 1−f√.1+ 1−f√Здесь a0 = a(t0 ) , f0 = f (φ0 ) , z = (1 + 1 − f )/2 и z0 = z(f0 ) .Поведение скалярного поля и масштабного фактора в конечном итоге зависитисключительно от знаков κ и φ̇0 .Остановимся более подробно на случае κ φ̇0 < 0 .

Рассмотрим вначале функцию f = f (φ) . Поскольку она входит в решение уравнения Абеля y(x) в виде95√1/ 1 − f , область значений этой функции определяется областью определенияy(x) : f ∈ (0; 1) при φ ∈ (−∞; φc ) для κ = +1 и при φ ∈ (φc ; +∞) дляκ = −1 . Ее пределы при φ → −κ · ∞ и φ → φc − 0limφ→−κ ·∞f = 0,lim f = 1.φ→φc −0На интервале f ∈ (0; 1) ни одна из приведенных выше функций, характеризующих эволюцию вселенной, не имеет особых точек. При этомsgn(φ̇) = sgn(φ̇0 ),φ̇ φ̈ < 0 при φ ∈ (−∞; φb ), (κ = +1) или φ ∈ (φb ; +∞), (κ = −1),φ̇ φ̈ > 0 при φ ∈ (φb ; φc ), (κ = +1) или φ ∈ (φc ; φb ), (κ = −1),гдеMPφb = κ16√)( √32 13 − 5,lnπ9Cследовательно, скалярное поле вначале изменяется ускоренно, а затем замедленно.Для масштабного фактора верноȧ > 0,ä > 0,следовательно, вселенная расширяется с ускорением. Функция времени при φ →−κ · ∞ и φ → φc − κ · 0 ведет себя следующим образом:limt = +∞,limt = tc ,φ→−κ ·∞φ→φc −κ ·0где( )()2−5/4 MP C 1/8  1 3/83 9 11 1√tc = t0 + √, ; ;−2F 128 8 8 23πVc()3/8 ()√√3 9 11 1 + 1 − f0 1 + 1 − f0, ; ;−,2F 128 8 82В таблице 2.10 приведены значения некоторых параметров, характеризующих эволюцию вселенной, при φ → −κ · ∞ и φ → φc − κ · 0 .

Скалярное поле вначалеубывает (возрастает), ускоряясь, от значения φc ( φb ) до φb ( φc ), а затем про-96Таблица 2.10 – Поведение скорости изменения скалярного поля, параметраХаббла, масштабного фактора, его первой производной по времени, плотностиэнергии поля, давления поля, слабого и сильного энергетических условий приφ → −∞ и φ → φc − 0 для κ φ̇0 <0tφφ̇Haȧρpρ+pρ + 3ptcφc0Hcacȧcρc−ρc0−2ρc+∞+ φ̇0 · ∞00+∞+∞0000должает убывать (расти) замедленно, достигая −∞ ( +∞ ) за бесконечное время.Масштабный фактор возрастает ускоренно от значения3/8a0 f0ac = √√1 + 1 − f0и с конечной начальной скоростью2ȧ(φc ) ≡ ȧc =MP√3/82π Vca0 f0√,3 C 1/8 1 + √1 − f0достигая +∞ за бесконечное время. При этом плотность скалярного поля остаетсявсе время положительной и убывает от конечного значенияρc =VcC 1/4до нуля. Давление скалярного поля все время отрицательно.

Характеристики

Список файлов диссертации