Диссертация (1155090), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Отметим также, что  j  d  z   d  z  Нелинейное трансцендентное алгебраическое уравнение (155) при каждомфиксированномd  d crm  ...  d cr1  d cr0имеет 0   1   2  ...   m .63конечноечислокорнейСинтез обобщенной линзы ЛюнебергаВ работе Люнеберга предложено решение идеального оптическогоприбора (в рамках геометрической оптики), впоследствии названного линзойЛюнеберга[100].

Позднее классическую линзу Люнеберга включили всемейство идеальных оптических приборов – обобщенных линз Люнеберга.Кеплер и Морган [46] предложили альтернативные выводы решений задачисинтеза таких линз, в работе Котляра [48] доказана их эквивалентность.Обобщенная линза Люнеберга (обладающая сферической симметрией втрехмерном случае или круговой симметрией в двумерном случае) сфокусным расстоянием f описывается соотношениями:n  r , f   exp   r , f  r   rn  r , f  ,где   r , f(158)определена как  r, f  11 arcsin  x f x22dx(159)Параллельный пучок лучей (с плоским волновым фронтом), падающийна линзу Люнеберга, фокусируется на оси за линзой на расстоянии F  Rf , гдеR – радиус линзы.

Если f  1 , пучок фокусируется в точке на поверхностилинзы, а она называется классической.Профиль показателя преломления классической линзы Люнеберга,найденный еще имеет видn  r ,1  1 / 2   r / R  .2(160)Тонкопленочная обобщенная волноводная линза ЛюнебергаВ работе Цернике [162] было показано, что локальное увеличениетолщины волноводного слоя приводит к локальному замедлению фазовойскорости распространяющейся волноводной моды. Этот эффект привел к идееизготовления волноводных (двумерных) линз Люнеберга взамен объемных(трехмерных).64Предположим, что слева на локальное утолщение волноводного слоянабежала направляемая ТЕ- (или ТМ-) мода, разрешенная регулярнымтрехслойным планарным диэлектрическим волноводом с показателямипреломления ns , n f , nc с толщиной d  волноводного слоя и коэффициентомjфазового замедления TEj ( TM).

Обобщенная линза Люнеберга (объемная) сфокусным расстояниемf F Rобладает распределением показателяпреломления n  r , f  , r  R . Тонкопленочную обобщенную волноводнуюлинзуЛюнебергаволноводного слояпроектируемhr ,ввидедополнительногоутолщенияобеспечивающего деформацию набежавшейволноводной моды, а значит и фокусирование плоского (на регулярномучастке) волнового фронта и семейства локально ортогональных ему лучейпосредством сформированного утолщением распределения эффективногокоэффициента преломления neff  r , f   n  r , f  , r  R распространяющейсядеформированной волноводной моды, так что распределение эффективногокоэффициента фазового замедления моды равно TEj  r , f   TEj neff  r , f  ,rR   r, f   jTMjTMneff  r , f  , r  R  .Дополнительноеутолщениеволноводного слоя может быть сформировано как из материала основноговолноводного слоя, так и из другого материала с показателем преломления nl .Задача проектирования заключается в математическом синтезе профилятолщины дополнительного волноводного слоя h  r  , обеспечивающего«фокусировку» набегающей на ТОВЛ ТЕ- (ТМ-) моды с «плоским»(прямолинейным в плоскости yOz ) волновым фронтом.

Под фокусировкой мыпонимаем формирование «в плоскости» (на линии в плоскости yOz ),отстоящей на расстоянии F от центра линзы радиуса R (в плоскости yOz ),дифракционной картины «бесконечно тонкой линзы сравнения» с угловойапертурой   2arctg  R F  .65Направляемая мода регулярного трехслойного волновода с толщинойволноведущего слоя d  обладает коэффициентом фазового замедления TEjj( TM).Принабеганииналинзу волноводнаямода деформируетсядополнительным волноводным слоем, изменяющим толщину от h ( R )  0 накраю линзы до hmax  h  0  в ее центре, а затем снова до0на противоположномкраю линзы.

При этом TEj  r , f   TEj neff  r , f  , r  R изменяется от  TEj  d , 0 до TEj  d , 0   TEj neff  0, f  . Функции TEj  d , h  z   и  TEj  r , f  непрерывны,монотонновозрастающиеиприTEj  0, f   TEj  d , h  z    TEj  R, f уравнение TEj  d , h  z    TEj  r , f   0 однозначно разрешимо относительноjискомого профиля толщины hTEj  r  . Аналогичным образом по TM d , h  z  иjTM r , f   TMj neff  r , f  , r  Rмыустанавливаемискомыйпрофильjтолщины hTM r  .

Профили толщины дополнительного волноводного слояjhTEj  r  и hTM r  для различных волноводных мод приведены ниже (см.Рисунок 13 и Рисунок 14).TETMРисунок 13. Синтезированные профили h0  r  и h0  r 66TETMРисунок 14. Синтезированные профили h1  r  и h1  r Расчеты проводились для ТОВЛ Люнеберга (в единицах   0.9 mkm )со следующими параметрами: фокусное расстояние s  2 , радиус линзы r  1и толщина регулярного волноводного слояd  1.0665 .

Коэффициентпреломления подложки (SiO2): ns  1.470 , коэффициент преломления первого(регулярного) волноводного слоя (стекло марки Corning 7059): n f  1.565 ;коэффициент преломления второго волноводного слоя (Ta2O5) – ТОВЛЛюнебергапеременнойтолщиныh  y, z  :преломления покровного слоя (воздух): nc  1.000 .67nl  2.100 ;коэффициентГлава 2. Постановка задачи дифракции для интегрально-оптическихволноводов в рамках модели объемлющего закрытого волноводаВ первой главе была рассмотрена математическая модельраспространения и дифракции на нерегулярностях волн в закрытыхнерегулярных волноводах. Эта модель сводится к системе дифференциальныхуравнений в частных производных с нелокальными краевыми условиями,относительно которой удается доказать разрешимость.

Иными словами,имеется корректная математическая модель закрытого волновода, причем этамодель достаточно подробная, она учитывает и векторный характерэлектромагнитного поля, и взаимодействие между всеми модами. Эта модельявляется слишком сложной для численных экспериментов, поэтому напрактике ограничиваются конечным набором нормальных мод, пренебрегаютвекторным характером поля и т.д. Тем не менее, вопрос о том, насколькохорош тот или иной численный метод всегда сводится к чистоматематическому вопросу о том, насколько хорошо численный методаппроксимирует корректно поставленную краевую задачу.На физическом уровне строгости хорошо известно, что собойпредставляют открытые волноведущие системы.

Например, планарныйнерегулярный волновод представляет собой диэлектрический слой наподложке, на который нанесена локальная неоднородность. Например, на егоповерхность добавлен дополнительный диэлектрический слой с компактнымносителем переменной толщины, который, при соблюдении определенныхусловиях, должен работать как волноводная линза. На эту неоднородностьнабегает плоская электромагнитная волна и требуется выяснить, как следуетописать прошедшее и отраженное неоднородностью поля. Эта задачаформулируется по аналогии с классической задачей рассеяния на шаре [109111],однакопредложенноеописаниенедопускаетаккуратнойматематической формулировки.Для определенности сразу введем декартову систему координат,связанной с геометрией планарных волноводов. Плоские поверхности раздела68между волноводным слоем, подложкой и покровным слоем параллельныплоскости yOz . Ось Ox перпендикулярна этим плоским поверхностям,разделяющим три слоя: подложки, волноводного слоя и покровного слоя,характеризующихся различными коэффициентами преломления ns , n f и ncсоответственно.

Иными словами, показатель преломления зависит только отx и является кусочно-постоянной функцией:x  0, nsn   n f , 0  x  h0 , n , h  x.0 cПоместим сверху на основном волноводном слое на участке радиуса Rпорядканесколькихдлинволнизлучениянебольшоеутолщениедополнительный волноводный слой с показателем преломления nlпеременной толщинойh( y, z )ипорядка длины волны, формирующийтонкопленочную волноводную линзу [162].Рисунок 15.Плоский волновод, вставленный в ящик Rx  R yНанеоднородностьнабегаетэлектромагнитноеполяризованное излучение69монохроматическое,E  E ( x, z )e  it , H  H ( x, z )e  it(161)и представляет собой для определенности ТЕ-волну, распространяющуюсявдоль оси Oz (в направлении возрастания переменной z ), и инвариантнуюотносительно движения вдоль оси Oy .

Если бы волновод не имелнерегулярности, волна (161) прошла бы через всю систему без искажений. Изза нерегулярности часть этой волны отразится назад, часть пройдет вперед.Именно эта деформация волны и представляет предмет исследованиянастоящей главы.Отметим теперь трудности математической постановки описаннойзадачи. Волны, бегущие в закрытом волноводе, в силу теоремы ТихоноваСамарского всегда представляют собой суперпозицию нормальных ТЕ- и ТМмод и поэтому известно, что под конструкцией «волна (161), набегающая нанеоднородность»,подразумеваетсясуперпозициянормальныхмод,авероятнее всего одна из этих мод.

Характеристики

Список файлов диссертации