Диссертация (1155090), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Константа Rxопределяет высоту закрытого волновода.Утверждение 3. Пусть полость волновода можно разбить на конечное числоподобластей, в каждой из которых показатель преломления является гладкойфункцией, а на границах областей допускает лишь разрывы 1-го рода. Пустьпоказатель преломления вне компакта z   0; L  не зависит от z .

Тогдазадача дифракции заданной TE-волны на волноводном переходе винтегрально-оптическом волноводе, понятая в рамках используемой моделикак решение задачи (193), имеет и притом единственное решение.Функции  n и коэффициенты  n определяются из задачи ШтурмаЛиувилля (168), а  n и  n - из задачи:    k02 n22  x    k 02  2    R   R  0 0  x  0   x  h2   x  0     x  h2  02где n2  x  определена следующим образом:85(194) nc2 ,x  h2 22n2  x    n f , 0  x  h2 n2 ,x0 s(195)Алгоритм численного решения задачи для TE-модыБудем искать приближенное решение задачи в виде разложения попервым N функциям полной в L2   Rx , Rx  системы  n  x n 1 :Nu N  x , z    Vn  z   n  x (196)n 1где Vn  z  – искомые коэффициентные функции Канторовича.Подставим приближенное решение (196) в уравнение Гельмгольца из(193) и применим проекционную схему метода Галеркина, в результатеполучим систему обыкновенных дифференциальных уравнений второгопорядкаv  Q  z  v  0где v  V1  z  , V2  z  ,(197)VN  z   – вектор искомых коэффициентных функций,матрица коэффициентов системы (197) определена как Q  z   k02 D 2  k 02 P  z где D  diag   j  , а коэффициенты P  z   pij  z j 1Npij  z    n  n2f2cNi , j 1определяются как:h z     x    x  dxij(198)h1Из условия непрерывности решения вместе со своейпервойпроизводной следуют краевые условия третьего рода:v  0   ik0 Dv  0   2ik0 Dan0(199)v  L   ik0 Sv  L   0(200)86где в силу разложения поля в правом регулярном волноводе по системефункций  n n1 матрица S имеет вид S  WD 2 W 1 , где D 2  diag  j  j 1 , аNNкоэффициенты матрицы W  wijNi , j 1определены какRwij    x    x  dxij(201)RПолученная система обыкновенных дифференциальных уравнений икраевые условия для нее формулируют третью краевую задачуv   Q  z  v  0v   0   ik0 Dv  0   2ik 0 Dan0v   L   ik 0 Sv  L   0(202)Замечание.

В случае, когда волноводные слои не являются однородными, нона границах слоев показатель преломления испытывает разрыв первого рода,приходится прибегать к более сложным методам численного решенияуравнения Гельмгольца с переменными разрывными коэффициентами. Наэтом направлении большой вклад в развитие теоретических и численныхметодов внесла научная группа проф. Виницкого С.И. [131-143].87Глава 3. Численный эксперимент3.1.Алгоритм численного решения задачи на собственные значения исобственные функции регулярного волноводаВ настоящем разделе рассмотрим алгоритм решения задачи на собственныезначения и собственные функции   k02 n12  x    k 02  2  Rx   Rx  0 0  x  0   x  h1  x  0    x  h1  0(203) nc2 ,x  h1 22n1  x    n f , 0  x  h1 n2 ,x0 s(204)2где n1  x  определена какс обозначениями nс , n f и ns - показатели преломления покровного слоя,волноводного слоя и подложки соответственно.

Для решения задачи (203)воспользуемся методом волнового сопряжения (см. главу 1), а именнозапишем решение для каждой подобласти с постоянным показателемпреломления в виде разложения по фундаментальной системе решений снеизвестными коэффициентами и подставим решения в граничные условия.Полученная однородная система линейных алгебраических уравнений,коэффициенты которой зависят от спектрального параметра  2 ,имеетнетривиальное решение только тогда, когда определитель ее матрицы равеннулю, то есть условие разрешимости формулируется в виде уравненияdet M   2   0 , корнями которого являются допустимые значения j2 .Алгоритм определения функции det M   2  в символьно-численном виде всистеме компьютерной алгебры Maple представлен на Рисунок 20. Каждому88допустимому значению  j2 соответствует однородная система M j A j  0 , гдеM j  M   j2  , аAj- вектор искомых коэффициентов разложения пофундаментальной системе решений.

Решив систему (отыскав вектор A j ) мыопределим тем самым собственную функцию задачи (203), соответствующуюсобственному значению  j2 .Рисунок 20. Блок-схема алгоритма определения функции det M   2  в Maple3.2.Численное решение задачи на собственные значения и собственныефункции регулярного волноводаДля решения задачи (203) определим сначала допустимые значенияспектрального параметра  j2 , для чегобудем пользоваться функцией,вычисляющей значения определителя.

Численный расчет будем проводитьдля следующих входных данных: nc  1.000, ns  1.470, n f  1.565 . Толщинаволноводного слоя составляет 2 , где  - длина волны. Объемлющийзакрытый волновод имеет границы x   Rx , где Rx  8 . Полученнаяоднородная система линейных алгебраических уравнений, коэффициентыкоторой зависят от спектрального параметра  2 , имеет нетривиальное89решение только если определитель ее матрицы равен нулю. Выходнымиданными подпрограммы является функция det M   2  , корни которой ищутсячисленно, используя встроенные средства системы Maple.Рисунок 21. График определителя матрицы системы уравнений для Rx  8Замечание.

При увеличении толщины объемлющего закрытого волноводазначения спектрального параметра  j2 , лежащие в интервале  2   ns2 , n 2f  , неизменяются, так как эти значения определяют направляемые моды открытоговолновода, помещенного в закрытый (см. Рисунок 22). На интервале,соответствующем непрерывному спектру открытого волновода (  2  ns2 )количество корней увеличивается при увеличении толщины объемлющегозакрытого волновода, как видно из рисунка ниже.Рисунок 22. График определителя матрицы системы уравнений для Rx  16Замечание.

Проводя сравнение значений  j2 , соответствующих дискретномуспектру открытого волновода (см. первую главу раздел «Решение задачи насобственные значения») и значений  j2 для аналогичного волновода,помещенного в объемлющий закрытый волновод, расхождение составило: j2   j2  10 15 ,90(205)расчет проводился для Rx  8 .Вычислив корни определителя  j2 ,линейныхалгебраическихуравненийможно сформировать системыотносительнонеизвестныхкоэффициентов, определяющих соответствующие собственные функции j  x  .

Входными данными для расчета  j  x  служат матрица M   2  исоответствующий корень определителя  j2 . В качестве выходных данныхвыступает численно-аналитически определенная в Maple функция  j  x  .Ниже приведены графики собственных функций  j  x  для различныхучастков спектра. Моды, аналогичные направляемым модам открытоговолновода (  2   ns2 ; n 2f  ) имеют следующий вид:Рисунок 23.

Собственная функция моды TE0Рисунок 24. Собственная функция моды TE1Полученные собственные функции соответствуют классификациирешений по Куранту (мода TEN имеет N узлов на рассматриваемом интервале).Проведемсравнениесобственныхфункций j  x  , соответствующихдискретному спектру открытого волновода (см. первую главу раздел91«Решение задачи на собственные значения») и значений  j  x дляаналогичного волновода, помещенного в объемлющий закрытый волновод наотрезке x    Rx , Rx  .

Расхождение составило:0  x   0  x 1  x   1  x 2L22L2 4.127437084211490  10 24 ,30 3.261031956498415  10 .(206)Моды, аналогичные излучательным в подложку модам открытоговолновода, (  2   nc2 ; ns2  ) имеют следующий вид:Рисунок 25. Собственная функция моды TE2Рисунок 26. Собственная функция моды TE3Рисунок 27. Собственная функция моды TE492Замечание.

В области непрерывного спектра  2  ns2 открытого волновода,спектр аналогичного волновода, помещенного в объемлющий закрытыйволновод, дискретен, однако чем больше толщина объемлющего волновода Rx, тем больше собственных значений располагается в интервале непрерывногоспектра открытого волновода.Сравним собственные функций   x,  j2  , соответствующие непрерывномуспектру открытого волновода (см. первую главу раздел «Непрерывный спектроператора второго порядка на оси») для дискретных значений спектральногопараметра  j2   nc2 ; ns2  и соответствующие собственные функции  j  x  дляаналогичного волновода, помещенного в объемлющий закрытый волновод:  x,  22    2  x 2  x,  32    3  x 2  x,  42    4  x 2 1.625724396923305  10 27L2 1.593481737443426  10 27(207)L2 1.56734269786351 0  10 27L2Собственные моды с номерами 5  j  21 описывают соответствующиесобственные функции мод непрерывного спектра для 2   nc2 ; ns2 саналогичной по порядку погрешностью, не превосходящей величины1.832210374540117  10 27 .

Моды, аналогичные излучательным покровныммодам открытого волновода, (  2  nc2 ) имеют следующий вид:Рисунок 28. Собственная функция моды TE2293Рисунок 29. Собственная функция моды TE23Рисунок 30. Собственная функция моды TE24Замечание. В области спектрального параметра  2  nc2 , соответствующейизлучательным покровным модам открытого волновода, в открытомволноводе спектр двукратный (см. первую главу раздел «Непрерывный спектроператора второго порядка на оси»), то есть каждому  2  nc2 соответствуетдве линейно независимые собственные функции  с  x,  2  и  s  x,  2  . Ваналогичном волноводе, помещенном в объемлющий закрытый волновод,спектр однократный. Это объясняется тем, что условия первого рода награницах объемлющего волновода выделяют такую линейную комбинацию j  x    c с  x,  j2    s s  x,  j2  , для которой  j   Rx    j  Rx   0 .Сравним собственные функций  j  x  , соответствующие непрерывномуспектру открытого волновода для дискретных значений спектральногопараметра  j2   nc2 ; ns2  и соответствующие собственные функции  j  x  дляаналогичного волновода, помещенного в объемлющий закрытый волновод:94 22  x    22  x 2 23  x    23  x 2 24  x    24  x 2L2L2L2 8.872374845933656  10 32 4.854261478388739  10 31(208) 4.229890033200462  10 32Собственные моды с номерамиj  24описывают соответствующиесобственные функции мод непрерывного спектра для  2  nc2 с аналогичнойпопорядкупогрешностью,непревосходящейвеличины5.507983165870747  10 31 .Стоит отметить также, что собственные функции задачи (203) образуютполную ортогональную систему функций в L2   Rx , Rx  .

Характеристики

Список файлов диссертации