Диссертация (1155090), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Двумерный неоднородный переход между двумя регулярнымиволноводами (волноводная линза в продольном разрезе)Поскольку задача инвариантна относительно y, система уравненийМаксвелла разлагается на две не связанные задачи для ТЕ и ТМ-мод (см.раздел «Уравнение Гельмгольца»).Постановка задачи для TE-модыПодсистему для TE-мод можно записать в виде одного уравнения Гельмгольцаотносительно компоненты u  E y и двух дополнительных соотношений,выражающих компоненты H x и H z через E y [124]:x, zHx   k02 n 2  x, z   u  0(164)1 u1 u, Hz ik 0  zik 0  x(165)где введено обозначение u  x, z   E y  x , z  , k0 - волновое число в вакууме, nc2 ,x  hz 2 n , h1  x  h  z n 2  x, z    l20  x  h1nf ,2 ns ,x0Дифференциальныйоператор,являющийся(166)поперечнойчастьюоператора Гельмгольца, имеет смешанный спектр на всей оси, имеющийдискретную и непрерывную ветви [33,34].

В рамках рассматриваемой модели77[79, 146] поместим открытый волновод в закрытый волновод, границыкоторого удалены от реальных границ волноводного слоя.Рисунок 17. Двумерный неоднородный переход между двумя регулярнымиволноводами (волноводная линза в продольном разрезе), помещенный взакрытый волноводВ объемлющем закрытом волноводе поля направляемых мод состоят ik  zтолько из мод дискретного спектра вида Сn n  x  e 0 n , парциальные условияизлучения для которых ставятся обычным образом (см. раздел «Планарныйзакрытый волновод»). На границах разрыва показателя преломления должнывыполняться граничные условия непрерывности uи ее нормальнойпроизводной [75, 124, 145]. Поэтому задача отыскания поля в волноводномпереходе, помещенном в объемлющий закрытый волновод, формулируетсяследующим образом:  x , z  k02 n 2  x , z   u  0u x  R  u x  R  0xxik0  n0 zu An0  n0  x  e  Rn n  x  e  ik0  n zz 0n 1u  Tn n  x  e ik0  n zzLn 178(167)2222где  x , z   / x   / z , An0 – заданный амплитудный коэффициент,определяющий падающее на волноводный переход поле, Rn и Tn –неизвестныеамплитудные коэффициенты, определяющие отраженные от волноводногоперехода и прошедшие через него волноводные моды.

Константа Rx задана иопределяет высоту закрытого волновода. Функции  n и коэффициенты  nопределяютсяиззадачиШтурма-Лиувиллядляпоперечнойчастисобственных мод регулярного волновода. Как следствие теоремы 1 имеем:Утверждение 1. Пусть полость волновода можно разбить на конечное числоподобластей, в каждой из которых показатель преломления является гладкойфункцией, а на границах областей допускает лишь разрывы 1-го рода. Пустьпоказатель преломления вне компакта z   0; L  не зависит от z .

Тогдазадача дифракции заданной TE-волны на нерегулярности, нанесенной наосновной волноводный слой, в интегрально-оптическом волноводе, понятая врамках используемой модели как решение задачи (167), имеет и притомединственное решение.Задача Штурма-Лиувилля для поперечной части собственных модрегулярного волновода имеет вид:   k02 n12  x    k 02  2  Rx   Rx  0 0  x  0   x  h1  x  0    x  h1  0(168)2где  f  x  – скачок функции в точке x  a , функция n1  x  определяетxaпоказатель преломления волновода при z  0 и z  L : nc2 ,x  h1 22n1  x    n f , 0  x  h1 n2 ,x0 s79(169)Алгоритм численного решения задачи для TE-модыБудем искать приближенное решение задачи (167) в виде разложения попервым N функциям полной в L2   Rx , Rx  системы  n  x n 1 :Nu N  x , z    Vn  z   n  x (170)n 1где Vn  z  – искомые коэффициентные, следуя неполному методу Галеркина.Проектируя уравнение Гельмгольца из системы (167) на функции  n  x n 1 ,Nполучим систему обыкновенных дифференциальных уравнений второгопорядка видаRx x, zu N  k02 n 2  x, z  u N   n dx  0,n  1, N(171) Rxкоторую удобно записать в матричном видеv  Q  z  v  0где v  V1  z  , V2  z  ,(172)VN  z   – вектор искомых коэффициентных, матрицакоэффициентов системы дифференциальных уравнений имеет вид:Q  z   k02 D 2  k02 Pс  z где D  diag   j  , коэффициенты Pс  z   pijc  z j 1Ncijp z  n2l(173)Ni , j 1определены как:h z n2c    x   x  dxij(174)h1Из условия непрерывности решения вместе со своей первой производнойследует, чтоuNu Nzz 0z 0ik  z  An0 n0  x  e 0 n0   Rn n  x  e  ik0  n z n 1 z 0ik  z  ik0  n0 An0 n0  x  e 0 n0   ik0  n Rn n  x  e  ik0  n z n 1 z 080(175)(176)Применяя проекционную схему метода Галеркина к условиям непрерывности(175),(176) получим:v  0   r  an0(177)v  0   ik0 D r  an0где r   R1 , R2 , ...

, RN1T(178)– вектор неизвестных коэффициентов, an0 – вектор сединственной ненулевой компонентой An0 с номером n0 . Краевые условия(177),(178) можно сформулировать в виде одного краевого условия третьегорода, исключив из них неизвестный векторr:v  0   ik0 Dv  0   2ik0 Dan0(179)Из условия непрерывности решения вместе со своей первой производной награнице z  L следуетuu NzNzLzL ik  z  L    Tn n  x  e 0 n    n 1zL ik  z  L    ik0  nTn n  x  e 0 n    n 1 zL(180)(181)Применяя проекционную схему метода Галеркина к этим условиям, получим:v  L  t(182)v  L   ik0 Dt(183)где t  T1 , T2 , ... , TN  – вектор неизвестных коэффициентов.

Краевые условияT(182),(183)можно сформулировать в виде краевого условия третьего рода,исключив из них неизвестный вектор t :v  L   ik 0 Dv  L   0(184)Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений(103) и краевые условия (179) и (184) формулируют третью краевую задачудля системы Nдифференциальных уравнений относительно искомыхкоэффициентов v  V1  z  , V2  z  ,VN  z   вида81v  Q  z  v  0v  0   ik0 Dv  0   2ik 0 Dan0v  L   ik 0 Dv  L   0(185)2.3. Дифракция на неоднородности в форме линзы внутри волноводногослояПостановка задачи для TE-модыРассмотрим теперь задачу дифракции на неоднородности в формелинзы, помещенной внутрь волноводного слоя (см.

Рисунок 18).Рисунок 18.Двумерный неоднородный переход между двумя регулярнымиволноводами (волноводная линза в продольном разрезе)Аналогично предыдущему случаю для постановки парциальныхусловий излучения поместим рассматриваемый открытый волновода взакрытый волновод, границы которого удалены от реальных границволноводного слоя. Задача отыскания поля в волноводном переходе,помещенном в объемлющий закрытый волновод, формулируется следующимобразом:  x , z  k02 n 2  x , z   u  0u x  R  u x  R  0xxik0  n0 zuAxeRn n  x  e  ik0  n zn0 n0z 0n 1uTn n  x  e ik0  n zzLn 182(186)2222где  x , z   / x   / z , An0 – заданный амплитудный коэффициент,определяющий падающее на волноводный переход поле, Rn и Tn –амплитудные коэффициенты отражения и прохождения. Константа Rxопределяет высоту закрытого волновода.

Функции  n и коэффициенты  nопределяются из задачи Штурма-Лиувилля (168).Утверждение 2. Пусть полость волновода можно разбить на конечное числоподобластей, в каждой из которых показатель преломления является гладкойфункцией, а на границах областей допускает лишь разрывы 1-го рода. Пустьпоказатель преломления вне компакта z   0; L  не зависит от z . Тогдазадача дифракции заданной TE-волны на нерегулярности, помещенной внутриосновного волноводного слоя, в интегрально-оптическом волноводе, понятаяв рамках используемой модели как решение задачи (186), имеет и притомединственное решение.Алгоритм численного решения задачи для TE-модыБудем искать приближенное решение задачи в виде разложения попервым N функциям полной в L2   Rx , Rx  системы  n  x n 1 :Nu N  x , z    Vn  z   n  x (187)n 1где Vn  z  –искомые коэффициентные функции Канторовича.Подставим вид приближенного решения (187) в уравнение Гельмгольцаиз (186) и применим проекционную схему метода Галеркина.

В результатепроектирования невязки на подпространство получим систему обыкновенныхдифференциальных уравнений второго порядка видаv  Q  z  v  0где v  V1  z  , V2  z  ,Канторовича,(188)VN  z   – вектор искомых коэффициентных функцийматрицакоэффициентовсистемыдифференциальныхуравнений определена как Q  z   k02 D2  k02 P f  z  , где D  diag  j  j 1 , аNкоэффициенты матрицы P f  z   pijf  z Ni , j 183определены следующим образом:fijp z  n2lh1n2f    x   x  dxi(189)jh z Аналогично предыдущему случаю, из условия непрерывности решениявместе со своей первой производной следует краевое условия третьего рода:v  0   ik0 Dv  0   2ik0 Dan0(190)Из условия непрерывности решения вместе со своей первой производной награнице z  L следует краевое условия третьего рода:v  L   ik 0 Dv  L   0(191)Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений икраевые условия для нее формируют третью краевую задачу относительноv  V1  z  , V2  z  ,VN  z   видаv  Q  z  v  0v  0   ik0 Dv  0   2ik 0 Dan0v  L   ik 0 Dv  L   0(192)2.4.

Дифракция на плавном волноводном переходеПостановка задачи для TE-модыБудемрассматриватьзадачудифракцииэлектромагнитногополяризованного монохроматического излучения на плавно-нерегулярномпереходе между двумя открытыми планарными регулярными волноводамипостоянного поперечного сечения (Рисунок 19).Рисунок 19. Плавно-нерегулярный волноводный переход междутрехслойными открытыми регулярными волноводами84Поместим рассматриваемый открытый волновод в закрытый волновод,границы которого удалены от реальных границ волноводного слоя. Задачаотыскания поля в волноводном переходе, помещенном в объемлющийзакрытый волновод, формулируется следующим образом:  x , z  k02 n 2  x , z   u  0u x  R  u x  R  0xxu  An n  x  e ik0  n z   Rn n  x  e  ik0  n zz 0nnik0  n  z  L uTxenn z  Ln2222где  x , z   / x   / z , An(193)– заданные амплитудные коэффициенты,определяющие падающее на волноводный переход поле, Rn и Tn –амплитудные коэффициенты отражения и прохождения.

Характеристики

Список файлов диссертации