Диссертация (1155090), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В случае же открытой системы мы можем вкачестве (161) взять суперпозицию конечного числа бегущих мод регулярноговолновода, а можем добавить к ним еще и интегралы по подложечным ипокровным модам, описывающие непрерывный спектр задачи. То жеотносится и к представлению прошедшего и отраженного полей.На самом деле, оба предложенных варианта плохи, поскольку изфизических соображений не ясно, какое именно влияние на распространениеволноводных мод оказывают явления, происходящие в подложке и покровномслое. Хорошо известно, что два волновода, расположенные на расстояниепорядка 1-2 своих радиусов оказывают влияние друг на друга, при увеличениирасстояния это влияние снимается.

Обычно это явление объясняют явлениемГуса-Хенхена: волноводы взаимодействуют, покуда их эффективные размерыпересекаются. Такого рода размышления годятся для создания грубыхмоделей, но не для моделей, из которых названные свойства получаются какматематические теоремы с количественными оценками.70Представляется очень заманчивой идея отыскания «накрывающей»модели для открытых волноведущих систем, относительно которой известныегрубые методы расчета полей можно интерпретировать как аппроксимации,точности которых модно оценить чисто математическим путем.

Однако нетникаких оснований считать, что таковая существует или даже, что модельзакрытого волновода в полной мере удовлетворяет описанному условию.Чтобы понять это, достаточно обратиться к вопросу о замене условийидеальной проводимости на более реалистичные. Поэтому здесь будемиспользовать приближенную модель, она не только принципиально не можетописать все явления, проходящие в подложке и покровном слое, но и легкоможно указать на дополнительные вносимые ей явления.2.1.Описание приближенной математической моделиРассматриваемое локальное утолщение волноводного слоя не обеспечиваетинвариантности поля вдоль оси Oy . Однако, в силу малости возмущениярегулярности, эффекты деполяризации малы по сравнению с основнымвкладом поля регулярного волновода.

Это позволяет на начальном этаперассмотрения пренебречь векторным характером распространяющегосяэлектромагнитного излучения (см. раздел «Уравнение Гельмгольца»).В скалярном приближении распространение волны можно описатьуравнением Гельмгольцаu  k02 qu  0,гдеq  q0 ( x)    q1 ( x, y , z )и ns2 , x  0,q0   n 2f , 0  x  h0 , n 2 , h  x,0 cа малая добавка  q1 характеризует утолщение.71Поставить сразу парциальные условия изучения невозможно, посколькуспектральная задача для оператора   k02 q0 ( x )на2имеет смешанный спектр: дискретный и непрерывный. Простейшийпуть к постановке условий – рассмотреть открытый волновод в закрытомволноводе, то есть ограничить рассматриваемое пространство3компактнойобластьюG : | x | Rx , | y | Ry ,изображенной пунктиром (см.

Рисунок 15). Мы полагаем, что в реальнойсистеме объекты, помещенные достаточно далеко от волноводного слоя, невлияют существенным образом на интересующие нас характеристики волны.Данное предположение вносит дополнительное возмущение в задачу. Мыпредполагаем его малым в начале рассмотрения. Результаты численныхэкспериментов, проведенных нами в последующих разделах, подтверждаютсделанное предположение. Примемu |x   R  0,xа также, что поле на некотором удалении от утолщения не зависит от x ,поэтомуuy 0.y   RyОстается поставить парциальные условия излучения.

Обозначим собственныезначения и собственные функции задачи   v  k02 q0  x  v   v  0,vv0, 0. x  Rxy y  Ry(162)как n и vn соответственно. Система собственных функций этой задачи полнав пространстве L2 (G ) [105].72Волну, падающую на линзу, при z   L можно описать как разложениеF vnn( x , y ) e inzпо собственным функциям, отвечающим отрицательным собственнымзначениям, причемi n  n .Отраженную от линзы волну при z   L можно представить какR vn( x, y )e  i z ,nnа прошедшую при z  L какT vn( x, y )e i z ,nnгде Rn , Tn – неизвестные числа, а суммы распространяются на все собственныефункции задачи (162). Задача отыскания функции u и последовательностичисел {Tn }, {Rn } , именуемых коэффициентами прохождения и отражения вида  u  k 02 q  x , y , z  u  0,uu0, 0, x  Rxy y  Ryu z  L   Fn vn  x, y  e i n z   Rn vn  x , y  e  i n z ,u z  L   Fn vn  x, y  e i n z   Tn vn  x , y  e i n z(163)имеет и притом единственное решение и является корректной задачейматематической физики [87-90].

Сказанное верно, если сделать обычные дляматематической теории волноводов предположения относительно гладкостифункции, характеризующей заполнения. Зафиксируем сказанное в видетеоремы.Теорема 1. Пусть полость волновода можно разбить на конечное числоподобластей, в каждой из которых функция q , характеризующая заполнениеволновода, является гладкой, а на границах областей q допускает лишьразрывы 1-го рода. Пусть q вне компакта z    L ; L  не зависит от z . Тогдазадача дифракции заданной волны на нерегулярности заполнения в73интегрально-оптическом волноводе, понятая в рамках используемой моделикак решение задачи (163), имеет и притом единственное решение.Эта теорема позволяет использовать задачу (163) в качестве математическоймодели для описания поля открытого волновода.Границы применимости моделиС точки зрения скалярной волновой оптики поле в открытом волноводе,помещенномвзакрытыйволновод,представляетсобойлинейнуюкомбинацию волнv n ( x , y ) e  i z ,nгде v - собственные функции задачи (162), отвечающие отрицательнымсобственным значениям, причем i n  n .

Собственные функции задачи2(162) уже при небольших частотах k 0 четко распадаются на два класса:локализованные и не локализованные в волноводном слое. Первые мы будеминтерпретировать как канализированные среднем слоем, а вторые – какканализированные объемлющим закрытым волноводом – ящиком.Гипотеза, лежащая в основе предложенной модели, может бытьсформулирована следующим образом: если падающая волна представляетсобой суперпозицию локализованных мод, то коэффициенты прохождения иотражения Tn и Rn локализованных мод не зависят заметным образом отпараметров Rx , R y ящика.

Расхождения, которые неизбежно возникают приприменении ящиков различных размеров несут информацию, полезную длячисленного анализа модели: n -ую моду можно вычислить при нескольких различных значенияхRx , R y , величина n характеризует дисперсию, которая не может бытьуточнена в рамках рассматриваемой модели,74 вклады нелокализованных мод в любую величину характеризуют всвоей совокупности рассеянную энергию, сами же по себе не имеютфизического смысла.Так называемые «точные» модели также привносят погрешности, оценкакоторых зачастую не производится.

Чем выше номер локализованной моды,тем более заметна зависимость собственных значений от Rx , R y .О выборе граничных условий на ящикеВместо использованных краевых условий здесь можно было быиспользовать условия третьего рода или условия Щукина-Леонтовича,обложить стенки ящика слоями с затуханием и т.п. В этом случае ненаправляемые моды не направлялись бы стенками, а поглощались. Из общихсоображений это кажется более разумным, ведь наверное в «реальном»волноводененаправляемыемодыизлучаютсянаружу.Разумеется,очевидность сказанного основана на геометрической оптике и известногопостроения с лучами [154] и оценить эту «разумность» числом невозможно.Мы сознательно не стремимся к созданию модели, верно описывающей полевне волноводного слоя. Напротив, мы хотим показать, что можно и даже нудностроить простые модели, которые верно описывают одни параметры системыи плохо описывают другие.Здесь нельзя не указать на важную для теории математическогомоделирования аналогию.

Первая модель, в которой появились нормальныемоды, это модель струны, восходящая к Фурье. Хорошо известно, что в рамкахэтой модели струну рассматривают как «гибкую нить» [155], затем на этомосновании пишут известную задачу о возбуждении колебаний струны.Хорошо известно, что результаты этой теории служат основаниеммузыкальной акустики [156, 157], но менее известно, что получающиеся врамках этой теории мгновенные профили струны нереалистичны. Дело в том,что модель «гибкой нити» тем хуже передает возбуждение гармоники, чемвыше ее номер. Совершенно очевидно, что представление о 100-ой гармонике,75имеющей 99 узлов на струне, не более чем идеализация.

В исследованияхМалых М.Д. [158] такие модели были названы моделями с парциальнымраспределением точности. Например, для музыкальной акустики важныпервые 10 обертонов и поэтому используемая модель оказывается вполнеприемлемой. Таким образом, даже классические модели не являются«точными». Приближенный характер предложенной модели открытоговолновода бросается в глаза, а вот независимость интересующих наспараметров от параметров ящика связана с величиной k 02 и проявляетсятолько в вычислительных экспериментах. Как уже отмечалось выше, важна не«точность» модели, а наличие эффективных средств оценки неточностимодели.2.2.

Дифракция на неоднородности в форме линзы на волноводном слоеЧтобы протестировать предложенные в предыдущем разделе модели,начнем с чисто двумерных задач. Будем считать, что на волноводный слойдобавлена не локальная линза, а сделано локальное по x утолщение иливыемка, инвариантная по y . В этом случае решение задачи дифракцииинвариантно по y и поэтому в разложения по модам нужно удерживать толькособственные функции, инвариантные по y , что существенно упрощаетвыкладки. Рассмотрим задачу математического моделирования дифракцииэлектромагнитного поляризованного монохроматического излучения надвумерном неоднородном переходе между двумя открытыми планарнымирегулярными волноводами постоянного поперечного сечения (см.Рисунок 16).76Рисунок 16.

Характеристики

Список файлов диссертации