Диссертация (1155090), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

В силу теоремы Римана планарный волновод всегда можноконформано отобразить на плосу постоянной ширины. В данном случаеможно указать конструктивно алгорим построния такого преобразования[144]. При этом оператор Лапласа сохраняется, но зато вид преобарзованиястановится очень сложным.55Редукция к краевой задаче для системы ОДУИщем приближенное решение уравнения (137) в виде частичной суммыряда по системе функций задачи в нулевом приближении, удовлетворяющихграничным условиям (138), а именно[14,15,75,146]:Nu N   ,    Vn   sin   n (141)n 1где N - число слагаемых в частичной сумме ряда.Подставим решение (141) в уравнение (137) и граничные условия (139),(140) и применим проекционную схему метода Галеркина [6,7].

В результатеполучаем краевую задачу для системы N обыкновенных дифференциальныхуравнений второго порядка[146]:гдеA   v  P   v  Q   v  0(142) v   iD  v  2i n0  n , n0 A / h1 0 v   iD  v    d  0(143)v   V1   , V2   ,..., VN   T–векторискомыхамплитудных(коэффициентных) функций разложения Канторовича, A   , P   , Q   –матрицы-функции,элементыкоторыхрассчитывалисьспомощьюMaple[146,151], D  diag  n n 1 , D   diag  n n 1 ,  n , n0 – вектор с нулевымиNNкомпонентами, за исключением единицы, стоящей на n0 -й позиции.Численный расчетРешаем численно задачу волноводного распространения монохроматическогосвета с длиной волны 0,55  в волноводном переходе из материала с n f  1,51.

Функция h  z  – полином третьей степени, значение которого плавноменяется от h1  0, 70  до h2  0,92  на участке протяженностью d  2, 00 56. Толщине h1  0, 70  соответствуют 3 неэванесцентных моды, толщинеh2  0,92  - 5 неэванесцентных мод.

Рассматриваем два случая: в первом наописанную выше структуру падает одна первая ( n0  1 ) неэванесцентная мода,во втором – первая эванесцентная мода ( n0  4 ). Общее число мод вразложении N  16 . Краевая задача решается разностной схемой (разбиениеотрезка на 2048 точек) с использованием встроенной в Maple функцииdsolve.Рисунок 10. Первые четыре коэффициентные функции, действительныечасти которых изображены непрерывными линиями, мнимые части –пунктиром. Падает мода с номером n0  1 и амплитудой A   i  1 / 2Рисунок 11.

Первые четыре коэффициентные функции, действительные частикоторых изображены непрерывными линиями, мнимые части – пунктиром.Падает мода с номером n0  4 и амплитудой A   i  1 / 2Численный расчет (см. Рисунок 10) показывает поведение амплитудныхфункций всех допустимых мод при падение моды с номером n0  1 на57нерегулярный участок. Мы наблюдаем возбуждение в нем второй и третьейнеэванесцентных мод. Амплитуда падающей ( n0  1 ) моды уменьшаетсявследствие перераспределения энергии между неэванесцентными модами,распространяющимися в нерегулярном участке.Второй пример (см.

Рисунок 11) демонстрирует поведение амплитудныхфункций разложения при падении первой эванесцентной моды ( n0  4 ) нанерегулярныйучасток.Амплитудаэванесцентноймодаубываетдокритической толщины волновода, при переходе через которую модастановится неэванесцентной с уменьшившейся амплитудой.

В волноводе, каки в первом случае, возбуждаются и другие неэванесцентные моды.ЗаключениеСтоит отметить, что полученная в нулевом приближении системафункций, используемая далее для построения приближенного решения, висходной системе координат имеет вид n  x, z   sin  nx / h  z   , n  1, 2,3 ...(144)который совпадает с используемой системой функций (126) в методеКаценеленбаума, решение в котором также раскладывалось по ним. Однако вописанном методе – неполном методе Галеркина – ставится корректная задача,кроме того, доказана его сходимость [15].Обобщение метода Каценеленбаума на класс интегрально-оптическихволноводов сделано его учеником Шевченко В.В.

в [32,33]. Формулировкаметода поперечных сечений Шевченко сделана по аналогии с формулировкойметода Каценеленбаума, однако из-за наличия непрерывного спектра задачи(см. Непрерывный спектр оператора второго порядка на оси) полученныеуравнения являются интегро-дифференциальными.

Метод Шевченко болееподробно изложен в следующем разделе.58Прямое обобщение неполного метода Галеркина на класс интегральнооптических волноводов отсутствует, однако в работе Свешникова [79]обосновывающей теоретически неполный метод Галеркина, имеется указаниена возможность обобщения результатов по неполному методу Галеркина,которое будет использовано далее и более подробно описано в главе 2.ЗадачадифракциивнерегулярныхдиэлектрическихоткрытыхволноводахВслучаеволноводногораспространенияполяризованногомонохроматического электромагнитного излучения в двумерном интегральнооптическом волноводе описывающая его система уравнений Максвелларедуцируется (как и в случае регулярных волноводов) к паре уравненийГельмгольца вида[32,33]: x , z   x, z   k 02 n 2  x, z    x, z   0(145)Для описания волноводного распространения монохроматическогосвета в плавно-нерегулярном интегрально-оптическом волноводе частоиспользуется [32] метод поперечных сечений.

В основе этого метода лежитадиабатическое приближение асимптотического разложения локальноплоскихволн,упрощенноедвумядополнениями:впроизводныхадиабатических волноводных мод учитываются только вклады нулевогопорядка и вместо касательных плоскостей в точках нерегулярных границ дляформулировкиграничныхусловийиспользуютсяихприближения«горизонтальными проекциями» [43, 145].Использование второго предположения сводит перечисление полнойсистемы мод, используемой в методе, к системе мод регулярного волноводасравнения [34,92,123].Воспользуемся представлением полной системы волноводных модрегулярного волновода сравнения.Использование первого предположения приводит к следующемупредставлению поля общего вида.

Поскольку поля отдельных мод имеют вид59z  x; z  exp  ik0   j  z  dz  j z1j(146)то поле общего вида представимо следующим образом  x, z      x, z      x, z (147)zЗдесь в разложении для  ( x, z ) входят exp  ik0    z  dz  zТак чтоz  x, z    C  z   x; z  exp  ik 0   j  z  dz jjjz  C  s; z   x; z ds exp  ik 0   s  z  dz ns2s j z s  z  z  C  c; z   x; z ds exp  ik 0   c  z  dz nc2c  z zВ разложении для  ( x, z ) входят exp   ik0    z  dz  z .cСогласнометодупоперечныхсеченийпроизводная(148) / zпредставляется в виде    zzz(149)zпоэтому в разложении для  / z входят exp  ik0    z  dz  :z  ik0   j  z С j  z     j , x; z  exp  ik 0   j  z  dz  z ik0 nc2 ik0 ns2z c  z С   c , z     c , x; z  d  c exp  ik0   c  z  dz   (150)z s  z С   s , z     s , x; z  d  s exp  ik 0   s  z  dz 60zВ разложении для  / z входят exp  ik0    z  dz  .Оба этих результата ведут к появлению системы интегральнодифференциальных уравнений для коэффициентов разложения общегорешения в методе поперечных сечений [33] на основе таблицы скалярныхумножений для функций из полных систем для волноводов сравнения,обобщающих известную таблицу умножения для регулярных волноводов сфиксированной толщиной [151].С учетом слабой нерегулярности можно ограничиться учетом вкладатолько дискретного спектра и только прямых волн.

В этом случае формулыразложение для прямых волн принимают вид:   x, z   C j  z  j  x; z  ,(151)j   x , z z i  j  z  C j  z  j  x; z  .(152)jПродифференцируем (151) по z и подставим получившееся выражение в(152). Разложение (152) также продифференцируем по z , получившиесяразложения подставим в уравнение Гельмгольца.

Полученные формулы длякоэффициентной функции при n  1аналогичны формулам, выведеннымШевченко для открытых плавно-нерегулярных волноводов с одноточечнымдискретным спектром.Таким образом, получается система обыкновенных дифференциальныхуравнений для коэффициентных функций, а значит и расчетная формуламетода поперечных сечений в случае наличия Nнаправляемых мод(дискретного спектра). Для расчета распространения поляризованногоэлектромагнитного излучения необходимо проинтегрировать полученнуюсистему обыкновенных дифференциальных уравнений.61Одномодовое приближение. Синтез профиля толщины тонкопленочнойобобщенной волноводной линзы Люнеберга методом поперечных сеченийВ данном разделе исследуем закон эволюции отдельно взятой моды и еедисперсионного соотношения при распространении в плавном переходе.Рассмотрим отдельный вклад направляемой моды с коэффициентом фазовогозамедления  j в решение (148)zC  z   x; z  exp  ik0   j  z  dz  .jj(153)Перекачка энергии между модами не рассматривается (остается за рамкамирассмотрения), но это не означает, что она отсутствует.

В реальности (прирассмотрении всего пакета (148)) коэффициенты C j  z  изменяются приизменении координаты. Таким образом, в данном рассмотрении нам следует сучетом законов электродинамики и трансформационных свойств  j  x; z описать эволюцию моды  j  x; z  :zz  Ey 1  x; z  exp  ik0   j  z  dz   exp  ik0   j  z  dz  . (154)  x; z  j z Hy jДисперсионные соотношения для однородных плавных переходовРассмотримплавныйпереходмеждудвумядиэлектрическимиволноводами с толщинами d in у левого и d fin у правого волноводов.Показатели преломления во всей структуре одинаковы: ns - показательпреломления подложки, n f показатель преломления волноводного слоя, ncпоказатель преломления покровного слоя (воздуха).

Толщина волноводногоперехода на интервале  zin , z fin  изменяется от d in до d fin , так что при любомтекущем z   zin , z fin  толщина d   d in , d fin  (см. Рисунок 12).62Рисунок 12. Плавный однородный волноводный переход z   zin , z fin Задача описания направляемой ТЕ-моды в плавном переходе (в рамкахметода поперечных сечений) при каждом z формулируется в виде матричноймодели регулярного волновода сравнения. Так что коэффициент фазовогоjзамедления   z  в зависимости от толщины волноводного слоя d  z является решением нелинейного алгебраического уравнения [124]:jdet M TE4  d  z  ,   z   0 .(155)Аналогично получается уравнение для ТМ- моды:jdet M TM4  d  z  ,   z   0 .(156)Хорошо известно, что  j  d  z   принимает значения в интервале j   ns , n f  . Причем, для каждого корня  j существует своя критическаятолщинаd crj arctg   c  ns   f  ns   f  ns  j ,(157) nf .начиная с которой  j  ns .

Характеристики

Список файлов диссертации