Диссертация (1155090), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Следует также заметить, что за последние десятилетия произошланастоящая революция в теории метаматериалов [101-104], это позволяет18надеяться на то, что самые экзотические теоретические конструкции вближайшем будущем будут реализованы в виде устройств.Во многих случаях изучаемый процесс носит характер установившихсяколебаний, при которых временная зависимость искомых неизвестных имеетпериодический характер заданной частоты  . Тогда для искомых неизвестныхвуравненияхМаксвелла,являющихсядействительнымифункциямипространственных координат и времени, можно использовать представлениеE  x, y , z , t   Re E  x, y , z  e  it(7)и аналогичные представления для остальных неизвестных.

В этомпредставлении зависящий только от пространственных переменных векторE  x, y , z  носит название комплексной амплитуды вектора напряженностиискомого электрического поля. В случае линейной среды материальныехарактеристики которой не зависят от времени, для комплексных амплитудE  x, y , z  и H  x, y , z  получим уравненияrot H  i4E  E  j CT ,ccrot E iH.c(8)(9)Используя выражение волнового числа k0   / c и вводя комплекснуюдиэлектрическую проницаемость    i4,(10)систему уравнений Максвелла для комплексных амплитуд можно представитькакrot H  ik0 E 4 CTj ,c(11)rot E  ik0  H ,(12)div B  0,(13)div D  4 ,(14)19i  div  j  j CT   0.(15)В рассматриваемых далее оптических задачах всюду объемные плотноститоков и зарядов равны нулю.Система уравнений Максвелла для случая установившихся колебанийимеет непрерывные решения E  x, y , z  и H  x, y , z  в той подобласти D области задания D данной системы, где ее коэффициенты, определяемыематериальными характеристиками среды   x, y , z  ,   x, y , z  и   x, y , z  , такжеявляются непрерывными функциями.

Если на границе S подобласти D  (S  D ) коэффициенты системы уравнений Максвелла разрывные, то в точкахэтой границы уравнения Максвелла не выполняются, и должны быть замененыдополнительнымиусловиямисопряжениянаповерхностиS разрываматериальных характеристик сред D1 и D2 с общей границей S . Эти условиясопряжения имеют вид E   0, S H    j  , S(16)  H n  S  0,  En  S    ,(17)где символ  a  S  a1  a2 обозначает скачок касательных a и нормальных a nкомпонент вектораaна поверхностиS,  ,j – плотностиповерхностных зарядов и токов.Если проводимость  одной из сред, например, D2 , бесконечно велика(  2   ), то в области D2 векторы E (2)  H (2)  0 , и условия (16) принимаютвидE(1)S 0, H (1)S j  ,(18)то есть на поверхности идеального проводника граничное значение вектораE(1)  Dравно нулю, а граничное значение вектора H (1) определяетсяSповерхностным током на S .20Частоврассматриваемойвычислительнойэлектродинамикедляограниченияобласти используют специальные «абсорбционные»граничные условия, тем или иным способом моделирующие среды сзатуханием [99].В настоящей работе будет использован другой способограничения бесконечной области.Математической моделью распространения волн в той или иной системеявляется корректная краевая задача для этой системы дифференциальныхуравнений в частных производных [75].

Следует иметь в виду, чтосовременные доказательства существования решений у такого рода задачпроводятся в функциональных пространствах, подобных пространствуСоболева [105]. Поэтому, вообще говоря, в рамках модели приходитсяговорить об электромагнитных полях как «распределениях» из того или иногофункционального пространства. Это не создает никаких затруднений приинтерпретации численных экспериментов: на практике поле не может бытьизмерено в одной точке, оно определяется в среднем по области, которуюзанимает измерительный зонд.

Поэтому важно, чтобы интегралы по этоймалой области от обобщенного решения были определены, а разрабатываемыечисленные методы давали возможность вычислить эти интегралы поприближенному решению с разумной точностью. Для этого вполнедостаточноустановлениясходимостипонормерассматриваемогофункционального пространства.Замечание. Впрочем, еще Кл. Мюллер [106] заметил, что обобщенноерешение уравнений Максвелла в однородных средах, получающееся у него вклассе непрерывных функций при решении интегральных уравнений, являетсяклассическим решением уравнений Максвелла. Вероятно, во всех случаяхможно доказать аналог леммы Вейля, согласно которой обобщенное решениеуравнения Пуассона из соответствующего пространства Соболева являетсяклассическим решением этого уравнения [107]. Однако усилия подоказательству таких теорем будут перечеркнуты отсутствием эффективных21численных методов, сходящихся по равномерной норме.

Представлениюрешения уравнений Максвелла в окрестности особых точек границы и впервую очередь ребер посвящена серия работ И.Е. Могилевского [96-98]. Этиизыскания, напротив, важны для создания эффективных численных методоврешения задач с особенностями.Уравнение ГельмгольцаВ уравнения Максвелла входят шесть неизвестных скалярных величин – трикомпоненты вектора E и три компоненты вектора H . В некоторых случаяхудается свести эту систему к двум независимым скалярным уравнениям.Допустим, что из общих соображений очевидно, что искомое поле неменяется в одном из направлений.

Для определенности далее это направлениебудем принимать за направление оси Oy . Это предположение вполнеестественно возникает, например, при моделировании распространяя плоскихволн через оптическую систему, образованную параллельными друг другуслоями с различными диэлектрическими проницаемостями.

Такие моделибудем далее называть плоскими.Запишем уравнения Максвелла в компонентном представлении вдекартовой системе координат с использованием материальных уравнений длягармонических по времени полей:H zyE zyH yz ik 0  E x ,E yz ik 0  H x ,H xzE xzH zxE zx ik 0  E y , ik 0  H y ,H yxE yxH xyE xy ik 0  E z ik 0  H z(19)(20)Допустим, что  ,  не зависят от y и будем искать решение, тоже независящее от y .

Подставим во второе из уравнений (19) выражения для H x иH z из (20) и получим уравнение в частных производных второго порядка  1  1  k02  E y  0, x  x z  z22(21)содержащее только одну неизвестную. Проводя аналогичные преобразования,получим следующее уравнение второго порядка относительно H y : 1   1  k 02   H y  0, x  x z  z(22)Остальные компоненты поля выражаются через E y , H y :Ex 1ik0  H y z1 , Ez ik 0  H y x1  E y,Hxik 0   z1  E y ,Hzik 0   x (23)Поэтому при моделировании плоских задач вместо уравненийМаксвелла используют скалярные уравнения (21), (22).

Следует заметить, чтовыражения 1  1 ,x  x z  z 1  1 x  x z  z(24)представляют собой симметричные эллиптические операторы 2-го порядка,теория которых хорошо развита.В частном случае постоянных  , оба выписанных уравненияпереходят в уравнение Гельмгольца 222 2  2  k0   u  0,z x(25)играющее центральную роль при построении моделей волновой оптики, вкоторой пренебрегают «векторным характером электромагнитного поля»[108].В принципиально трехмерных задачах, как например, задача дифракциина шаре, удается свести рассмотрение к двум скалярным уравнением путемвведения специальных криволинейных координат [109-112]. Однако в общемслучае такое сведение невозможно и, тем не менее, уравнение Гельмгольца суспехом используется для моделирования таких задач, называя такого родаметоды скалярным приближением.Этому обстоятельству можно дать следующее объяснение.

Преобразуемуравнения Максвелла в компонентном представлении (19), (20) аналогичным23образом, не предполагая независимость от y , и получим уравнения второгопорядка, в левой части которого стоит оператор Гельмгольца: 22  E x2 2knE 20yz 2x  y x   E z   z  y (26)  1 H y   1 H y   1 H x   1 H z 2 2  k0 n H y    x   x z   z x   y z   y (27)Дополним уравнения, четырьмя соотношениями, связывающими компонентыH x и H z с компонентой E y и компоненты E x и E z с компонентой H y :Ex 1  H y H zik0  zyHx 1   H x H y  , Ez ikyx 0 (28)1  E z  E y 1  E y E x ,Hzik0   yz ik0   xy (29)Выразим правую часть получившегося уравнения (26) через компонентымагнитного поля, используя соответствующие уравнения (19): E x   E z 2  1  H y  H zx y z yx y  ik 0  zy 2  1  H x  H yx  y z  ik 0  y(30)Для тонкопленочных интегрально-оптических волноводов справедливо 1  1   0x    z   (31)с учетом чего уравнение (26) и уравнения (29) формируют систему для TEмоды вида:  222 2 2  2  k 0 n  E yz x1  E z E yHxikyz0 2  1 H z  2  1 H x ,x y  ik 0 y  y z  ik 0 y 1  E y E x , Hz .ikxy0(32)Аналогичным образом можно преобразовать правую часть уравнения(27), используя уравнения (20) и, с учетом (31), система для TM-модыформулируется следующим образом:24   1 H y   1 H y   1  2 Ex   1  2 Ez 2 2  ,   k 0 n H y   z   z z  ik 0 y 2 x  ik 0 y 2  x   x (33)HHH1H1yyxz E x  ik   z  y  , E z  ik   y  x  .0 0 Соотношения (32), (33) показывают, что скалярным приближением можнопользоваться, если поле меняется слабо вдоль оси y и число k0 велико, какэто обычно и бывает в оптических задачах.

Характеристики

Список файлов диссертации