Диссертация (1155090), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В зависимости от того, какой из векторов у данной моды имеетпродольную составляющую, ее называют ТМ или ТЕ модой [75]. ТеоремаТихонова и Самарского позволяет выписать решение задачи о возбуждениитоком колебаний в регулярном волноводе в виде ряда по ТЕ- и ТМ-модам. Вволноводах со сложным заполнением в соответствующей спектральной задачена сечении не удается разделить переменные, поэтому вместо разложения поТЕ- и ТМ- модам используют разложение по нормальным модам, имеющимболее сложную векторную структуру. Названная спектральная задачаоказывается несамосопряженной, поэтому доказательство полноты системыкорневых векторов этой задачи представляло определенные трудности,разрешенные в серии работ А.Н.

Боголюбова, А.Л. Делицына, М.Д. Малых иА.Г. Свешникова [76-78].Если волновод имеет постоянное сечение и заполнен однороднымвеществом, то нормальные моды распространяются вдоль его оси безизменений. Однако если поместить внутрь волновода диэлектрическое телоили деформировать его поверхность на некотором участке, то часть энергиипадающей нормальной волны отражается обратно, а часть передается другиммодам. Это явление получило название дифракции на неоднородности внерегулярном волноводе.В 1950-х годах были предложены первые численные методы расчетаплавно-нерегулярных волноводов, то есть волноводов, сечение которыхменяется достаточно медленно, в работах Б.З.

Каценеленбаума [30-31] и А.Г.Свешниковым [10-13,79,80]. Оба эти метода основаны на разложении решения12по собственным векторам подходящей спектральной задачи на сеченииволновода и сведению исходной системы уравнений Максвелла к системеобыкновенныхдифференциальныхуравненийипотомумогутрассматриваться с одной стороны как развитие метода Галеркина, а с другойкак применение метода Канторовича [130] к волноводным задачам. В теорииволноводов методы, основанные на разложениях по собственным функциямсечения, называют неполным методам Галеркина [75, 79, 80]; он обосновандля решении задач дифракции в волноведущих систем со сложной геометриейи не менее сложным, в том числе киральным заполнением, что было показанов серии работ, выполненных под руководством А.Г.

Свешниковым нафизическом факультете МГУ в 1970-2000-х годахБоголюбовым А.Н.,Быковым А.А., Делицыным А.Л., Моденовым В.П. и др. Современноеизложение неполного метода Галеркина в его применнии к сложнымзакрытым волноведущим системам можно найти в серии работ А.Н.Боголюбова, А. И. Ерохина, И. Е. Могилевского, В. Е.

Родякина и В. М.Пикунова [93-95], особо следует выделить работу [93], где задачарассматриваемтся в полной векторной постановке. Схожая конструкция,известная как метод Канторовича, используется при решении задач рассеяниячастиц в квантовой механике в работах, выполненных под руководством С.И.Винницкого в ОЯИ в Дубне А.А. Гусевым, О. Чулунбатаром и др.[131-143]. Вскалярных задачах неполный метод Галеркина можно считать адаптациейметода Канторовича к волноводным задачам.Следует заметить, что в работах А.Г.

Свешникова был не только указанпрактический способ отыскания поля, но и предложена корректнаяматематическая модель этого явления, ключевым моментом которой сталазамена классических условий излучения на парциальные. Фредгольмовостьэтой задачи, как в скалярной, так и в полной векторной постановке былаустановлена в цикле работ, выполненных под руководством А.Г. Свешникова[87-91].13Задача дифракции на диэлектрическом теле в полом закрытомволноводе неоднократно была предметом математического моделирования, втом числе с привлечением современных вычислительных средств [81-83],однако программных реализаций в общественном доступе не имеется.

Хорошоизучен и другой важный для практических задач случай нерегулярноговолновода – сочленение двух волноводов разного сечения [84-86].Корректностьматематическоймоделизакрытоговолноводапритягивала к ней внимание мат. физиков в ущерб исследованию открытыхволноведущих систем. Математическое исследование закрытых и открытыхволноводов электромагнитного излучения в оптическом диапазоне былопродолжено в работах радиофизиков [16-20]. По теории и применениямоткрытых планарных волноводов опубликован ряд монографий, содержащихбольшие разделы по теории регулярных вдоль оси распространенияоптического излучения волноводов [21-29].Работы по моделированию распространения оптического излучения вволноводах с продольной нерегулярностью можно разделить на следующиегруппы: волноводы с уединенными резкими нерегулярностями, волноводы состатистическиминерегулярностямииволноводысплавныминерегулярностями.

В последнем направлении следует особо отметить работы[30-31] Б.З. Каценеленбаума, обобщенные в работах по плавно-нерегулярнымзакрытым волноводам и работы [32-33] В.В. Шевченко по плавным переходамв открытых волноводах. Плавным переходом указанные авторы называюттакой переход между продольно регулярными участками волновода сразличными параметрами, который осуществляется путем непрерывного (безскачков) изменения этих параметров.Вволноводахспродольнойнерегулярностьюхарактернойособенностью является то, что при прохождении волн через неоднородностипроисходитизлучениетрансформациивоткрытоепространство.электромагнитногополя14вЗадачутакихописанияпереходахБ.З.

Каценеленбаум [31] решил с помощью построенного им методапоперечных сечений. Плавный переход в планарном волноводе можетпредставлять неоднородный вдоль горизонтальной плоскости участокволновода. В.В. Шевченко [32] ограничился рассмотрением неоднородныхвдоль оси участков волновода.Авторы работ [34-43] рассматривают частный случай открытых линий –многослойныйтонкопленочныйплавнонерегулярныйинтегрально-оптический волновод. Но плавные нерегулярности, рассмотренные ими, неограничиваются частным случаем изменения «вдоль линии», рассмотреннымавторами работ [31] и [32], а включают в себя произвольные плавныеизменениявертикальныхпараметровмногослойногоинтегрально-оптического волновода «вдоль горизонтальной плоскости».Описанные приближения приводят к удовлетворительным результатамвычислений для широкого класса плавно нерегулярных волноводов.

ИменнотакимметодомСаутвелл[44,45] вычислилпеременнуютолщинудополнительного волноводного слоя на несимметричном регулярномтрехслойном волноводе, обеспечивающую фокусировку падающей TE0 модына заданном фокусном расстоянии от центра тонкопленочной волноводнойобобщенной линзы Люнеберга [46-48].Направляемые моды при распространении вдоль регулярного участкаинтегрально-оптическоговолновода являются независимыми, они необмениваются энергией между собой и с окружающей волновод средой [16,24]. На участке волновода с плавными нерегулярностями показателейпреломления слоев или их толщин направляемая волноводная модаиспытывает возмущение [55-58].

Эту слабо возмущенную моду можнорассматривать как «квазиволноводную» моду. Эта мода характеризуется тем,что в поперечном сечении волновода волна является стоячей, и количествоузлов (нулей) напряженности электромагнитного поля остается неизменнымпри волноводном распространении моды. Квазиволноводные моды могут15обмениваться энергией между собой и с окружающей средой [19-26, 31,32, 3443, 50-54]. Эта энергия составляет малую часть мощности, переносимойотдельными модами, что позволяет использовать для исследования плавнонерегулярных волноводов приближенные методы (см.

[34-43, 50-54]).Для решения задачи эффективной передачи энергии через различныеэлементы сопряжения (линзы, разветвители, призмы, мультиплексоры)необходимо учесть векторный характер полей на всех этапах решенияэлектродинамической задачи распространения плоской монохроматическойсветовой волны в многослойной интегрально-оптической структуре [19-32,34-43].Моды плавно-нерегулярного участка волновода являются слабогибридными квази-ТЕ и квази-ТМ модами [19-32, 34-43]. Удержание вграничных условиях и в решении квазиволновых уравнений слагаемых,пропорциональных градиенту диэлектрической проницаемости, позволяетучестьвекторныйхарактерраспространениямонохроматическогоэлектромагнитного излучения [50-58]. Векторное рассеяние волноводноймоды в статистически нерегулярном волноводе рассмотрено в работах [51-58].Нелинейныеволновыезадачи,вчастностивприложениикполупроводниковым переходам в микроэлектронных структурах, изучались вработах [59-64], вопросам электромагнитных волновых процессов в плазмепосвящены работы [65-69], в работах [70-74] изучаются многомерныеструктуры.Диссертационноеисследованиепосвященоматематическомумоделированию, теоретическому и численному исследованию волноводногораспространения света в интегрально-оптических волноводах.16Глава 1.

Обзор математических моделей интегрально-оптическихволноводов и методов решения волноводных задач1.1.Общие принципы создания моделей электромагнитных явленийУравнения МаксвеллаНаиболееобщийиуниверсальныйподходксозданиюмоделейэлектромагнитных явлений основан на использовании уравнений Максвелла[75,99].

В СГСЭ уравнения Максвелла записываются следующим образомrot H 1 D 4j  j CT c tc(1)1 Bc t(2)rot E  Здесьиспользованыdiv B  0(3)div D  4(4) div  j  j CT   0t(5)E  E  x, y , z , t обозначения:–напряженностьэлектрического поля, H  H  x, y , z , t  – напряженность магнитного поля,D  D  x, y , z , t  – вектор электрической индукции, B  B  x, y , z , t  – вектормагнитной индукции, j  j  x, y , z , t  – вектор плотности электрического тока,    x, y , z , t  – плотность электрического заряда. Плотность сторонних токовj CT  j CT  x, y , z , t  есть заданная величина.Система уравнений (1)-(5) дополняется уравнениями, связывающиминеизвестные величины и описывающие материальные характеристики среды,в которой рассматривается изучаемый физический процесс.

В локальныхлинейных изотропных средах, которые и будут рассматриваться в работе,материальные уравнения принимают видD   E, B   H , j   E,17(6)где  ,  – диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, –проводимость среды.На практике сложные интегрально-оптические устройства создаютсяпутем комбинирования однородных сред, в которых величины  ,  и постоянны. Однако в теории обычно не ограничиваются рассмотрениемкусочно-постоянных  ,  и  .

Часто системы с переменным заполнениемобладают теми или иными замечательными свойствами, для их создания изреальных материалов используют много слоев с различными показателямипреломления. Например, классическая линза Люнеберга [100], имеющая врамках геометрической оптики истинный фокус, собирается из большогочисла концентрических шаровых слоев, показатели преломления которыхмедленно меняются от слоя к слою, аппроксимируя профиль показателяпреломления линзы, найденный теоретическим путем. Вопрос о том, следуетли при моделировании таких систем использовать кусочно-постоянные  ,  и или точные выражения, найденные чисто теоретическим путем, не можетбыть решен однозначно.

С одной стороны, такие системы, выполненные ввиде устройств, имеют кусочно-постоянное заполнение и поэтому, используяего в теоретических расчетах, можно ожидать достижения большегосовпадения результатов вычислений и измерений, чем при использованиитеоретических выражений. С другой стороны, наличие скачков всегдаприводит к явлению Гиббса, а, следовательно, к существенному ухудшениюсходимости используемых численных методов и большей затратностивычислений. По этой причине в диссертации будет рассматриваться общаямодель, в которой величины, характеризующие заполнения, могут бытьпеременным, точнее говоря, положительными кусочно-гладкими функциями,имеющими конечное число разрывов первого рода в рассматриваемойобласти.

Характеристики

Список файлов диссертации