Диссертация (1155090), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Итоговоеверифицирующее соотношение будет иметь вид:  max   i 0i  M(225)В рассматриваемом примере численное значение параметра  равно:  0.0181831355013748(226)Оценки для задачи дифракции на неоднородности в форме линзы внутриволноводного слояВ задаче с линзой внутри волноводного слоя матрица Q j определяетсяследующим образом (приведена подматрица 2x2):Q1,1  428.7  33.90 cos  2.344 dh  sin  2.344 dh   112.2 dh  33.80 cos  2.344 dh 2Q1, 2  42.87 sin  2.280 dh   5.002 sin  6.968 dh   14.85 cos  6.968 dh   21.34 cos  2.280 dh   0.4722Q2,1  42.87 sin  2.280 dh   5.002 sin  6.968 dh   14.85 cos  6.968 dh   21.34 cos  2.280 dh   0.4722Q2,2  411.1  3.136 cos  4.624 dh  sin  4.624 dh   106.3dh  22.78 cos  4.624 dh 2Приведем ниже числа обусловленности диагональных блоков матрицысистемы B j , обусловленность которых влияет на устойчивость методаматричной прогонки.

Численный расчет проводился при входных данныхnc  1.000, ns  1.470, n f  1.565 и nl  2.1 . Толщина основного волноводногослоя составляет 2 ,где  - длина волны. На нерегулярный участок падаетмода TE0 ( n0  1 ) c единичной амплитудой ( An0  1.0 ). Объемлющий закрытыйволновод имеет границы x   Rx , где Rx  20 . В нем присутствует N  99111неэванесцентная мода.

Результаты расчетов числа обусловленности матрицыB j при M  1024 приведен ниже:condB0  1.000000180,condB128  1.001380379condB256  1.001706631,condB384  1.001784703condB512  1.001705233,condB640  1.001784703condB640  1.001784703,condB896  1.001380379(227)condB1024  1.000000180Число обусловленности матриц, соответствующих блокам главной диагоналиочень близко к единице, что позволяет устойчиво производить процедурыметода матричной прогонки.

На каждой итерации метода матричной прогонкиобращается сумма матриц X j 1   B j  X j  , которая также обращается1устойчиво (как и для задачи с линзой на волноводном слое): 1.000000180,condX 128  1.062315676condX 256  1.034971270,condX 384  1.084891101condX 512  1.072165297,condX 640  1.054577585condX 768  1.073203990,condX 896  1.038848738condX 1(228)condX 1024  1.041950932Погрешность решения системы линейных алгебраических уравнений сблочно-трехдиагональнойматрицейразмера 99  1024    99  1024 составляет:  3.974170599  10 14(229)Энергетическая величина (сумма квадратов модулей амплитуд),характеризующаясуммарнуюэнергию,переносимуювсемимодами,отличается от единицы на величину:  0.0268485414849495(230)Оценки для задачи дифракции на плавном волноводном переходеВ задаче с волноводным переходом матрица Q j определяется следующимобразом (приведена подматрица 2x2):112Q1,1  564.2  4.552  10 131 e 41.62 dh  33.30  4.466  10 64 dh  0.6326  e 41.62 dh  33.30Q1, 2  1.285  5.067  10 128 e 40.74 dh  32.60  5.069  10 64 e 0.8759 dh  0.7008  2.779  10 61 e 0.8759 dh  0.7008  1.285  e 40.74 dh  32.60Q2 ,1  1.285  5.067  10 128 e 40.74 dh  32.60  5.069  10 64 e 0.8759 dh  0.7008  2.779  10 61 e 0.8759 dh  0.7008  1.285  e 40.74 dh  32.60Q2 , 2  530.5  5.646  10 125 e 39.87 dh  31.89  9.6 78  10 61 dh  2.610  e 39.87 dh  31.89Ниже приведены числа обусловленности диагональных блоков матрицысистемыBj.Численныйрасчетпроводилсяпривходныхданныхnc  1.000, ns  1.510, n f  2.100 .

Функция h  z  , описывающая переменнуювысоту волноводного перехода – полином третьей степени, значение которогоплавно меняется от h1  0,80  до h2  0,92  на участке протяженностьюd  2, 00  . Толщинам h1  0,80  и h2  0,92  соответствуют 5 направляемыхмод. На нерегулярный участок падает мода TE0 ( n0  1 ) c единичнойамплитудой ( An0  1.0 ). Объемлющий закрытый волновод, в которыйпомещается описанная структура имеет границы x   Rx , где Rx  8 .

В немN  41присутствуетраспространяющаяся(неэванесцентная)модаРезультаты расчетов числа обусловленности матрицы B j при M  1024приведен ниже: 1.000000578,condB128  1.001090931condB256  1.001165464,condB384  1.001249734condB512  1.001328745,condB640  1.001422660condB768  1.001503763,condB896  1.001559869condB0(231)condB1024  6.321735411  1010Как видно, все матрицы, кроме матрицы B1024 , обусловлены хорошо, потомучто матрица B1024 соответствует границе z  L . Причем, обусловленностьматриц метода матричной прогонки X j 1   B j  X j всех значений z j :1131остается хорошей дляcondX 1  1.000000578,condX 128  1.002770845condX 256  1.008867709,condX 384  1.014715239condX 512  1.020458973,condX 640  1.016312480condX 768  1.019551928,condX 896  1.030030540(232)condX 1024  1.041088933В результате применения метода матричной прогонки погрешность решениясистемы линейных алгебраических уравнений с блочно-трехдиагональнойматрицей размера  41  1024    41  1024  составляет:  9.308457014  10 14(233)Энергетическая величина (сумма квадратов модулей амплитуд),характеризующаясуммарнуюэнергию,переносимуювсемимодами,отличается от единицы на величину:  0.00866973953184291(234)3.8.

Дифракция на линзеОбратимся теперь к принципиально трехмерной задаче о дифракции на линзе,поставленной в рамках используемой модели[146] в разделе 2.1.Описаниеприближенной математической модели.Вычисление локализованных собственных функцийВсе собственные значения задачи можно найти по методу разделенияпеременных. Полагаяv  v  x  cos  s  y  R y  / 2 R y  , s (235)и подставляя(235), получим одномерную задачу на собственные значенияv   k 2 q  x  v     s / 2 R 2 v  0,0yv x   R  0,x(236)Поэтому, достаточно найти все собственные значения при s  0 , остальныеполучаются из них сдвигом на величину   s / 2 R y  . При этом собственное2114значение  отвечает локализованной моде, если v ( x ) экспоненциальноубывает в покровном слое и подложке[21-24], то есть если k 2 n 2f      s / 2 R y   min(  k 2 nc2 ,  k 2 ns2 ).2Отсюда, будет ли мода локализована при s  0 или нет, существеннозависит от выбора R y [146].

Обратимся к вычислению локализованных мод, независящих от y ( s  0 ) сшиванием решений на двух разрывах коэффициентапреломления. Для удобства опишем обозначения, которые используются впакете Luneburg под Sage. 0 – подложка, 1 - волноводный слой, 2 - покровный слой, n=[ns,nf,nc] - список с показателями преломления, h=[h0,h1] - отрезок осиy,который занимает волноводный слой,Функция luneburg_eigenplot(n,h,k,Ry) проводит численный расчетдисперсионной зависимости и строит график дисперсионной кривой (влогарифмическом масштабе), нули которой суть искомые собственныезначения.

Будем далее рассматривать размеры волноводной структуры вединицах длины волны электромагнитного излучения. Рассмотрим открытыйволновод с толщиной волноводного слоя в 1 длину волны и1.1 x  0,n  20  x  1,11  x,помещенного в ящик с Rx  10 длин волн. На Рисунок 47 представленыграфики при Rx  2 и Rx  10 . Хорошо видно, что положение нулей не зависитот Rx .115Рисунок 47. График левой части характеристического уравнения приn  [1.1, 2, 1], для двух значений Rx  2 и Rx  10Для более точного вычисления корней и собственных функций служитфункцияluneburg_eigenfunction(n,h,k,Ry,lambda),где–приближенное значение для собственного значения, найденное по графику,искомое собственное значение должно лежать на отрезке [ ,   1] . Этафункция в качестве выходных данных предоставляет список, 0-м элементкоторого служит уточненное собственное значение, а 1-м элементом –собственная функция, описанная как кусочно-аналитическое выражение инормированная на L2 ( Rx , Rx ) .

Графики собственных функции построены наРисунок 48 и Рисунок 49.Рисунок 48. График собственной функции моды TE0 при n  [1.1, 2,1]116Рисунок 49.График собственной функции моды TE1 при n  [1.1, 2,1]Волноводная линзаБудем рассматривать трехмерную волноводную линзу (см. Рисунок 50),двумерный разрез которой рассматривался в п.3.4.Численное решение задачидифракции на неоднородности в форме линзы на волноводном слое.Волноводный слой имеет утолщение в форме волноводной линзы[146] при 1 :y 2  z 2  R 2 , h  x  h   H ( y 2  z 2 / R ),заполненной веществом с показателем преломления nl , гдеH  r    2.38675112542721  1.44130319759826 r 2  0.380331123813407 r 4 0.543817145102447 1.39583945955896  r 2  1.04r  1.00.012.10773571555738r 2  1.0 1.50604595577051  r 4  1.00.02Рисунок 50.

Характеристики

Список файлов диссертации