Диссертация (1155090), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Приэтом изоморфизме оператор D переходит в оператор умножения на  2 .38Факты, изложенные выше в данном разделе, в общих чертах повторяютрезультаты работ [92, 128, 129].Перейдем теперь к построению обобщенных собственных функций2задачи (56)-(58) для значений спектрального параметра   Vc ,   .

В области , a общие решения уравнения (56) с постоянным коэффициентом Vsимеют вид (для TE - мод): cTE   , x   TTE    exp  ips x  ,  cTE   , x    psTTE    exp  ips x  / k 0  s ,(81)В области  b,   общие решения уравнения (56) имеют вид (для TE - мод): cTE   , x   exp  ipc x   RTE    exp  ipc x  , cTE   , x    pc  exp  ipc x   RTE    exp  ipc x   / k 0  c(82)В области  a , b  общие решения уравнения (56) имеют вид (для TE -мод): cTE  x   A f exp  i  f x   A f exp  i  f x  , cTE  x    f  Af exp  i  f x   A f exp  i  f x   / k 0  f ,Решения(дляTE -мод)задаютсянаборами(83)коэффициентовA  TTE , Af , Af , RTE  , удовлетворяющих системе линейных уравнений,TTETEзадающих условия непрерывности  c    и  c    при x  a и x  b вида2M TE    A  c TE , так что решение существует при любом   Vc ,   иединственно с точностью до комплексного множителя.

Графики функций cTE   , x  , cTE   , x и cTM   , x  , cTM   , x дляволноводаnc  1.0, n f  1.59, ns  1.515 и для   0.5 приведены на рисунке ниже.39сРисунок 4. Графики напряженностей (вдоль оси x) электромагнитного поляизлучательных покровных мод – действительная частьВычисление излучательных подложечных модПодложечные излучательные моды описаны в [123, 33, 92, 125,126], какобобщенные собственные решения уравнения (56) с граничными условиями(57). Решение задачи рассеяния на потенциале V  x  с совпадающимиасимптотиками изложено в работах [121, 127].Они принимают различный вид для значений спектрального параметра2из двух спектральных подобластей:   Vs ,Vc 2и   Vc ,   . Ниже2представлена схема для случая   Vs ,Vc  .

В области   , a  общие решения2уравнения (56) для   Vs ,Vc  имеют вид (для TE -мод): sTE   , x   exp  ips x   RTE  k  exp  ips x  sTE   , x   ps  exp  ips x   RTE    exp  ips x   / k 0  s(84)2В области  a , b  общие решения уравнения (56) при   Vs ,Vc  имеютвид (для TE -мод): TEf   , x   A f exp  i  f x   A f exp  i  f x   TEf   , x    f  A f exp  i  f x   A f exp  i  f x   / k 0  f40(85)В области b,  общие решения уравнения (56) со спектральным2параметром   Vs ,Vc  имеют вид (в силу убывания на бесконечности): sTE   , x   Ac exp   qc x  ,  sTE   , x    qc Ac exp   qc x  / ik 0  cТаким образом, решения (для TE(86)- мод) задаются наборамиамплитудных коэффициентов A   RTE , Af , Af , Ac  , удовлетворяющих системеTлинейных алгебраических уравнений, которые задают условия непрерывности sTE    и  sTE    на границах x  a и x  b вида M TE    A  c TE .

Решение2такой системы существует при любом   Vs ,Vc  и единственно с точностьюTETEдо комплексного множителя. Графики функций  s   , x  ,  s   , x  и sTM   , x  ,  sTM   , x  для волновода с nc  1.0, n f  1.59, ns  1.515 и для  1.648 приведены на рисунке ниже.Рисунок 5. Графики напряженностей (вдоль оси x) электромагнитного поляизлучательных подложечных мод, убывающих в покровном слое –действительная часть2Для спектрального параметра  из области   Vc ,   в координатныхобластях   , a  и  a , b  общие решения имеют тот же вид, что и в случае 2  Vs ,Vc  , а в области  b,   они принимают вид (для TE -мод): sTE   , x   TTE    exp  ipc x  ,  sTE   , x   pcTTE    exp  ipc x  / k 0  c41(87)Следовательно, вторая пара граничных уравнений в точке x  b принимает дляТЕ-мод вид:Af exp  i  f b   Af exp  i  f b   TTE    exp  ipcb   0(88)fp Af exp  i  f b   A f exp  i  f b    c TTE    exp  ipcb   0k0  fk0  c(89)Полученная система линейных уравнений имеет вид M TE    A  c TE и2решение существует при любом   Vc ,   и единственно с точностью докомплексного множителя.

Графики функций  cTE  , x  ,  cTE   , x и cTM , x  , cTM   , x  для волновода с nc  1.0, n f  1.59, ns  1.515 и для   0.5 приведенына рисунке ниже.Рисунок 6. Графики напряженностей (вдоль оси x) электромагнитного поляизлучательных подложечных мод, осциллирующих в покровном слое –действительная частьСдвиги Гуса-ХенхенаСравним собственные функции закрытого диэлектрического волновода иоткрытого.

Поперечная часть компоненты E y в обоих случаях в волноводномслое описывается суперпозицией синусов и косинусов, так как являетсярешением уравнения второго порядка. Для закрытого волновода она42обращается в нуль на границах волноводного слоя, а для открытого волноводаона не обращается в ноль и сшивается с экспонентой, см. Рисунок 7.Рисунок 7. Сдвиги Гуса-ХенхенаТочно такую же форму имела бы компонента E y для закрытого волновода,стенки которого были бы отодвинуты на расстояния x1 и x2 (см. Рисунок7).

Эти сдвиги именуются сдвигами Гуса-Хенхена. Величины сдвигов ГусаХенхена определяются формулами для TE-моды [21, 43]:x1TE  pm1 , x2TE  qm1(90)где pm   m2  k02 nc2 , qm   m2  k02 ns2 и  m2  k02 n 2f   m / h  , h - толщина2волновода.Решение для открытого волновода с волноводным слоем в полосе 0    x, z  : x   0, h  , z   0, d  эквивалентнорешениюдлянекоторогозакрытого волновода c более широким волноводным слоем в полосе1   x, z  : x   h , h  , z  0, d   ,12так что сужение решения для исходногооткрытого волновода на полосу  0 совпадает с решением в  0 для открытоговолновода[43].

Если обозначитьh1  h  x1 , h2  x2 ,то методы расчета полейволноводных мод закрытого волновода можно применить к закрытомуволноводу с виртуальными границамиh1иh2 , после чего полученное решениесужается на область между x  h и x  0 . В отличие от закрытого волновода,поле которого сосредоточено в полосе  0 , в открытом волноводе полеприсутствует во всей плоскости, но основная часть сосредоточена воптической полосе  1 .431.3.Нерегулярные диэлектрические волноводыЗадачадифракциивнерегулярныхдиэлектрическихзакрытыхволноводахНаиболее важной и востребованной с практической точки зрениязадачейматематическойтеорииволноводовявляетсязадачаораспространении и дифракции волн на нерегулярностях в волноводах.Определение [91].

Нерегулярным волноводом называют область, которая вненекоторого шара совпадает с объединением нескольких полуцилиндров(рукавов). При этом предполагается, что материальное заполнение может какугодно менять внутри шара, но вне него в каждом из полуцилиндров  , имеют постоянные значения, хоты бы и различающиеся от одногополуцилиндра к другому. Нерегулярным плоским интегрально-оптическимволноводом называют область пространства, которая вне некоторогоцилиндра совпадает с объединением нескольких полупластин.В названных полуцилиндрах решение уравнений Максвелла можнопредставить в виде суперпозиции нормальных мод, бегущих вдоль осицилиндров от шара или к шару.

Задача о распространении и дифракции нанерегулярностях волн в волноводах состоит в следующем.В каждом из рукавов задано электромагнитное поле, представляющеесобой суперпозицию нормальных волн, распространяющихся к шару.Требуется отыскать поле,1. удовлетворяющее уравнениям Максвелла во всем волноводе,2. граничным условиям идеальной проводимости на границе волновода,3. представляющее собой суперпозицию нормальных волн бегущих отшара и заданного поля во всех рукавах.Последнее условие известно как парциальные условия излучения, онибыли предложены А.Г. Свешниковым в 1955 году и заменяют в волноводных44задачах условия Зоммерфельда, употребляемые в теории дифракции накомпактных частицах. В том случае, если система имеет всего два рукава,амплитуды нормальных мод, бегущих от шара, называют коэффициентамипрохождения и отражения.Ввычислительныхэкспериментахобычнорассматриваютнесуперпозицию волн, падающих на шар, а одну моду в одном рукаве.Теорема.

Сформулированная задача, как в скалярной, так и в общейэлектромагнитной постановке имеет и притом единственное решение.Доказательстваэтойтеоремыразнятьсястепеньюиспользованияфункциональных пространств и общностью итоговой формулировки [87-91].Численные методы решения сформулированной задачи основаны наполноте системы нормальных мод, на которую в том или ином смыслепроектируется система уравнений Максвелла или уравнение Гельмгольца. Всеэти методы могут быть рассмотрены как модификации метода Канторовичаили неполного метода Галеркина. Сравним известные подходы на примерезадачи о волноводном переходе.Рассмотрим задачу численного моделирования распространения волныв закрытом двумерном локально-неоднородном волноводе (см.

Рисунок 8).Рисунок 8. Двумерный локально-нерегулярный закрытый волновод45Постановка задачиВ регулярных областях волновода ( z  0 и z  L ) поле удовлетворяетуравнению Гельмгольца с постоянным коэффициентом [21-24]:x, z k02 n 2f  u  0(91)2222где  x , z   / x   / z и соответствующим граничным условиям при x  0и x  h1 – условиям первого рода [21-24]:u x 0  u x h  0(92)1Применяя метод разделения переменных к уравнению (91) и условиям(92), получим задачу Штурма-Лиувилля для поперечной части оператораГельмгольца    2  0 x  0   x  h1  0(93)собственные функции которой представляют собой полную в L2  0, h1 систему  m m 1 , а m2   m / h1  ,  m  x  определена следующим образом:2 m  x   2 / h1 sin  mx / h1  .(94)Собственные моды закрытого регулярного волновода определяются какСm m  x  exp  ik0  m z  , знак в показателе экспоненты определяет направлениераспространения волноводной моды, а  m определены как m  n 2f  m2 / k 02 ,m  1, 2, 3, ...(95)Поле левого регулярного волновода ( z  0 ) состоит из падающей нанеоднородный участок моды и отраженных от нерегулярного участка модu z  0  An0  n0  x  exp ik 0  n0 z   Rn n  x  exp  ik 0  n z  ,n 146(96)где An0 - заданная амплитуда падающей на нерегулярный участок моды сномером n0 , Rn- амплитудные коэффициенты отражения.

Характеристики

Список файлов диссертации