Диссертация (1155090), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Численный расчетматрицы Грамма для системы функций  j  x Nнаглядно демонстрируетj 1ортогональность собственных функций  j  x  :1.000017 7.4977  10A   6.9085  10 1515 8.9871  10 4.5651  10 157.4977  10 176.9085  10 158.9871  10 151.00002.5828  10 143.3630  10 142.5828  10 141.00003.363 0  10141.6602  104.2056  10 134.2056  10141.3216  1013141.00004.1867  10 134.5651 10 15 1.6602 10 14 1.3216 10 14 4.186  10 13 1.0000 (209)где A - матрица Грамма для системы функций  j  x  при N  5 . При этомj 1Nдля величины A  I ( N  99 при R  20 ) справедливо равенствоA  I  6.3270947274049396 10 13Обобщаярезультатынастоящегораздела(210)стоитотметить,полученные численные значения для собственных функцийчто  x jNj 1открытого волновода, помещенного в объемлющий закрытый волновод,описываютнаправляемыеиизлучательныеоткрытого волновода на конечном отрезкемодысоответствующего  Rx , Rx с компьютернойточностью.

Стоит отметить, что полученные в объемлющем закрытомволноводе собственные функции образуют полную ортогональную систему95функций вL2   Rx , Rx  , позволяя тем самым использовать эту систему вкачестве базисных функций для построения приближенных решений задач врамках описанной модели.3.3.Численное решение третьей краевой задачиРассмотрим алгоритм численного решения третьей краевой задачиv   Q  z  v  0v   0   ik 0 Dv  0   2ik 0 Dan0v   L   ik 0 Dv  L   0Аппроксимируемдифференциальныеоператоры(211)взадаче(211)ихразностными аналогами второго порядка точности на сетке с шагом h  L / Mи общим количеством узлов M  1 , обозначив v  z j   v j , Q  z j   Q j [159,160].Разностный аналог краевой задачи (211) будет иметь вид: v j 1   2I  h 2 Q j  v j  v j 1  0, j  1, M  11 2 2 2 v1   I  ik 0 hD  k 0 h D  v0  2ik 0 h D an02 1 2 2 2   I  ik 0 hD  k 0 h D  vM  vM 1  02 (212)Полученная система уравнений (212) имеет блочно-трехдиагональнуюматрицу.

Будем решать полученную систему, учитывая структуру ее матрицы,а именно применим для решения алгоритм матричной прогонки.Алгоритм матричной прогонкиРассмотрим задачу:A j u j 1  B j u j  C j u j 1   f j ,j  1, M  1(213)A 0u1  B 0u0   f 0(214) B M u M  C M u M 1   f N(215)96где A j , B j и C j – квадратные матрицы коэффициентов, f j – векторы правыхчастей, u j – искомые векторы j  0, M .Решениеu j 1  X j u j  z j ,задачи(213)-(215)будемискатьввиде[161]j  M ,1 . Подставляя вид решения в (213) можно получитьрасчетные формулы метода матричной прогонки: X   B  C X  1 A , X  B 1 Ajjjj100 j 111 z j 1   B j  C j X j  C j z j  f j , z1  B 0 f 0 , j  1, M  11u j 1  X j u j  z j , u M   B M  C M X M  C M z M  f M , j  M ,1(216)Достаточный критерий устойчивости метода матричной прогонки для задачис закрытым волноводом не выполняется [149], поэтому устойчивость будемисследовать численно.Решение системы с блочно-трехдиагональной матрицейМатрица системы (212) имеет более простой вид по сравнению с общимслучаем (213)-(215), а именно: A j  C j  I , A 0  C M  I , B j  2I  h 2 Q j , f j  0, j  1, M  11 2 2 2B 0  B M  I  ik0 Dh  k0 D h , f 0  2ik0 D h an0 , f M  02(217)В случае (217) получим упрощенный вариант метода матричной прогонки: X   B  X  1 , X  B 1jj10 j 111 z j 1   B j  X j  z j , z1  B 0 f 0 , j  1, M  11u j 1  X j u j  z j , u M   B M  X M  z M , j  M ,1(218)Описанный алгоритм реализован в численном виде в системекомпьютерной алгебры Maple (см.

Рисунок 31).97Рисунок 31. Блок-схема алгоритма матричной прогонки в Maple3.4.Численное решение задачи дифракции на неоднородности в формелинзы на волноводном слоеРассмотрим задачу дифракции волноводных мод на неоднородномволноводе, представленном ниже – см. Рисунок 32. Неоднородность(дополнительный волноводный слой переменной толщины) представляетсобой продольный разрез волноводной линзы, помещенной сверху наволноводный слой регулярного волновода. Линза (в своем исходномтрехмерном виде) спроектирована для фокусировки волноводной моды TE0.98Рисунок 32.

Неоднородность, помещенная на основной волноводный слойрегулярного волновода (волноводная линза в продольном разрезе,помещенная на волноводный слой)В двумерном виде (см. Рисунок 32) форма верхней границыдополнительного волноводного слоя обеспечивает заданное распределениеэффективного показателя преломления для моды TE0 (см. Рисунок 33).Рисунок 33. Распределение эффективного показателя преломленияДругими словами, двумерная структура (см.

Рисунок 32) проектировалась водномодовом приближении таким образом, чтобы в каждом поперечномсечении z  const толщина дополнительного волноводного слоя, нанесенногона основной волноводный слой, обеспечивала для моды TE0 значениекоэффициента фазового замедления, равное 0  z  z const   0REG neff  z  z const(219)где  0REG – коэффициент фазового замедления для моды TE0 в регулярномволноводе.99Будем решать задачу дифракции волноводных мод на описаннойструктуре (см. Рисунок 32). Численный расчет будем проводить дляследующих входных данных: nc  1.000, ns  1.470, n f  1.565 и nl  2.1.Толщина основного волноводного слоя составляет 2 , где  - длина волны.На нерегулярный участок падает мода TE0 ( n0  1 ) cединичной амплитудой (An0  1.0 ). Объемлющий закрытый волновод, в который помещаетсяописанная структура (см.

Рисунок 32) имеет границы x   Rx , где Rx  8 . Внем присутствует N  41 неэванесцентная мода – разложение приближенногорешения будем вести по N собственных функций. При численной реализациирешения краевой задачи конечно-разностным методом введем сетку с M  1узлом, где M  2048 . Получившуюся систему линейных алгебраическихуравнений с блочно-трехдиагональной матрицей решаем методом матричнойпрогонки, реализованным в численном виде в системе компьютерной алгебрыMaple (см. раздел «Решение системы с блочно-трехдиагональной матрицей»).Выходнымиданнымивыступаютчисленныезначенияамплитудныхкоэффициентов на введенной сетке.

Приведем ниже численные значенияамплитудных коэффициентов.Рисунок 34. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныенаправляемым модам открытого волновода (  2   ns2 ; n 2f  ). Сплошная линиясоответствует действительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.0100Рисунок 35. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныеподложечным модам открытого волновода (  2   nc2 ; ns2  ). Сплошная линиясоответствует действительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.0На нерегулярность падает одна первая мода, амплитуда которой убываетнезначительноприраспространениивдольнерегулярногоучастка(см.Рисунок 34). В результате перераспределения энергии возбуждаетсявторая мода, аналогичная направляемой моде открытого волновода (см.Рисунок 35) и небольшая часть энергии перераспределяется между модами,аналогичным излучательным (подложечным) модам открытого волновода (см.Рисунок 35).Старшие моды с номерами(подложечнымипокровным)n  7 , аналогичным излучательныммодамоткрытоговолноводатакжевозбуждаются с небольшими амплитудами – см.

Рисунок 36, Рисунок 37.Рисунок 36. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныеподложечным модам открытого волновода (  2   nc2 ; ns2  ). Сплошная линиясоответствует действительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.0101Рисунок 37. Коэффициентные функции, определяющие моды, аналогичныепокровным модам открытого волновода (  2  nc2 ). Сплошная линиясоответствует действительной части, штрихованная – мнимой, n0  1, An0  1.03.5.Численное решение задачи дифракции на неоднородности в формелинзы внутри волноводного слояРассмотримтеперьзадачудифракцииволноводныхмоднанеоднородном волноводе, неоднородность в котором помещена внутрьосновного волноводного слоя – см.

Рисунок 38.Рисунок 38. Неоднородность, помещенная внутрь основного волноводногослоя регулярного волновода (волноводная линза в продольном разрезе,помещенная внутрь волноводного слоя)Неоднородность (дополнительный волноводный слой переменнойтолщины) представляет собой продольный разрез волноводной линзы,помещенной внутрь волноводного слой регулярного волновода.

В двумерномвиде (см. Рисунок 38) форма нижней границы дополнительного волноводногослояобеспечивает заданное распределение эффективногопоказателяпреломления для моды TE0 – см. Рисунок 33 – то есть структура обеспечивает102для моды TE0 такое же распределение эффективного показателя преломления,что и волноводная структура с дополнительным волноводным слоем,помещенным на основной волноводный слой (Рисунок 32).Будем решать задачу дифракции волноводных мод на описаннойструктуре (см. Рисунок 38). Численный расчет будем проводить дляследующих входных данных: nc  1.000, ns  1.470, n f  1.565 и nl  2.1 .Толщина основного волноводного слоя составляет 2 ,где  - длина волны.На нерегулярный участок падает мода TE0 ( n0  1 ) cединичной амплитудой (An0  1.0 ).

Объемлющий закрытый волновод имеет границы x   Rx , гдеRx  8 . В нем присутствует N  41 неэванесцентная мода – разложениеприближенного решения будем вести по N собственных функций. Причисленной реализации решения краевой задачи конечно-разностным методомвведем сетку с M  1 узлом, где M  2048 . Получившуюся систему линейныхалгебраических уравнений с блочно-трехдиагональной матрицей решаемметодом матричной прогонки, реализованным в численном виде в системекомпьютерной алгебры Maple. Выходными данными выступают численныезначения амплитудных коэффициентов на введенной сетке.

Характеристики

Список файлов диссертации