Диссертация (1155105), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Спектральный индекс тогда задается выражением1 − ns = 4k 2 .Таким образом, солитонные решения всех уравнений из иерархии КдФ такжеоказываются решениями уравнения (3.2), связывающего параметр Хаббла и спектральный индекс возмущений плотности в приближении медленного скатывания.3.2. Применение преобразования Дарбу для построения инфляционныхпотенциалов и спектральных индексовВ данном разделе рассматривается простой способ построения инфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов спектров возмущений плотности.
В первом подразделе показано сведение уравнения для спектрального индекса в приближении медленного скатывания к ЛСУШ. Второй подраздел посвящен непосредственно ПД для нескольких вариантов исходного спектрального индекса. В третьем подразделе приводятся новые инфляционные потенциала и спектральные индексы. В четвертом разделе выражение для параметраХаббла, указанное в работе Лидси [87], находится более простым способом с по-121мощью УШ.3.2.1. Сведение уравнения для спектрального индекса к уравнениюШредингераОбратимся вновь к уравнению (3.2), связывающего параметр Хаббла и спектральных индекс в нулевом порядке приближения медленного скатывания. Будемполагать, что спектральный индекс, вообще говоря, зависит от скалярного поля φ ,то есть ns = ns (φ) .
Приведем следующее утверждение.Утверждение 1 Пустьz ′′z′ 2− β 2 = U (φ),(3.22)zzгде z = z(φ) , α , β — некоторые постоянные, и штрих обозначает d/dφ . Тогдафункцияα−βz = ψ α , α ̸= β,αявляется решением уравнения (3.22), если ψ(φ) удовлетворяет УШψ ′′ =α−βU (φ) ψ.α2Если α = β , то соответствующими функцией и уравнением будутz = eφи1U (φ)ψ.αИспользуя это утверждение, можно свести уравнение (3.2) к ЛСУШ. Для началаизбавимся от размерного множителя в правой части (3.2): выполним замену переменнойMPeφ = √ φ.8πУравнение принимает видψ ′′ =H ′′H′ 24− 8 2 = −(1 − ns ).HHe . В нашем слуТеперь штрих обозначает производную по новой переменной d/dφe = Hc ψ −1 (φ)e ( Hc = const ) и φeчае z ≡ H , α = 4 , β = 8 , так что H(φ)122удовлетворяет уравнению−ψ ′′ −ens (φ)1ψ = − ψ.44e = 2x и введем обозначение ns (x) =Для удобства выполним подстановку φ−U (x) .
Тогда для ψ(x) имеем УШd2 ψ− 2 + U (x) ψ = −ψ.dx(3.23)Запишем теперь УШ (3.23) для произвольного спектрального параметра Ed2 ξ+ U (x)ξ = Eξ.dx2(3.24)Решение ψ(x) соответствует значению E = −1 : ξ(x; E = −1) = ψ(x) .Рассмотрим теперь уравнения Эйнштейна–Фридмана (3.8). Главным образомнас интересует случай инфляции с убывающим скалярным полем φ̇ < 0 .
Такоеусловие подразумевает H ′ > 0 . С учетом того, чтоḢ = H ′ φ̇,из φ̇ < 0 следует Ḣ < 0 , то есть, если убывает скалярное поле, то параметрХаббла также уменьшается.Инфляция начинается при достаточно больших значениях скалярного поляφ [25]. Вместе с тем значение параметра Хаббла тоже должно быть велико. Поэтому естественно предположить, чтоH → +∞ при|φ| → ∞.e = ψ −1 (φ)e ,φe = 2x следует. что функция ψ(x) должна бытьИз подстановки H(φ)интегрируема с квадратом, то естьψ → 0 при|x| → ∞.Помимо этого, требуется наложить на ψ(x) ограничение: функция ψ(x) не должна обращаться в нуль, так как в ее нулях параметр Хаббла имеет особенности. Вобщем, необходимо, чтобы ψ(x) удовлетворяла следующим условиям:ψ → 0 при|x| → ∞,ψ(x) > 0 для ∀x.(3.25)123Таким образом, согласно осцилляционной теореме, ψ(x) является собственнойфункцией основного состояния, отвечающей собственному значению E = −1 .3.2.2.
Преобразование Дарбу и новый потенциал: нулевой спектральныйиндексПриступим к построению новых инфляционных потенциалов и соответствующих им спектральных индексов, используя ПД. В уравнениях (3.23), (3.24) введем обозначения U (x) ≡ U (0) (x) , ξ(x) ≡ ξ (0) (x) , ψ(x) ≡ ψ (0) (x) . Теперь уравнение (3.24) имеет видd2 ξ (0)−+ U (0) ξ (0) = E ξ (0) .(3.26)2dxНачнем с простого потенциала U (0) ≡ 0 , который получается при выбореспектрального индекса ns ≡ 0 .
Рассмотрим сейчас E = −1 . Подставляя U (0) иE в (3.26), получаемd2 ψ (0)= ψ (0) .2dxОбщее решение этого уравненияψ1 (x) = C1 ex + C2 e−x ,(0)где C1 , C2 — произвольные постоянный интегрирования. Даже если положить(0)C1 C2 > 0 , что обеспечивает постоянный знак ψ1 (x) , такое решение нарушает(0)второе из условий (3.25).
Однако, используя ψ1 в качестве опорной функции ПД,можно построить решение уравнения (3.24) с требуемыми характеристиками.Легко показать, что1(1)ψ1 = (0)ψ1является решением уравненияd2 ψ (1)−+ U (1) ψ (1) = −ψ (1) ,2dxгдеU(1)d= U (0) − 2dx((0)1 dψ1(0)ψ1 dx)(C1 ex − C2 e−x= −2 + 2C1 ex + C2 e−x)2.124Выбирая C1 = C2 = 1/2 , получаем так называемый односолитонный потенциалU (1) = −2,ch2 x(0)и поскольку ψ1 = ch x ,(1)ψ1 =(1)Новая функция ψ11.ch(x)удовлетворяет обоим условиям из (3.25):(1)ψ1 → 0 при|x| → ∞,(1)ψ1 > 0 для ∀x.Далее добавим новый уровень к спектру гамильтонианаd2(1)cH = − 2 + U (1) (x).dxДля этого воспользуемся свойством гамильтонианаb(b − r)d2,Hc = − 2 −dxch2 xb(b − r) ≥ 0.Такой гамильтониан имеет собственную функциюψ = chb/r (rx),отвечающую собственному значению E = −b2 . В нашем случае r = 1 и b(b−r) =b(b−1) = 2 , так что b может принимать значения b1 = −1 и b2 = 2 .
Для b1 = −1имеем1,ch xE = −1,ξ2 = ch2 x,E = −4.(1)ψ1 =и для b2 = 2(1)(1)Функция ξ2 не удовлетворяет условиям (3.25), но ее вновь можно использовать как опорную в ПД. Функции(1)(2)ψ1(2)(1)dψ11 dξsh x(1)=− (1) 2 ψ1 = −3,dxch xξ2 dxξ2 =1(1)ξ2=1ch2 x125являются решениями уравненияd2 ξ (2)6− 2 ξ (2) = E ξ (2) ,−2dxch x(2)где E = −1 соответствует ξ (2) = ψ12 , и E = −4 соответствует ξ (2) = ξ2 . Хотя(2)(2)ψ1 и не подчиняется условиям (3.25), подходящей функцией оказывается ξ2 ит.д.(2)Далее возникает следующая проблема: ξ2 — это собственная функция, отвечающая собственному значению E = −4 , однако, для того чтобы вернуться отУШ к уравнению для спектрального индекса в приближении медленного скатывания, необходимо значение E = −1 .
Есть два способа получить такое значениеe = 2y . В этомE . Первый способ заключается в замене переменной x = y/2 , φ(2)(2)случае для ξ2 (y) (то есть, ψ2 ) получаем(2)d2 ψ23(2)(2)−−ψ(y)=−ψ(y),222dy 22 ch (y/2)где(2)ψ2 (y) =(3.27)1.ch2 (y/2)(2)Другой способ состоит в переносе −3ξ2 (x) в левую часть УШ и включении −3в выражение для потенциала, так что УШ принимает вид(2)d2 ξ2−−dx2()6(2)(2)− 3 ξ2 = −ξ2 ,2ch xгде(3.28)1.ch2 xОбратимся теперь к спектральному индексу и параметру Хаббла и выведем(1)новый инфляционный потенциал. Начнем с ψ1 (x) . В этом случае(2)ξ2 (x) =2,ech (φ/2)( )eφHce = (1)= Hc ch.H (1) (φ)2eψ1 (φ)(1)e = −U (1) (φ)e =ns (φ)2Возвращаясь к размерной переменной φ ,(√)eφ=8π/MP φ,126имеем(1)ns (φ) =2),(√2πφch2MP(√)2πH (1) (φ) = Hc chφ .MPИспользуя уравнения Фридмана в форме Гамильтона–Якоби (3.8), находим инфляционный потенциал и скорость изменения скалярного поля((√))2M8πφ +7 ,V (1) (φ) = P Hc2 5 ch32πMPMPφ̇ = − √ Hc sh8π(√)2πφ .MPТеперь можно определить, как зависят от времени скалярное поле φ = φ(t) имасштабный фактор a = a(φ) :( √)1/2 2π/MP ) φ0(MP1+1e√φ = √ ln cth(t − t0 ) + ln,Hc2π e( 2π/MP ) φ0 − 1a = a0 e√8πMP((φ−φ0 )√e( 2π/MP ) φ0 − 1√(e 2π/MP ) φ − 1)2,где t0 — некоторый момент времени, φ0 = φ(t0 ) , φ0 > 0 , a0 = a(t0 ) .Такое решение описывает вселенную, в которой в начальный момент времени( √)22π/MP ) φ0(e1+1√lnts = t0 −Hce( 2π/MP ) φ0 − 1скалярное поле расходитсяlim φ(t) = +∞,t→ts −0а масштабный фактор стремится к нулюlim a(t) = 0.t→ts −0Из выражений для масштабного фактора и скалярного поля видно, что эти функ-127ции не имеют особенностей или нулей при t > ts , иlim φ(t) = + 0,t→+∞lim a(t) = + ∞.t→+∞ПосколькуHc2ä=a2())(√2πch2φ + 1 > 0 дляMP∀φ,инфляция в такой вселенной будет вечной.Проверим, принимает ли спектральный индекс значения близкие к единице вусловиях медленного скатывания2V (φ)≫1φ̇2(здесь полагаем 2V /φ̇2 ≥ 10 ).
Простые вычисления подтверждают, что условиемедленного скатывания выполняется при(√√ )111 + 6√φ ≤ √ lnMP ≈ 0,38 MP ,2π5(1)а ns (φ) ≤ 1 при(√)1φ ≥ √ ln2 + 1 MP ≈ 0,35 MP ,2πтак что в данной модели в ходе медленного скатывания спектральный индекс может приближаться к единице. Учитывая, что ns ∈ (0,939; 0,987) согласно наблюдениям [115], имеем диапазон соответствующих значений φ ∈ (0,36 MP ; 0,37 MP ) .(2)Воспользуемся теперь функцией ψ2 из (3.27) для получения еще одного инфляционного потенциала. Интерес представляет именно случай (3.27), а не (3.28),поскольку последний дает значения спектрального индекса заметно отличающиеся128e = 2y , получаемот единицы.
С учетом (3.27) и φ(2)(ns =2 ch23√),1πφMP 2(H(2)2= Hc ch1MP√)πφ .2Инфляционный потенциал и скорость изменения скалярного поля(√))√()(21Mπ2π5 chV (2) = P Hc2 ch2φφ +7 ,32πMP 2MPMPφ̇ = − √Hc sh32π(√)2πφ .MPОтсюда имеем явную зависимость от времени для скалярного поля и масштабногофактора( √)1/2 2π/Mφ(P) 0H+1MPec ,√φ = √ ln cth (t − t0 ) + ln2π/MP ) φ0(82π e−1a = a0 e√8πMP (φ−φ0 )1MP√πφ04− 1e √,1πMP2 φe−12где t0 — некоторый момент времени, φ0 = φ(t0 ) , φ0 > 0 , a0 = a(t0 ) . Динамика скалярного поля и масштабного фактора принципиально не отличается отописанной в предыдущем случае, только момент времени, отвечающий начальнойсингулярности, определяется как( √)22πMP φ0 )(2e+1√ts = t0 −ln.2πMP φ0 )(Hce−1Условие медленного скатывания2V (φ)≥ 10φ̇2129выполняется при1φ ≤ √ ln2πа ns (φ) ≤ 1 при√φ>(√ )17 + 2 66MP ≈ 0,76 MP ,5(√√ )26+ 2lnMP ≈ 0,53 MP .π2Таким образом, и в этой модели в ходе медленного скатывания спектральныйиндекс может приближаться к единице.
Наблюдениями соответствует диапазонφ ∈ (0,53 MP ; 0,57 MP ) .3.2.3. Преобразование Дарбу и новый потенциал: модельХаррисона–ЗельдовичаРассмотрим теперь построение нового инфляционного потенциала с помощью ПД, выбрав в качестве исходного спектрального индекса ns ≡ 1 [71] (см.также [13, 30]). Тогда в уравнении (3.23) U (x) ≡ U (0) (x) ≡ −1 , ψ(x) ≡ ψ (0) (x) ,и оно принимает видd2 ψ (0)= 0.dx2Это уравнение имеет решение(0)ψ 1 = C1 x + C2 ,где C1 , C2 — произвольные постоянные интегрирования.
Такое решение не удовлетворяет условиям (3.25), однако может быть использовано в качестве опорнойфункции ПД. Действительно, функция(1)ψ1 =1(0)ψ1=1C1 x + C2является решением уравненияd2 ψ (1)+ U (1) ψ (1) = −ψ (1) ,−dx2130где(U(1)C1= −1 + 2C1 x + C2)2,и к тому же согласуется с условиями (3.25).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
