Диссертация (1155090), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Волноводная линзаБудем строить теорию возмущений по параметру  и проводить расчетматрицы прохождения  T . Рассмотрим заполнение вида117q  q0 ( x)    q1 ( x, y , z )(237)и будем искать решение в виде [147]u   Fn vn ( x, y )ei z    u   (238)nДля отыскания возмущенной части решения видаu    u n ( z ) vn ( x , y )(239)n 1имеем соотношение видаu  k02 q0 ( y )u   k02 q1 ( x, y , z )  Fn vn ( x, y )e inzили, после проектирования на vn , видаd 2 un22ukFm e i z qnm ( z )n n0 2dzm 1m(240)гдеqnm ( z )   q1 ( x, y , z )vn ( x, y ) vm ( x, y ) dxdy.GРешение (240) может быть записано в виде [147]k02un 2i nF m 1e imn | z   |  i m qnm ( )d   Таким образом, полное поле дается формулойu    Fn e i z    Z nm ( z ) Fm    vn ( x, y ),n mnгде поправки первого порядка малости по  имеют вид: Z nmk022i ne in | z   |  i m  q ( x, y ,  ) d  .( x , y , )supp  qСледует заметить, что q1 имеет компактный носитель, поэтому интегралраспространяется на конечный отрезок.

При z  L модуль | z   | z   ,поэтому118k02 ie2i nun nz Fmm 1ei (m n )qnm ( ) d  ,  и Tn k022i n Fmm 1ei (m n )qnm ( ) d  .  Полагая Tnm ei (m n ) zvn vm  q1 ( x, y , z )dxdydzG {| z |  L }справедлива [147]Теорема 2. В первом порядке теории возмущений коэффициентыпрохождения и отражения n-ой моды даются формуламиk2 Tn 2i nk2  Tnm  Fm ,  Rn  2im 1n Rm 1nm Fm ,где Tnm ei (m n ) zvn vm   q  dxdydzei (m n ) zvn vm   q  dxdydz.G {| z |  L } Rnm G {| z |  L }Матрицы  T и  R будем называть матрицами прохождения и отражения.В полярной системе координат Tnm  ( n  n ) R2l2c221 h  H ( r )  0 r 0ei (m  n ) rR sin vn vm rdrd  dxxhЕсли vn и vm не зависят от y , то Tnm имеет вещественное значение, поскольку2sin  ( m   n ) rR sin   d   0. 0При этом для вычисления удобно пользоваться выражением 2  h  H ( r ) Tnm  ( n  n ) R    cos  ( m   n ) Rr sin   d     vn vm dx  rdrr 0   0  xh12l2c2119Слабый символьный интегратор в Sage, доставшийся в наследство от Maxima,не может вычислить интеграл по  , однако с этой задачей справляется Maple.Поэтому окончательно получается, что Tnm  2 ( nl2  nc2 ) R 2 h  H ( r )J()Rr 0 m n  vn vm dx  rdrr 0 xh1Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться стандартнойподпрограммой numerical_integral в Sage.

Вычисляем при R  1 и  0.01 :sage: g=lambda r:numerical_integral((v1.expression_at(2))^2,h,h+delta*H(r))[0]*rsage: dT11=RR(2*pi)*(nl^2nc^2)*R^2*numerical_integral(g,0,1)[0]sage: g=lambda r:numerical_integral((v2.expression_at(2))^2,h,h+delta*H(r))[0]*rsage: dT22=RR(2*pi)*(nl^2nc^2)*R^2*numerical_integral(g,0,1)[0]sage: g=lambda r:numerical_integral(v1.expression_at(2)*v2.expression_at(2), h,h+delta*H(r))[0]sage: g3=lambda r: (nl^2nc^2)*R^2*2*pi*bessel_J(0,(gamma2-gamma1)*r*R) *g(r)*rsage: [dT12,er]=numerical_integral(g3,0,1)sage: dT=matrix([[dT11, dT12], [dT12, dT22]])Матрица  T при R  1 и   0.01 этом имеет следующий вид 0.0006875501585164050.0000130554521327660 T   0.0000130554521327660 0.00253842564989878(241)Проведем аналогичный расчет при R  10 и   0.01 : 0.06875501585164050.0000181951488051887 T   0.0000181951488051887 0.253842564989878Проводя расчет при R  100 и   0.01 получим:120(242) 0.0000357619620936411 6.87550158516405T   0.0000357619620936411 25.3842564989878(243)Результаты расчетов (241)-(243) говорят об адекватности приближения помалому параметру.

Значения диагональных элементов матрицыувеличиваютсянадвапорядкаприувеличенииRнаTпорядок,внедиагональные элементы при этом сохраняют порядок величины.Если увеличить  на порядок, то получим при R  1 и   0.1 : 0.00529737931526961T   0.0001137000006053120.000113700000605312 0.0197667451242584 (244)0.000175837825094968 1.97667451242584(245) 0.000351887369047331(246)при R  10 и   0.1 : 0.529737931526961T   0.000175837825094968при R  100 и   0.1 получим:52.9737931526961T   0.000351887369047331 197.667451242584Результаты (244)-(246) говорят об адекватности приближения по маломупараметру при R  1 .

Значения диагональных элементов матрицы  Tувеличиваются на два порядка при увеличении R на порядок, уже при R  10значение  T22  2 имеет большее значение, чем амплитуда падающей волны.Внедиагональные элементы, как и ранее, сохраняют порядок величины.Если увеличить  еще на порядок, то есть провести расчет дляволноводной линзы реальной высоты, то получим при R  1 и   1: 0.0127381320193440T   0.0003692428894373050.000369242889437305 0.0489950204044692 при R  10 и   1:121(247)1.273813201934400.00118229484362024 4.89950204044692(248) 0.00288728411608722 489.950204044692(249)T   0.00118229484362024при R  100 и   1 получим:127.381320193440T   0.00288728411608722Результаты расчетов (247)-(249) показывают, что значения поправок T11 и  T22 неадекватны уже при значении радиуса порядка R  10 .Стоит отметить, что интегралы для всех рассмотренных случаеврасчитываются с точностью, не превышающей 10 6 .

Величина ошибкивычисления интеграла важна, так как при больших значенияхRподынтегральная функция становится быстро осциллирующей.Такимобразом,опробованныйнамиметодразложенияпопредложенному параметру пригоден лишь для расчетов волноводныхмикролинз ( R ~ 1 ). А для реальных волноводных линз ( R  100 ) требуетсяадекватный выбор малого параметра, например, параметра оптическойнерегулярности, используемого в работах [34-42].122ЗаключениеВ диссертации предложен конструктивный подход к исследованиюматематических моделей, описывающих волноводное распространениеполяризованного света в интегрально-оптических волноводах. В настоящеевремя имеется корректная математическая модель закрытого волновода,адекватно описывающая распространение и дифракцию на неоднородностяхволн, следует заметить, что эта модель достаточно подробная: она учитываети векторный характер электромагнитного поля, и взаимодействие междувсеми модами.

На физическом уровне строгости хорошо известно, что собойпредставляют открытые волноведушие системы, в том числе рассматриваемыев диссертации: планарный нерегулярный волновод, то есть диэлектрический слой наподложке, на который нанесена локальная неоднородность, и волноводный переход, то есть сочленение двух диэлектрических слоев,разной ширины, размещенных на подложке.Характерное отличие открытых волноводов от хорошо изученныхзакрытых состоит в том, что соответствующая спектральная задача на сечениисодержит непрерывный спектр, который необходимо тем или иным способомучитывать как при постановке парциальных условий излучения в рамкахнепрерывной модели, так и при ее дискретизации. Волны, бегущие в закрытомволноводе, в силу теоремы А.Н.

Тихонова и А.А. Самарского всегдапредставляют собой суперпозицию нормальных ТЕ- и ТМ- мод и поэтомуволны, набегающие на неоднородность и отраженные от нее, можнорассматривать как суперпозиции нормальных мод. В случае же открытойсистемы мы можем в качестве такой волны взять суперпозицию конечногочисла волноводных мод регулярного волновода, а можем добавить к ним ещеи интегралы по подложечным и покровным модам, описывающимнепрерывный спектр задачи.

При этом не ясно, как количественно описатьвлияние на распространение волноводных мод со стороны явлений,происходящие в подложке и покровном слое. Более того, часто именно этиоценки и является конечной целью математического моделирования той илииной интегрально-оптической системы.Подход к исследованию математических моделей, описывающихволноводное распространение поляризованного света в интегральнооптических волноводах состоит в размещении открытых волноведущихсистем в объемлющие их закрытые волноводы. Он был предложенСвешниковым А.Г. в докладе академии наук «Неполный метод Галеркина»(1977г.).

Такой подход позволяет сформулировать корректную задачу,123описывающую эволюцию волноводных мод волновода как в полнойэлектромагнитной постановке, так и в скалярном приближении, ииспользовать для ее численной реализации методы, разработанные дляанализа закрытых систем.Задача отыскания электромагнитного поля и коэффициентовпрохождения и отражения из задачи уравнения Гельмгольца в ящике спарциальными условиями излучения. Эта задача разрешима, в диссертациидля ее численного решения используется метод Канторовича, более известныйв теории волноводов как неполный метод Галеркина, а для решения краевойзадачи 3-го рода для получающуюся в рамках этой методы системыобыкновенных дифференциальных уравнений – метод конечных разностей иматричную прогонку. Аналогичным образом ставятся и численно решаютсякорректные математические задачи для планарного волновода снеоднородностью в форме линзы и волноводного перехода.Размещение интегрально-оптического волновода в ящик, приводит кдополнительной канализации той части электромагнитной энергии, котораябез ящика была бы излучена в подложку и покровный слой.

Поэтомуиспользуемая в диссертации модель является приближенной. Численныеэксперименты показывают, что коэффициенты прохождения и отраженияволноводных мод слабо, но зависят от размеров ящика, причем, чем вышеномер моды, тем заметнее эта зависимость. В диссертации предложенорассматривать эту зависимость как численную характеристику точностимодели для каждой из мод в отдельности, а сама модель рассматривается какмодель с парциальным распределением точности.В рамках диссертационной работы разработан комплекс программ,реализующих алгоритмы решения поставленных задач в системекомпьютерной алгебры Maple. Комплекс может быть использован дляверификации результатов расчета аналогичных структур в рамках другихмоделей и для решения прикладных задач.Результаты численных экспериментов, проведенных в рамкахпредложенной модели, сравниваются с результатами, полученными в рамкахизвестных моделей интегрально-оптических волноводов, обоснованных нафизическом уровне строгости.

При этом показано, что применимостьодномодового приближения существенным образом зависит от формынеоднородности.124Литература1. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. I //Журнал технической физики. – 1947. – Т. 17, вып. 11. – С. 1283-1296.2. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. II //Журнал технической физики. – 1947.

– Т. 17, вып. 12. – С. 1431-1440.3. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов. III //Журнал технической физики. – 1948. – Т. 18, вып. 7. – С. 971-983.4. Самарский А.А., Тихонов А.Н. О представлении поля в волноводе в видесуммы полей ТЕ и ТМ // Журнал технической физики.

Характеристики

Список файлов диссертации