Диссертация (1155090), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Приведем нижечисленные значения амплитудных коэффициентов.Рисунок 39. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныенаправляемым модам открытого волновода (  2   ns2 ; n 2f  ). Сплошная линиясоответствует действительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.0103Рисунок 40. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныеподложечным модам открытого волновода (  2   nc2 ; ns2  ). Сплошная линиясоответствует действительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.0На нерегулярность падает одна первая мода, амплитуда которой убываетзаметным образом при распространении вдоль нерегулярного участка (см.Рисунок 39, Рисунок 40). В результате перераспределения энергиивозбуждается вторая мода, амплитуда которой близка по своему значению самплитудой первой моды, что говорит о значительном перераспределенииэнергии (см. Рисунок 39) между модами, аналогичными направляемым модамоткрытого волновода.

Часть энергии перераспределяется между модами,аналогичными излучательным (подложечным) модам открытого волновода(см. Рисунок 40).Посравнениюсаналогичнойструктурой,дополнительныйволноводный слой в которой нанесен на основной волноводный слой (Рисунок32)амплитудымодрассматриваемойструктуры,соответствующихподложечным модам открытого волновода, имеют на порядок большиезначения. Перераспределение энергиимежду модами, аналогичныминаправляемым модам открытого волновода, также более значительно, чем вслучае аналогичной структуры (Рисунок 32), где амплитуда падающей модыпрактически неизменна.Старшие моды с номерами(подложечным)модамоткрытогоn  7 , аналогичным излучательнымволновода104такжевозбуждаютсясамплитудами, большими на порядок, чем в аналогичной структуре (Рисунок32) – см.

Рисунок 41.Рисунок 41. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныеподложечным модам открытого волновода (  2   nc2 ; ns2  ). Сплошная линиясоответствует действительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.0Старшие моды с номерами n  23 , аналогичным излучательным(покровным) модам открытого волновода возбуждаются с амплитудами,сравнимыми с амплитудами в аналогичной структуре (Рисунок 32) – см.Рисунок 42.Рисунок 42. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныепокровным модам открытого волновода (  2  nc2 ). Сплошная линиясоответствует действительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.0Замечание.

Сравнивая результаты расчета полей для двух эквивалентных водномодовом приближении метода поперечных сечений структур видно, чтоодномодовое приближение адекватно описывает распространение поля в105неоднородности, нанесенной на волноводный слой. Неоднородность,расположенная внутри волноводного слоя и реализующая такой жеэффективный показатель преломления, как и расположенная на волноводномслое, возбуждает направляемые и излучательные моды значительно сильнее.Тем самым в рамках модели объемлющего закрытого волноводапоказано, что результаты моделирования двумерного разреза линзы хорошосогласуются с аналогичными результатами одномодового приближенияметода поперечных сечений в случае линзы, помещенной на волноводныйслой. Однако заметны сильные отличия в случае линзы, расположеннойвнутри волноводного слоя.3.6.Численное решение задачи дифракции на плавном волноводномпереходеРассмотрим задачу дифракции волноводных мод на однородномволноводном переходе, представленном ниже – см.

Рисунок 43.Рисунок 43. Плавный однородный волноводный переходБудем решать задачу дифракции волноводных мод на описаннойструктуре. Численный расчет будем проводить для следующих входныхданых:nc  1.000, ns  1.510, n f  2.100 . Функцияh  z  , описывающаяпеременную высоту волноводного перехода – полином третьей степени,значение которого плавно меняется от h1  0,80  до h2  0,92  на участкепротяженностьюd  2, 00  .Толщинамh1  0,80 иh2  0,92 соответствуют 5 направляемых мод.

На нерегулярный участок падает мода TE0106( n0  1 ) c единичной амплитудой ( An0  1.0 ). Объемлющий закрытыйволновод имеет границы x   Rx , где Rx  8 , в нем присутствует N  41неэванесцентная мода, в разложении приближенного решения удерживаем Nсобственных функций.

При численной реализации решения краевой задачиконечно-разностным методом введем сетку с M  1 узлом, где M  2048 .Получившуюся систему линейных алгебраических уравнений с блочнотрехдиагональнойматрицейрешаемметодомматричнойпрогонки,реализованным в численном виде в системе компьютерной алгебры Maple.Выходнымиданнымивыступаютчисленныезначенияамплитудныхкоэффициентов на введенной сетке. Приведем ниже численные значенияамплитудных коэффициентов.Рисунок 44. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныенаправляемым модам открытого волновода. Сплошная линия соответствуетдействительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.0В соответствии с рисунком выше (Рисунок 44) падающая на переходпервая направляемая волноводная мода продолжает распространяться внутриперехода практически не теряя энергии – амплитуда убывает незначительно.Направляемыемодысномерамиn  2,3, 4,5распространении первой моды через переход.107возбуждаютсяприРисунок 45.

Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныеподложечным модам открытого волновода. Сплошная линия соответствуетдействительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.0Подложечные моды возбуждаются незначительно, основная часть энергиипереносится падающей модой (см. Рисунок 45, Рисунок 46).Рисунок 46. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныеподложечным модам открытого волновода. Сплошная линия соответствуетдействительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.0Поведение направляемых волноводных мод при распространении черезволноводный переход соответствует результатам решения этой задачи сучетом только направляемых мод.3.7.Оценки погрешностейОценки для задачи дифракции на неоднородности в форме линзы наволноводном слоеПри разностной аппроксимации краевой задачи для двумерныхнеоднородных структур получалась система линейных алгебраических108уравнений с блочно-трехдиагональной матрицей, полностью заполненнымиявлялись только блоки главной диагонали (см.

(217)):B j  2I  h 2 Q jгдеQj-матрица-функция,(220)определяющаякоэффициентысистемыдифференциальных уравнений в точке разностной сетки z j . Матрица Q jопределяется скалярными произведениями, ее коэффициенты включаюттригонометрическиефункции,причемскалярныепроизведениярассчитываются один раз и далее в каждом узле разностной сетки впосчитанные выражения подставляется нужное значение толщины линзы(приведена подматрица 2x2):Q1,1  314.6  1.11410 78 e 27.10 dh  29.81  4.20810 38 dh  0.5407 e 27.10 dh  29.81Q1, 2  1.062  1.14410 76 e 26.50 dh  29.15  6.74010 38 e 0.5995 dh  0.6594  3.52210 36 e 0.5995 dh  0.6594  1.062 e 26.50 dh  29.15Q2 ,1  1.062  1.14410 76 e 26.50 dh  29.15  6.74010 38 e 0.5995 dh  0.6594  3.52210 36 e 0.5995 dh  0.6594  1.062 e 26.50 dh  29.15Q2,2  300.4  1.175 10 74 e 25.90 dh  28.49  8.10910 36 dh  2.086 e 25.90 dh  28.49Расчет численных значений коэффициентных функций производитсяметодом матричной прогонки, в котором (см.

раздел «Алгоритм матричнойпрогонки») на каждой итерации производится обращение матрицы размераN  N , где N - число удерживаемых в разложении решения функций,итераций при этом M - число, определяющее количество узлов разностнойсетки (как правило M  1000 ).Достаточный критерий устойчивости метода матричной прогонки длязадачи с закрытым волноводом не выполняется [149], поэтому приведем нижечисла обусловленности диагональных блоков матрицы системыBj,обусловленность которых влияет на устойчивость метода. Численный расчетпроводился для следующих входных данных nc  1.000, ns  1.470, n f  1.565 ,nl  2.1 .

Толщина основного волноводного слоя составляет 2 , где  - длина109волны.На нерегулярный участок падает мода TE0 ( n0  1 ) c единичнойамплитудой ( An0  1.0 ). Объемлющий закрытый волновод имеет границыx   Rx , где Rx  8 . В нем присутствует N  41 неэванесцентная мода.Результаты расчетов числа обусловленности матрицы B j при M  1024приведен ниже:condB0  1.000000179,condB128  1.001157933condB256  1.001422316, condB384  1.001679707condB512  1.001765847, condB640  1.001679707(221)condB768  1.001422316, condB896  1.001157933condB1024  1.000000179Из приведенных выше данных видно, что число обусловленности матриц,соответствующих блокам главной диагонали очень близко к единице, чтопозволяет устойчиво производить процедуры метода матричной прогонки.

Накаждой итерации метода матричной прогонки обращается сумма матрицX j 1   B j  X j  , которая также обращается устойчиво:1condX 1  1.000000179,condX 128  1.046582591condX 256  1.055634223,condX 384  1.059977537condX 512  1.057488823,condX 640  1.067891175condX 768  1.050015394,condX 896  1.064567098(222)condX 1024  1.039990978В результате применения метода матричной прогонки погрешностьрешениясистемылинейныхалгебраическихуравненийсблочно-трехдиагональной матрицей размера  41  1024    41  1024  составляет:  2.114220091  10 14(223)В качестве соотношения, оценивающего точность неполного методаГалеркина, используемого для решения задач дифракции, предлагаетсярассматривать соотношение110N i  1   V j  zi 2j 1(224)где  i описывает баланс энергии в точке z  zi , а именно насколько в точкеz  zi сумма квадратов модулей амплитуд, характеризующая суммарнуюэнергию, переносимую всеми модами, отличается от единицы.

Характеристики

Список файлов диссертации