Диссертация (1155090), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В левомрегулярном волноводе ( z  L ) поле состоит только из прошедшихволноводных мод, определяемых амплитудными коэффициентами Tn :u z  L   Tn n  x  exp  ik 0  n  z  L   .(97)n 1Поле в нерегулярном участке ( 0  z  L ) удовлетворяетГельмгольца с переменным коэффициентом[21-24, 145-153]:x, zуравнению k02 n 2  x, z   u  0(98)2где n  x, z  определена как nl2 , h  z   x  h1n  x, z    2. n f , 0  x  h  z 2(99)На границах z  0 , z  L должны выполняться условия непрерывности: u  z  0   u  z  L  0,  u  u  0,      z  z  0  z  z  L(100)где через  f x  a обозначен скачок функции f в точке a .Алгоритм численного решенияИщем приближенное решение уравнения (98) в виде частичной суммыряда по системе функций (94), удовлетворяющих граничным условиям [75]NuN x, z    Vn  z   n  x n 1где Vn  z  – искомые коэффициентные функции Канторовича[130,146].47(101)Проектируя уравнение Гельмгольца (98) на функции  n  x n 1 , получимNсистему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка видаh1 x, z k02 n 2  x, z   u N  n dx  0,n  1, N(102)0которую удобно записать в матричном видеv   Q  z  v  0 ,где v  V1  z  , V2  z  ,матрицаVN  z   – вектор искомых коэффициентных функций,коэффициентовQ  z   qij  z N(103)системыдифференциальныхуравненийимеет видi , j 1Q  z   k02 D 2  k02 P  z  ,где D  diag   j Nj 1, а коэффициенты матрицы P  z   pij  z (104)Ni , j 1определеныследующим образом:pij  z    n  n2lh12f    x    x  dx .ij(105)h z Из условия непрерывности решения вместе со своей первой производнойследует, чтоuu Nzz 0Nz 0ik0  n0 z  An0 n0  x  e  Rn n  x  e  ik0  n z n 1 z 0ik  z  ik0  n0 An0 n0  x  e 0 n0   ik0  n Rn n  x  e  ik0  n z n 1 z 0(106)(107)Применяя проекционную схему метода Галеркина к условиям непрерывности(106),(107) получим:v  0   r  an0v  0   ik0 D r  an048(108)(109)где r   R1 , R2 , ...

, RN1T– вектор неизвестных коэффициентов, an0 – вектор сединственной ненулевой компонентой An0 с номером n0 .Краевые условия(108),(109) можно сформулировать в виде одногокраевого условия третьего рода, исключив из них неизвестный векторv  0   ik0 Dv  0   2ik0 Dan0r:(110)Из условия непрерывности решения вместе со своей первой производной награнице z  L следуетuNu NzzLzL ik  z  L    Tn n  x  e 0 n    n 1zL(111) ik  z  L    ik0  nTn n  x  e 0 n    n 1 zL(112)Применяя проекционную схему метода Галеркина к этим условиям получим:v  L  t(113)v  L   ik0 Dt(114)где t  T1 , T2 , ... , TN  – вектор неизвестных коэффициентов.

Краевые условияT(113),(114)можно сформулировать в виде краевого условия третьего рода,исключив из них неизвестный вектор t :v  L   ik 0 Dv  L   0(115)Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений(103) и краевые условия (110) и (115) формируют третью краевую задачу длясистемыNдифференциальныхуравненийкоэффициентных функций v  V1  z  , V2  z  ,относительноискомыхVN  z  v  Q  z  v  0v  0   ik0 Dv  0   2ik 0 Dan0v  L   ik 0 Dv  L   0Задача (116) решается численно – методом конечных разностей[148].49(116)Задача о волноводном переходеРассмотрим в качестве примера задачу о распространении волны черезволноводный переход.

Пусть дан плавно-нерегулярный по z закрытыйволноводныйпереходмеждузакрытымипланарнымирегулярнымиволноводами. Формы верхней и нижней границ волноводного переходазаданы уравнениями x  0 и x  h  z  . Условие плавной нерегулярностиволноводного перехода означает непрерывность h  z  и h  z  для всех z .Рисунок 9. Волноводный переход между двумя плоскими волноводамипостоянного поперечного сеченияФункцияволноводногоhzописываетперехода,причемпеременнуюдлявысотувыполнениянерегулярногоусловийплавнойнерегулярности необходимо, чтобы h  0   h1 , h  d   h2 и h  0   h  d   0 .Рассмотрим задачу о распространении электромагнитного поля внутриописанной структуры из материала с показателем преломления n f .Для описанной структуры система уравнений Максвелла редуцируютсякдвумнезависимымуравнениямГельмгольца.Поэтомузадачаораспространении одной TE-моды, заданной в левом рукаве, не требуетE y через u  u  x, z  и запишемвекторной формулировки.

Обозначимуравнение Гельмгольца  x, z  k n  u  0202f(117)где k02 - волновое число в вакууме, и граничные условия первого рода [21-24]50u x 0  u x  h z  0(118) Функция u  u  x, z  удовлетворяет условиям возбуждения и излучения набесконечности[13-15,148-150]:u z  0   Rne i n z sin  nx / h1   Aei n0 zn 1sin  n0 x / h1 (119)u z  d   Tnein z sin  nx / h2 (120)n 1где  n  k02 n 2f   n / h1 2,  n  k02 n 2f   n / h2  , A – заданная амплитуда2падающей моды с номером n0 , Rn иTn – неизвестные амплитудныекоэффициенты.

Представление поля в левом регулярном волноводе (119)описывает одну падающую на нерегулярный участок моду с номером n0 иамплитудой A , от нерегулярности в левый регулярный волновод отражаютсяволноводные моды с коэффициентами отражения Rn . В правом регулярномволноводеприсутствуюттолькопрошедшиеволноводныемодыскоэффициентами прохождения Tn (см. (120)).Метод поперечных сечений КаценеленбаумаСогласно алгоритму метода поперечных сечений[30,31], представим решениеu и первую производную u / z в виде разложений Канторовича[130]:un  Pn  z  n  x, z (121)u  in  z  Pn  z  n  x, z z n  (122)Разложения (121), (122) проводятся по системе функций  n  x, z n 1 , причем  n  x, z    n  x, z дляn  1, 2, 3, ...

,51  z nn 1определимниже, n  z   n  z  для n  1, 2, 3, ... . Система функций  n  x, z n 1 строитсяследующим образом: рассмотрим задачу на собственные значения исобственные функции для закрытого регулярного волновода высоты с   x   k 02 n 2f   x     x   0     c   0(123)Собственным значениям   n n 1 задачи (123) соответствует полная наотрезке  0 ; c  система собственных функций  n  x функций  n  x, z n 1n 1.

Построим систему, рассматривая собственные функции задачи (123) какфункции параметра с , следующим образом: n  x, z    n  x ; с  с  h z , z  0, d  Построенная система функций n  x, z n1(124)удовлетворяет однороднымкраевым условиям первого рода при x  0 и x  h  z  для z  0, d  .Определим n  z  , рассматривая собственные значения задачи (123) какфункции параметра с , следующим образом:n  z    n  c  c h z , z  0, d  Ненормированная система функций  n  x, z  n  x, z   sin  nx / h  z  n 1(125)имеет следующий вид(126)а соответствующие ей n  z  определены какn  z   k02 n 2f    n / h  z  522(127)Согласно алгоритму метода поперечных сечений [31], составимсоотношение для коэффициентных функций Канторовича Pn  z  , основываясьна разложениях (121) и (122), а именно подставим (121) в (122):n   Pn  in  z  Pn  n   nPnzn  (128)Второе соотношение получается посредством подстановки разложений(121), (122) в уравнение Гельмгольца (117): n  z   Pn  in  z  Pn  n   n  n  z n     n n  z  n  Pnz(129)Применим к обоим соотношениям проекционную схему методаГалеркина[] в каждом поперечном сечении z  0, d  :h z  Pn  in  z  Pn    Pn  i n  z  P n     Pm m  0 P   i  z  P    P nnnn m n dxz(130) i n  z  P n  n  z  z P n  Pn    m Pmn  z m   n  z h z 0 m n dxz(131)Преобразует полученные системы к следующему виду посредством ихсложения и вычитания:Pn  in  z  Pn S n m  z  Pmm  (132)где коэффициенты S n m  z  определены следующим образом:1   z   m  z Sn m  z    n2n  z h z 0 m1 n  z  n dx  n,m    n,m  (133)z2 n  z 53Постулирование вида решения (121) и его производной (122) поаналогии с видом решения и его производной в регулярном волноводеприводит к простой формулировке краевых условий для коэффициентныхфункций Канторовича Pn  z  при z  0 и z  d .

Величины Pn  0  при n  0 естьзаданные коэффициенты, определяющие амплитуды волн, падающих нанерегулярный участок из левого регулярного волновода. Приn0коэффициенты Pn  0  определяют неизвестные амплитуды отраженных отнерегулярного участка волноводных мод. Прошедшие волноводные моды,уходящие в правый регулярный волновод, определяются коэффициентамиPn  d  при n  0 , в предположении отсутствия приходящих из правогорегулярного волновода мод Pn  d   0 при n  0 .Можно сформулировать систему дифференциальных уравнений икраевые условия для нее в матрично-векторной форме:где Λ  z   diag n  z системыPz  n dP iΛ  z  P  S  z  Pdz(134)P  0   P0 , P  d   P1(135), S  z   Sn m  z n , m – матрицы коэффициентовдифференциальных, P2  z  , P1  z  , P1  z  , P2  z  ,Tуравнений,– вектор искомых величин, P0 и P1определены как P0   , A2 , A1 ,  R1 ,  R2 ,T , P1  , T2 , T1 , 0, 0,T , причемAn – заданная амплитуда падающей моды с номером n , из которых ненулеваятолько с номером n0 , Rn и Tn – неизвестные амплитудные коэффициенты.Полученная постановка задачи в общем случае не является корректной,она корректна для одномодового приближения.54Аналог неполного метода ГалеркинаБудем решать волноводную задачу для волноводного перехода (117)(120).

Согласно алгоритму, предложенному в [14,15] введем новыепеременные, переводящие нерегулярный участок в полосу[14,15,146]:  x, z   x / h  z  ,   x, z   z(136)В новых координатах уравнение Гельмгольца принимает вид[146]: 1  2u 2u 2uu2 2b2b  c    k 02 n 2f u  0 (137)    222     h   где b    h   / h   , c    b 2    b    . Граничные условия и условиявозбуждения и излучения на бесконечности принимают в новых координатахследующий вид:u   0  u  1  0u   0   Rn e  i n sin   n   Ae(138)i n0sin   n0 (139)n 1u   d   Tn e i n sin   n (140)n 1Следуя [14,15] применим метод Канторовича [130] для формулировкисистемы дифференциальных уравнений и краевых условий для этой системы.Используемсобственныефункцииволноводнойзадачивнулевомприближении по h   в качестве базисных функций метода Канторовича.Правомерность такого выбора показана в [146].Замечание.

Характеристики

Список файлов диссертации