Диссертация (1155090), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

При необходимости можно развитьтеорию возмущения с малым параметром1 E.k 0 y1.2.Регулярные диэлектрические волноводыПростейшей и наиболее изученной волноведущей системой являетсядиэлектрический волновод с металлическими стенками. Такой волноводпредставляет собой диэлектрический слой или цилиндр, покрытый металломтаким образом, что поле полностью сосредоточено в пространстве,ограниченном стенками и в этом смысле система является закрытой.Диэлектрические пластины и стержни без металлического покрытияприменяются в последнее время в качестве волноводов в оптическомдиапазоне волн (оптические волокна). Оптические волокна представляютсобой очень тонкие диэлектрические нити (цилиндры) с диэлектрическойпроницаемостью  1 , покрытые слоем из материала с диэлектрическойпроницаемостью  2   1 . Диэлектрические волноводы без металлическихстенок представляют собой открытые системы: часть поля распространяетсявнутри диэлектрика, в то время как другая часть излучается во внешнеепространство,причемэтичастивзаимосвязаны.Несмотрянараспространенность и практическую значимость, открытые волноведущиесистемы в оптическом диапазоне изучены заметно хуже закрытых.

Этосвязано с принципиальными трудностями создания корректной и в тоже времяадекватной математической модели таких объектов.25Планарный закрытый волноводРассмотрим полосу 0  x  1 заполненную однородным веществом,стенки которой покрыты идеально проводящим металлом. Это означает, чтоэлектромагнитное поле внутри полосы удовлетворяет уравнениям Максвелла,а при x  0 и x  1 краевым условиямE  0, H  0(34)Можно без труда построить целое семейство таких полей.

В самом деле, будемискать решения видаE  E  x  eit  i z , H  H  x  eit i z .(35)где  – круговая частота, а   k0  , где  – коэффициент фазовогозамедления волноводной моды. Если   0 такого рода решения представляютсобой волны, бегущие вдоль оси z и инвариантные относительно оси y .Компонента E y такого поля удовлетворяет уравнению Гельмгольцаu  k02 u  0,(36)которое при указанной зависимости от z , сводится к обыкновенномудифференциальному уравнениюd 2u  k02   2  u  0,2dx(37)и краевому условию Дирихле u x  0,1  0.

Собственные значения задачи d 2u 2  u  0 dxu0 x 0,1(38)определены как    n  , n  1, 2,3, и им отвечают собственные функции2u  x   sin  nx(39)E y  x, y, z , t   sin  nx  ei n z it , H y  0(40)Полагая  n  k02   n  и226и вычисляя остальные компоненты поля по формуламHx  1 E y1 E y, Hz , Ex  Ez  0ik 0  zik 0  x(41)получим счетное множество полей с E z  0 . Эти решения называютнормальными ТЕ-модами. В зависимости от того, при сколькихnсправедливо неравенствоk02   n   02(42)имеется конечное число n нормальных мод с вещественным  n и потомупредставляющих бегущие вдоль z волны.

У остальных мод  n является чистомнимым числом с положительной мнимой частью, соответствующейизвестному правилу извлечения корня. Эти моды стремятся к нулю приz   и называются эванесцентными.Аналогично, начав с H y получим второе семейство решений – ТМ-моды.В силу теоремы Стеклова система собственных функций задачи ШтурамаЛиувилля на отрезке полна [16], отсюда без труда выводится следующаятеорема.Теорема Тихонова-Самарского [75]. Всякое электромагнитное поле,удовлетворяющее уравнениям Максвелла (1)-(5) внутри плоского волновода,условиям идеальной проводимости на его поверхности, и независящее от y ,может быть представлено в виде суперпозиции TE и TM мод.Замечание.

Названная суперпозиция представляет собой бесконечныйряд, для компоненты E y этот ряд имеет видE y  x, y , z , t   C n sin   nx  ei n z it .(43)n 1Этот ряд сходится по норме L2 , однако решение уравнений Максвелла всегдаявляется гладким, поэтому можно установить и равномерную сходимость[113].27Теорема Тихонова-Самарского сохраняет свою силу и в том случае,когда волновод состоит из нескольких полос с различным заполнением, и дажетогда, когда положительные  ,  зависят от x произвольным образом.Разложение по нормальным волнам играет принципиальную роль вовсей теории волноводов. Само по себе электромагнитное поле в волноводеможет быть устроено весьма прихотливо и его график малоинформативен.Разложение же позволяет описывать электромагнитное поле в волноводе какнабор чисел – коэффициентов этого разложения (амплитуд).Планарный открытый волноводПростейшим примером регулярной открытой волноведущей системыявляется конструкция, состоящая из диэлектрического волноводного слоя споказателем преломления n f в обкладках из диэлектриков с меньшимипоказателями преломления: ns у подложки и nc у покровного слоя.

Толщинаволноводногослояdсравнимаповеличинесдлинойволнымонохроматического электромагнитного излучения, толщины подложки ипокровного слоя значительно больше и в рамках модели считаютсябесконечными.Рисунок 1. Геометрия трехслойного открытого регулярного волновода28Свяжем с полосами декартову систему координат и по аналогии с закрытымволноводом будем искать решения, представляющие собой волны, бегущиевдоль оси z . Иными словами, опять будем искать решение видаE  E  x  eit  i z , H  H  x  e it i z .(44)Компоненты поля E y и H y удовлетворяют уравнениюd 2u k02 n 2  x  u   2 u2dx(45)причем на границах слоев должны быть непрерывны E y и E z гдеEz  1 H y.ik0 x(46)В отличие от разобранного выше случая закрытого волновода, здесьполучается задача на Штурма-Лиувилля на бесконечной прямой.Задачарассеяниянасферическисимметричномпотенциале,существенная часть которой сосредоточена на исследовании редуцированнойзадачи на полуоси, является классической в квантовой механике.

Ейпосвящено большое количество теоретических исследований, а такжеразработка вычислительных схем решения. Прямая задача рассеяния длярадиального уравнения Шрёдингераd 2 y  2 L  L  1kVx y  0, 0  x   ,dx 2 x2(47)где k 2  0 – спектральный параметр, L  0, 1, 2, ... – орбитальный момент,V  x  – потенциал взаимодействия, обеспечивающий существование волновойфункции с граничными условиями [114]y  0   0,(48)Ly  x   A sin  kx  L , x   .2(49)При приближенном решении задачи рассеяния (47)-(49) частоограничиваются конечным интервалом 0  x  xmax , где xmax291 – точка васимптотическойобластиволновойфункцииy  x .Вэтойточкеасимптотическое условие (49) приближённо заменяется условиемLy  xmax   A sin  kxmax  L  .2(50)Существуют и другие подходы к численному решению задачи рассеяния наполуоси.Один из таких подходов, предложенный в работах [115,116], сводится кпереформулированию задачи рассеяния в виде задачи на собственныефункции.

Данный подход для многоканальных задач рассеяния, то есть длясистемы обыкновенных дифференциальных уравнений на полуоси, численнорешался в работах Мележика В.С. с соавторами в работах [117-119].Большоемногоканальныхчислоработ,посвященныхквантово-физическихзадаччисленномурассеянияирешениюзадачнасобственные значения на оси, в том числе и для потенциалов с разрывамипервого рода и несовпадающими асимптотиками, выполнено Виницким С.И.с соавторами [131-143].Для нужд квантовой механики [120,121] спектр оператораDв L2 d2 V  xdx 2(51) был подробно изучен.Определение. Число  называет собственным значением оператора D , еслисуществует нетривиальная и достаточно гладкая функция u из L2 ,удовлетворяющая в слабом смысле уравнению ШредингераDu   u(52)Собственные значения образуют точечный спектр оператора D .Теорема.

Если при достаточно больших x потенциал Vпринимаетпостоянное значение V , а при достаточно малых – значение V , то все30собственные значения оператора D заключены между minV  x  и min V ,V , причем таковых может иметься не более чем конечное число.В интегральной оптике нет никакой насущной необходимости рассматриватьименно L2 .Конечная система функций, отвечающих собственным значениямоператора D не может быть полной. Поэтому эту систему необходимодополнить таким образом, чтобы по получившейся системе можно было быразложить любое решение уравнений Максвелла, которое: инвариантно в поперечном горизонтальном направлении Oy ; монохроматично (гармонично по времени).Наиболее простой путь – воспользоваться спектральным разложениемдля самосопряженных операторов.Определение.

Пусть D – самосопряженный оператор, определенный наплотном подмножестве гильбертова пространства H . Те значения параметра , при которых задачаDu   u  f(53)имеет решение из H при всех f  H , называют регулярными точками.Множество всех нерегулярных точек называют спектром оператора D .Собственные значения обязательно принадлежат спектру. Однако при  min V ,V  задачаd 2u 2  V  xu  u  fdxне имеет решения в L2 .(54)Это означает, что в теореме о спектральномразложении помимо суммы по собственным функциям необходимо добавитьинтегралы по полупрямой   min V ,V  , которая, стало быть, образовананепрерывным спектром задачи.312 2В обозначениях интегральной оптики V  x    k0 n  x  , где k0 - волновоечисло в вакууме, n  x     x   - показатель преломления: nc2 , x  bn 2  x    n 2f , a  x  b 2 ns , x  a(55)Итак, будем рассматривать спектр задачи:d 2 , x   V  x    , x    2   , x 2 dxx  a  0,b  0x  a  0,b  0(56),  x a 0,b0   x a  0,b0(57)V  x    k02 n 2  x  , V  x   V , V  x  Vx x где для TE-моды     , а для TM-моды  (58)1  .n2Спектр задачи (56) - (58) состоит [33] из: конечногочисладискретныхсобственныхзначений j  i j :  2j   min V  x  , min V , V   и соответствующих классическихсобственных функций (направляемых волноводных мод);2 однократного непрерывного спектра   :    V ,   и соответствующихобобщенных собственных функций (подложечных излучательных мод);2 однократного непрерывного спектра   :    V ,   и соответствующихобобщенных собственных функций (покровных излучательных мод).Рисунок 2.

Характеристики

Список файлов диссертации