Диссертация (1155090), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Расположение дискретной и непрерывной частей спектра32Решению задачи (56) - (58) в случае квадратично интегрируемыхфункций, то есть в случае дискретного спектра для кусочно-постоянногопотенциала V  x  посвящено большое число работ [16,20,122] и книг [22-26].Численные методы построения  j  x  через разложение по фундаментальнымсистемам решения уравнения (56) реализованы в работах [16,20,122-124].Решение задачи на собственные значенияНаправляемые волноводные моды в многослойном волноводе описываютсязадачей (56)-(58) при  2  V f , min Vs ,Vc   , так что  2  0 .Выполнение условий (57) на границах раздела слоев x  a и x  bвыделяет из общих решений в подобластях , a  ,  a, b  ,  b,  такиечастные решения, которые образуют в совокупности единственное (сточностью да комплексного множителя) решение задачи (56) - (58).Итак, в области  , a  общие решения уравнения (56) с постояннымкоэффициентомVsиудовлетворяющиеасимптотическому  x  0x имеют вид (для TE - и TM - мод соответственно): TE TEj  x   As exp  qs x  ,j  x   qs As exp  qs x  / ik 0  s , TM x   Bs exp  qs x  ,j TM x   qs Bs exp  qs x  / ik0 s ,jусловию(59)(60)где qs  Vs   2 ( qs  0 ).

В области  b,   общие решения уравнения (56), 0 , имеют видудовлетворяющие условию   x  x  TE TEj  x   Ac exp   qc x  ,j  x    qc Ac exp   qc x  / ik 0  c ,(61) TM x   Bc exp  qc x  ,j(62) TM x   qc Bc exp  qc x  / ik0 c ,jгде qc  Vc   2 ( qc  0 ). В области  a , b  общие решения уравнения (56)имеют вид (для TE - и TM - мод соответственно):33 TEj  x   A f exp  i  f x   A f exp  i  f x  ,TEj(63) x    f  Af exp  i  f x   Af exp  i  f x   / k 0  f , TM x   B f exp  i  f x   B f exp  i  f x  ,j(64) TM x     f  B f exp  i  f x   B f exp  i  f x   / k0 f ,jгде введено обозначение  f   2  V f .Таким образом, решения (для TE - и TM - мод соответственно) задаютсянаборамиамплитудныхкоэффициентовA   As , Af , Af , Ac  ,Tудовлетворяющих системе линейных алгебраических уравнений, которыезадают условия непрерывности  TEи  TEна границах x  a и x  b :jj As exp  qs a   A f exp  i  f a   A f exp  i  f a   0f qs ik  As exp  qs a   k   A f exp  i  f a   A f exp  i  f a    00 f 0 s  A f exp  i  f b   A f exp  i  f b   Ac exp   qcb   0  f  A  exp i  b  A  exp i  b   qc A exp   q b   0 f  f  f   ik  cc k0  f  f0 c(65)и коэффициентов B   Bs , B f , B f , Bc  , удовлетворяющих аналогичной системеTлинейных алгебраических уравнений для TM-моды.

Обе системы линейныхуравнений имеют вид M TE    A  0 и M TM    B  0 , то есть они являютсяоднородными и допускают нетривиальные решения при выполнении условийразрешимости det MTE    0,det M TM     0.Решениянелинейныхуравнений для TE- и TM-мод дают искомые дискретные значения  TEи  TMjjна интервале  2  V f , min Vs ,Vc   . Для определения собственных функций TEи  TMнеобходимо для каждого найденного значения  TEи  TMjjjjопределить соответствующее нетривиальное решение системы M TEj A0 и34TEи  TMM TMj .j B  0 , которое и определяет искомые собственные функции  jTETEГрафики функций  1  x  , 1  x TMTMи  1  x  , 1  x  для волновода сnc  1.0, n f  1.59, ns  1.515 приведены на рисунке ниже.Рисунок 3. Графики напряженностей (вдоль оси x) электромагнитного поляволноводных направляемых мод, соответствующих первым спектральнымзначениям слева – действительная частьПриведенныйметодвычислениясобственныхзначений TEjисобственных векторов описан в публикациях [16, 20] и монографиях [16, 20,122, 22-26].

Подробное изложение метода имеется в [123,124].Вычисление излучательных покровных модРассмотрим решения задачи (56) - (58) в области непрерывного спектра 2  Vc ,   . Покровные излучательные моды описаны в работах [123, 33, 100,125, 126], как обобщенные собственные решения уравнения (56) с граничными2условиями (57) для значений спектрального параметра   Vc ,   . Онистроятся методом сшивания на границах общих решений уравнения (56).РешениезадачирассеяниянапотенциалеV  xссовпадающимиасимптотиками изложено в работах [121, 127]. Воспользуемся для решенияследующими результатами.35Непрерывный спектр оператора второго порядка на осиРассматриваемый оператор второго порядка на осиDd2 V  xdx 2(66)с потенциалом, удовлетворяющим условиям lim V  x   V , lim V  x   V иx 0V  x   V x dx  ,x  V  x Vx dx  (67)0является существенно самосопряженным.

УравнениеDy   2 y(68)при Im  p      0 , где p     2  V с условием (67) обладает однозначно2определенным решениемy  , x  , удовлетворяющем асимптотическимусловиямexp ip    x y   , x  x  1 , exp ip    x y '   , x  x   ip    (69)Уравнение (68) при Im  p      0 , где p     2  V с условием (67)2обладает однозначно определенным решением y   , x  , удовлетворяющемасимптотическим условиямexp ip    x y   , x  x   1 , exp ip    x y '   , x  x   ip   (70)где множитель exp ip    x называется функцией Йоста.При вещественных p     0 пара функций y   , x  , y  , x  образуетфундаментальную систему решений уравнения (68). Поэтому решениеy   , x  можно представить в видеy  , x   a   y  , x   b   y  , x  .36(71)При вещественных p     0 пара функций y  , x  , y  , x образуетфундаментальную систему решений уравнения (68).

Поэтому решениеy   , x  можно представить в видеy  , x   a   y  , x   b   y  , x  .(72)Коэффициент (обратно пропорциональный коэффициенту прохожденияслеванаправо)a   икоэффициент(обратнокоэффициенту прохождения справа налево)пропорциональныйa    выражаются черезВронскианы решений y   , x  :a     W  y , y  2ip    , a     W  y , y  2ip   (73)и продолжаются аналитически в область Im  p      0 и в областьIm  p      0 соответственно.Коэффициент (пропорциональный коэффициенту отражения слеванаправо) b    и коэффициент (пропорциональный коэффициенту отражениясправа налево) b    выражаются через Вронскианы решений y   , x  :b     W  y , y  2ip    , b     W  y , y  2ip   (74)Нули функций a    и a    являются собственными значениями оператора(66) с нормированными собственными функциямиyn  x   cn y   n , x   cn y   n , x (75)Чтобы отличить построенные далее решения (с другими асимптотиками)уравнения (68) от предыдущих введем новые обозначения: Vs  V и Vc  V ,ps     p    и pc     p    .В области Im  ps     ,  2  Vs собственными (обобщенными) функциямиоператора (66) являются функции37ys   , x  1y   , x   R    y  , x  ,  2  Vs ,  2(76)В области Im  pc     ,  2  Vc собственными (обобщенными) функциямиоператора являются функцииyc   , x  1y   , x   R   y  , x  ,  2  Vc ,  2(77)Здесь использованы коэффициенты отраженияR    b   a   W  y , y W  y , y , R    b   a   W  y , y W  y , y (78)и коэффициенты прохождения равныеT    1a   2ip   W  y , y , T    1a   2ip   W  y , y (79)Теорема [123].

Система функций y   , x  , заданная соотношениями (75) - (77), представляет собой полную ортонормированную систему обобщенныхсобственных функций оператора (66), так что обобщенное преобразованиеФурье f  g , заданное соотношениямиf  x  g s   ys  , x  dps     g c  yc  , x  dpc   Vsгде g s    Vcf  x  y s   , x dx , g c    N Dg n    yn  , x  ,n 1f  x  yc   , x dx и g n    (80) f  x  yn  , x dxзадает унитарные изоморфизмы оснащенного гильбертова пространстваS  L2   S ' и оснащенного гильбертова пространства S  L2  M  , dp      S '. Здесь гильбертово пространство L2  M  , dp     квадратично интегрируемыхфункций на пространстве M  с мерой dp    , состоящем из полупрямойs  : 2  Vs  с мерой dps    , полупрямойc  : 2  Vc  с мерой dpc   и конечного набора точек  n , n  1,..., N с точечными мерами      n  d  .

Характеристики

Список файлов диссертации